NOMENCLATURA Y FÓRMULAS GENERALES DE ESTADO

 

 

REPRESENTACIÓN DE LA TEORÍA DE COLA MEDIANTE MODELOS MATEMÁTICOS

 

La aplicación de la teoría de la espera en la práctica implica dos aspectos principales:

 

1.              Selección del modelo matemático adecuado que representará al sistema real en forma apropiada con el objeto de determinar las medidas de desempeño del sistema.

2.              Implementación de un modelo de decisión basado en las medidas de desempeño del sistema con el fin de diseñar la instalación de servicio.

 

Después de la selección de un modelo de espera, el paso siguiente consiste en utilizar los resultados para tomar decisiones referentes al diseño del sistema real. Esto puede ocasionar que se utilicen directamente las medidas de desempeño del sistema para determinar la forma en que debe operar. En forma alternativa, se puede implementar un modelo de optimización de costos a fin de determinar la operación óptima del sistema real.

 

 

NOMENCLATURA DE LAS DIFERENTES LÍNEAS DE ESPERA

 

El investigador británico D. Kendall introdujo en 1953 una notación pragmática para las diferentes líneas de espera. Lee complementó esta lista en 1966. La notación tiene la siguiente forma general:

 

(a/b/c):(d/e/f)

 

donde:

 

a:  Distribución de llegada.

b:  Distribución del servicio.

c:  Número de servidores en paralelo en el sistema.

d:  Disciplina del servicio.

e: Máximo número de clientes que pueden estar en el sistema (esperando y recibiendo servicio).

f:  Fuente de generación de clientes.

 


Se utilizan los siguientes códigos para los símbolos a y b[.1] :

 

M : Llegada con distribución de Poisson y servicio distribuido exponencialmente. (M significa Markov).

D : Llegada o servicio determinísticos.

E : Llegada y servicios distribuidos respectivamente con  distribución de Erlang y Gamma.

GI : Llegadas con una distribución general independiente.

G : Servicios con una distribución general independiente.

 

Para el símbolo d se utiliza el siguiente código:

 

    FCFS(FIFO) : Primero que llega, primero que se le proporciona servicio.

    LCFS(LIFO) : Último que llega, primero que se le proporciona servicio.

    SIRO : Servicio en orden aleatorio.

    NPRP : Servicio prioritario no abortivo.

    RPP : Servicio prioritario abortivo.

 

Se presentan a continuación algunos ejemplos de posibles modelos de espera utilizando la notación Kendall-Lee:

 

                Código (a/b/c): (d/e/f)                                 

               

(M/M/1): (FCFS/ ¥/ ¥)

                (M/M/1): (FCFS/N/¥)

                (M/M/S): (FCFS/¥/¥)

                (M/M/S): (FCFS/N/¥), S < N

                (M/M/S): (PRP/¥/¥)

                (M/M/S): (NPRP/¥/¥)

 

 

CONSIDERACIONES AL APLICAR UN MODELO DE COLAS

 

Las dificultades que existen al utilizar modelos de colas en la práctica pueden presentarse principalmente desde dos puntos de vista:

 

1.              Facilidad de Representación del Sistema de Espera a través de un Modelo Matemático.

Está relacionado con el grado de aplicabilidad del modelo analítico a sistemas prácticos.

 Los modelos de espera estándar con resultados utilizables suelen formularse y resolverse con la suposición que el comportamiento del cliente y del servidor se pueden predecir y cuantificar (en la forma de una función densidad de probabilidad). Desde esta perspectiva, entre los sistemas de espera reales se cuentan tres clases:

a.               Sistemas humanos, donde el servidor y el cliente son seres humanos, como en la operación de un supermercado.

b.               Sistemas semiautomáticos, donde solo el cliente o el servidor es un ser humano. Este sistema lo ilustra la situación de la reparación de máquinas, donde la máquina es el cliente y el mecánico es el servidor y los cajeros automáticos.

c.               Sistemas automáticos, en los que el cliente y el servidor no son seres humanos. Por ejemplo, en una instalación de computación de tiempo compartido, los programas representan al cliente y la unidad central de procesamiento desempeña el papel de servidor.

El objeto de la clasificación anterior es el de considerar el grado de aplicabilidad de los modelos de espera estándar a problemas reales. Los sistemas humanos deben ser en general los más difíciles de modelar en términos matemáticos, debido a la impredecibilidad de la conducta del ser humano. La situación es especialmente complicada cuando los intereses del cliente y del servidor no son mutuos. Por ejemplo: en un supermercado el cliente, cuyo mayor interés es recibir un servicio rápido, no tiene conciencia directa de las consecuencias (en términos de costos) de operar el supermercado en tales condiciones. Por otra parte, en una instalación de almacenamiento de herramienta de una fábrica, no puede presentarse un conflicto de intereses entre el cliente (operador de la máquina) y el servidor (encargado del almacén de herramienta) puesto que ambos empleados sirven a la misma organización.

    Esta exposición sugiere que el diseño de sistemas de espera debe estar más orientado hacia el uso de la operación semiautomática y automática, lo que hace que el sistema sea más receptivo al análisis matemático a través de modelos de espera existentes. Sin embargo, aunque los sistemas humanos puedan ser los menos sujetos al análisis matemático, a veces existe la posibilidad de que el sistema pueda ser ‘alterado’ para lograr un mejor ‘control’ del comportamiento del ser humano en la instalación de espera. El objetivo principal de alterar el sistema es el de producir resultados favorables en términos de su operación y, al mismo tiempo, hacerlo que se ajuste a las hipótesis de modelos de espera disponibles. Esto puede ocasionar que se vuelva a diseñar la proyección de la instalación para ‘forzar’ a los clientes a seguir un patrón de servicio específico. Un ejemplo, es la operación de servicio a clientes en la mayoría de las oficinas de correo e instalaciones de revisión en aeropuertos de los Estados Unidos. Antes, cada servidor tenía una línea o fila de clientes independientes. Se ha modificado la proyección del área de servicio a una línea de espera de servidores múltiples en el cual todos los clientes que llegan son forzados a formar una sola fila y los clientes son admitidos para ser atendidos sobre una base estricta donde el primero que llega es el primero en ser atendido. La nueva situación de espera se puede analizar con mayor facilidad, ya que es un ejemplo casi perfecto de un modelo de línea de espera de múltiples servidores. En la proyección anterior, existen oportunidades para ‘maniobrar’ entre las líneas de espera, lo que nos debe conducir por lo tanto, a un modelo de espera más complejo.

    No podemos prescribir el procedimiento de alteración de la operación de un sistema como una manera rutinaria de remediar todas las dificultades asociadas con la descripción de sistemas humanos en términos matemáticos. Tómese, por ejemplo, el caso de un estudio reportado en Lee (1966) acerca de un problema de espera en un aeropuerto inglés importante. Para ‘alterar’ la operación de la instalación de revisión con el fin de producir ciertos resultados favorables, a los pasajeros en espera que están a 5 minutos de abordar sus vuelos se les indica, a través de una señal adecuadamente situada, avanzar de uno en uno a la cabeza de su línea de espera y solicitar servicio de prioridad. El sistema ha fracasado porque los clientes, en su mayoría británicos, están ‘condicionados a una conducta de espera muy estricta’ y por lo tanto, son renuentes a adelantarse a otras personas que esperan delante de ellos.

Cuadro de texto: Por lo tanto, nuestra conclusión es que un sistema de espera humano sólo se puede ‘alterar’ hasta el grado en que los cambios resultantes no sean afrontados con resistencia de parte del cliente o del servidor.
 

 

 

 

 

 

 


2.  Flexibilidad del Modelo Matemático.

 

Se analiza el uso de modelos estándar para adaptarlo a sistemas complejos.

La complejidad analítica de un modelo de espera matemático puede ocurrir en dos niveles:

a.               Dificultad de formular y resolver el modelo matemático aunque las distribuciones de llegadas y salidas puedan conocerse en su totalidad.

b.               Dificultad de obtener resultados numéricos a partir de un método resuelto, debido a la complejidad de las expresiones matemáticas que describen las medidas de efectividad del sistema.

En el primer nivel, las desviaciones de las hipótesis de Poisson normalmente dan origen a modelos complejos. De hecho, de todos los modelos del tipo (M/G/S), sólo existen soluciones analíticas en los casos especiales donde el tiempo de servicio es constante o el número de servidores es igual al número de clientes. En el segundo nivel, buscamos la evaluación numérica de expresiones complejas.

El segundo tipo de dificultad parece superable, en particular con la disponibilidad de computadoras digitales de gran poder. Lo que nos interesa explorar es la posibilidad de determinar en forma aproximada situaciones complejas a través de otras cuyos resultados ya estén a disposición. En esencia, nos interesa estudiar el efecto de modificar las suposiciones básicas del modelo sobre sus medidas de desempeño, como el tiempo de espera estimado y el porcentaje de tiempo que la instalación está inactiva.

Existen situaciones donde el uso de estas aproximaciones es lo suficientemente evidente. Por ejemplo, el modelo (M/D/S) se puede aproximar al modelo (M/G/S) si la desviación estándar del tiempo de servicio es mucho menor que su valor medio. No obstante, realmente nos interesa explorar un grado de aproximación ‘mejor definido’, donde las hipótesis básicas del modelo de aproximación son violadas con toda claridad. Si los resultados del modelo se mantienen relativamente insensibles a cambios en sus hipótesis, se dice que el modelo es flexible en el sentido de que se puede utilizar para describir diferentes situaciones de espera sin una desviación excesiva en los resultados.

El mejor ejemplo del modelo más flexible en la teoría de la espera es la fórmula bien conocida Lq = lWq, el número de clientes en espera es igual a la tasa de llegadas por el tiempo de espera promedio. Esta fórmula es general en el sentido de que su aplicación es independiente de las distribuciones específicas de llegadas y salidas.

Los modelos altamente flexibles como la fórmula Lq = lWq no son muy comunes en la teoría de la espera. Sin embargo, deseamos demostrar que la idea de utilizar la flexibilidad del modelo para aproximar sistemas complejos sigue siendo una posibilidad factible. Supóngase que utilizamos el modelo (M/M/1) como una aproximación del modelo (M/G/1); es decir, supondremos que la distribución exponencial aproximará siempre la distribución del tiempo de servicio. Por lo tanto, si estimamos (a través del muestreo) que la tasa media de servicio es m, entonces bajo la suposición o hipótesis de la distribución exponencial, la media y la varianza de servicio serán 1/ m y 1/ m2, respectivamente. Ahora defínase a a2 como la razón de la varianza real a la supuesta de la distribución del tiempo de servicio.

 

                                        a2 =       varianza real          

                                                  varianza supuesta

 

                                        a2 =       varianza real          

                                                               1/ m2

 

    El parámetro a representa el grado de error que resulta del uso de 1/ m2 como aproximación de la varianza real o verdadera de la distribución del tiempo de servicio.

    Supóngase que medimos el grado de flexibilidad del modelo (M/M/1) al representar el modelo (M/G/1) calculando el error porcentual en el número estimado en el sistema. Si L’S y L’’S son el número estimado en el sistema, dados (M/M/1) y (M/G/1), respectivamente, el error porcentual (%E) se define como

 

                                       

    Como se sabe de los resultados de las fórmulas de espera,

 

                                       

donde

 

por lo tanto,                              

 

    El error al utilizar LS como aproximación de L’’S se debe mantener dentro del 10%.

    Este ejemplo no está destinado a ofrecer un procedimiento concreto para probar la flexibilidad del modelo porque, en términos generales, las medidas de efectividad del sistema aproximado no se conocen con anticipación. Sólo demuestra que existen oportunidades en la teoría de espera en la cual se pueden violar hipótesis básicas del modelo real mientras se mantiene el error en las medidas de desempeño del sistema de cálculo dentro de límites tolerables.

    Como conclusión, quizá los modelos de espera estándar no se puedan aplicar a muchas situaciones reales. No obstante  se puede vencer esta dificultad en dos formas:

1.              Alterando el diseño y operación del sistema de espera de manera que se produzcan lógicamente resultados opcionales favorables y a la vez se permita el análisis a través de modelos de espera estándar.

2.              Aprovechando la posibilidad de que se puedan infringir ciertas hipótesis de modelos de espera disponibles sin que se genere un error apreciable en las medidas de desempeño del sistema.

 

 

MEDIDAS DE RENDIMIENTO PARA EVALUAR UN MODELO DE COLAS

 

El objetivo de la teoría de colas consiste en responder cuestiones administrativas pertenecientes al diseño y a  la operación de un sistema de colas. El gerente de un banco puede querer decidir si programa tres o cuatro cajeros durante la hora del almuerzo. En una estructura de producción, el administrador puede desear evaluar el impacto de la compra de una nueva maquina que pueda procesar los productos con mayor rapidez.

Cualquier sistema de colas pasa por dos fases básicas. Por ejemplo, considere la cantidad de tiempo que los clientes tienen que esperar en un banco durante el curso de un día. Cuando el banco abre a la mañana, no hay nadie en el sistema, de modo que el primer cliente es atendido de manera inmediata. Conforme van llegando mas clientes, lentamente se va formando la cola y la cantidad de tiempo que tienen que esperar empieza a aumentar. A medida que avanza el día, el  sistema llega a una condición en la que el efecto de la falta inicial de clientes ha sido eliminado y el tiempo de espera de cada cliente ha alcanzado un nivel bastante estable. Como se indica en la figura, la fase inicial, que conserva los efectos de las condiciones iniciales, se conoce como fase transitoria. Después de que los efectos de las condiciones iniciales son eliminados, el sistema entra en un estado estable.

Las fórmulas se aplican solamente cuando el comportamiento del sistema de cola corresponde al estado estable.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Medidas de rendimiento para evaluar un sistema de cola

 

Existen  medidas de rendimiento diferentes que se utilizan para evaluar un sistema de colas en estado estable. Para diseñar y poner en operación un sistema de colas, por lo general, los administradores se preocupan por el nivel de servicio que recibe un cliente, así como el uso apropiado de las instalaciones de servicio de la empresa. Algunas de las medidas que se utilizan para evaluar el rendimiento surgen de hacerse las siguientes preguntas:

 

1.    Preguntas relacionadas con el tiempo, centradas en el cliente, como:

 

a.      ¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente recién llegado tiene que esperar en la fila antes de ser atendido? La medida de rendimiento asociada es:

 

Wq (u. t.) = tiempo esperado en cola, por cada cliente

Donde u.t. es la unidad de tiempo que corresponde a la variable.

 

b.     ¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente invierte en el sistema entero, incluyendo el tiempo de espera y de servicio? La medida de rendimiento asociada es:

 

Ws (u. t.) = tiempo esperado total de permanencia en el sistema para cada cliente(incluido el tiempo de servicio).

 

2.    Preguntas cuantitativas pertenecientes al número de clientes, como:

 

a.      En promedio, ¿cuántos clientes están esperando en la cola para ser atendidos? La medida de rendimiento asociada es:

 

Lq (clientes) = número esperado de clientes en la cola.

 

b.     ¿Cuál es el número promedio de clientes en el sistema? La medida de rendimiento asociada es:

                          

Ls (clientes) = número esperado de clientes en el sistema.

 

3.    Preguntas probabilísticas que implican tanto a los clientes como a los servidores, por ejemplo:

 

a.      ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llegue tenga que esperar a ser atendido? La medida de rendimiento asociada es:

 

pw = probabilidad de bloqueo o probabilidad de que el  cliente que llega tenga que esperar para ser atendido.

 

b.     En cualquier tiempo particular, ¿cuál es la probabilidad de que un servidor esta ocupado? La medida de rendimiento asociada es:

 

r (adimensional) = intensidad o factor de tráfico.

r =

 

Esta medida indica también la fracción de tiempo que un servidor esta ocupado. Cuando toma un valor superior a la unidad es necesario agregar un servidor más a los que ya constituyen el centro de atención.

 

c.      ¿Cuál es la probabilidad de que existan n clientes en el sistema? La medida de rendimiento asociada se obtiene calculando la probabilidad p0 de que no haya clientes en el sistema, la probabilidad p1 de que haya un cliente en el sistema, y así sucesivamente. Esto tiene como resultado la distribución de probabilidad de estado, representada por Pn, n= 0,1, ... La medida de rendimiento asociada es:

 

Pn = probabilidad de que exactamente n clientes se encuentren en el sistema.

 

d.     Si el espacio de espera es finito, ¿cuál es la probabilidad de que la cola esté llena y que un cliente que llegue no sea atendido? La medida de rendimiento asociada es:

 

pd = probabilidad de negación del servicio

 

4.    Preguntas relacionadas con los costos, como:

 

a.      ¿Cuál es el costo promedio por unidad de tiempo para operar el sistema?

b.     ¿Cuántas estaciones de trabajo se necesitan para lograr la mayor efectividad de costos?

La medida de rendimiento asociada es Costo Total Esperado:

 

CTE =C1 * Lq * r + C2 * &

 

Siendo C1 ($/cliente) el costo de esperar en cola (por unidad de tiempo) antes de obtener el servicio y C2 ($/canal) el costo de improductividad del centro (por unidad de tiempo) por cuanto en algún momento permanece inactivo.

Cuando el centro de atención cuenta con numerosos canales S, la extensión de la cola y su costo consecuente disminuyen pudiendo incluso desaparecer.

    Si el centro de atención dispone de numerosos canales su costo por inactividad crece y a la inversa en caso contrario. Gráficamente:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Se deduce que el Costo Total Esperado Optimo (CTEo) se corresponde con aquel punto para el cual el centro de atención dispone de un adecuado número de canales de atención (Se), tal que:

 

C1 * Lq *r  =  C2 * &

 

Si, C1 * Lq *r  <  C2 * &, el costo improductivo de los canales es superior al de espera en fila; en tal caso se mantendrá S como número de canales a utilizar: S=Se(cantidad mínima de servidores para que el sistema funciones)

 

Si, C1 * Lq *r  >  C2 * &, se deberá adicionar otros servidores (en general uno más) reduciéndose así la extensión de la cola y su costo:

    Se =S+1 (eventualmente podría necesitarse agregar más de un servidor)

 

 

 

 

 

5.    Otros conceptos importantes  relacionados con el sistema son:

 

M (clientes) = Población o número de clientes potenciales que podría ingresar al sistema en búsqueda de servicio. Con frecuencia se considera extensión infinita.

 

N (clientes) = Condición de Estado, es el número de clientes que en un  determinado instante(fotografía) se encuentran dentro del sistema, ya sea recibiendo atención en los canales de despacho o esperando recibirlo, formando para ello una línea de espera.

 

m (clientes/u.t.) = número promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo en una estación. También recibe el nombre de velocidad de despacho.

 

l (clientes/u.t.) = número promedio de llegadas por unidad de tiempo. También recibe el nombre de velocidad de arribo.

 

ts (u.t./clientes) = tiempo de servicio por cliente. Es el valor inverso a la velocidad de despacho:                                   ts =

 

ta (u.t./clientes) = tiempo de llegada o de arribo por cliente. Es el valor inverso a la velocidad de arribo:           ta =

 

k(clientes) = Bulk Service, número de clientes atendidos simultáneamente por cada canal.

 

Y = Factor de uso (coeficiente de tráfico). Es el cociente entre el factor de trafico y el producto del “número de estaciones” por el “Bulk service”. Para sistemas donde los tiempos de arribo y los tiempos de servicios son determínisticos toma el valor 1, en caso contrario toma un valor inferior a la unidad.

Y = =   

 

Un buen número se encuentra en el intervalo    0.75 < Y < 0.9

 

Relaciones deseables para los procesos estocásticos(probabilísticos):

0.75 <= r <= 0.9(servidor único sin bulk service)

0.75 <=  <= 0.9(servidor único con bulk service)

0.75 <=Y <= 0.9(servidores múltiples con o sin bulk service)

 

S (canales) = número de servidores en paralelo que componen el centro de servicio del sistema.

ü     Número mínimo de canales(S): para que  el sistema funcione:

 

S > r(cantidad mínima de servidores sin bulk service)
S*k > r(cantidad mínima de servidores con bulk service)

 

ü     Número óptimo de canales(Se) se cumple cuando:

 

C1 * Lq *r  =  C2 * &(equilibrio de costos)

 

ü     Número máximo de canales(Smax): puede ser alguno de los dos descriptos anteriormente, pero también puede ser un valor superior. El número máximo de servidores es aquel que brinda una cola media muy próxima a cero. Recuérdese que de los dos componentes del Tiempo de permanencia en el sistema (Ws), el único que puede reducirse(o eliminarse)  es el Tiempo de espera en cola(Wq), el tiempo de servicio es inalterable, salvo que se haga una reingeniería en el proceso de atención:

 

S<= Se <= Smax

 

r (adimensional) = Factor Corrector para los casos diferentes a distribuciones Poisson / Exponencial

 

& (canales) = Promedio de canales desocupados (sub - aprovechados)

& = 0  (Para sistemas determinísticos)

& = S- r (Para sistemas estocásticos sin Bulk Service)

 & = Sk- r (Para sistemas estocasticos con Bulk Service)

 

Probabilidad de que el sistema exceda a n:

                

p(Ls > n) = rn + 1

 

 

RELACIONES ENTRE LAS VARIABLES

 

ü     Estructura del centro de servicio

 

S = r (para sistemas determinísticos sin Bulk Service)

Sk = r (Para sistemas determinísticos con Bulk Service)

S > r (para sistemas estocásticos sin Bulk Service)

Sk > r (Para sistemas estocásticos con Bulk Service)

 

    Salvo para casos determinísticos, un sistema de espera en fila sólo funciona cuando el centro de servicio esta compuesto por un mínimo de servidores  “S” cuyo valor numérico supera al Factor de Tráfico.

 

ü     Clientes que en promedio están contenidos en el sistema:

 

Ls  = Lq *  r  + (S - &)

 

    El número medio de elementos contenidos  en el sistema se compone por:

a.      Los clientes que aguardan en la fila de espera.

b.     Los que están recibiendo atención en los canales de despacho.

c.      La probabilidad de desaprovechamiento de estos canales.

 

ü     Tiempo medio de espera en fila

Cuadro de texto: Nota: “la extensión de la cola y el tiempo de espera en cola sólo dependen de la velocidad de arribo de los clientes al sistema”, para los casos de sistemas en cascada o serie, la velocidad de arribo se propaga desde cada proceso al siguiente en forma sucesiva.

 

 

 

 

 

 

 


El cálculo de muchas medidas de rendimiento depende de los procesos de llegada y de servicio del sistema de colas específico. Recuerde que en el caso probabilístico, estos procesos son descritos matemáticamente mediante distribuciones de llegada y de servicio. Incluso sin conocer la distribución especifica, las relaciones entre algunas de las medidas de rendimiento pueden obtenerse para ciertos sistemas de colas, únicamente mediante el uso de los siguientes parámetros de los procesos de llegada y de servicio:  l  y  m.

Suponga una población de clientes infinita y una cantidad ilimitada de espacio de espera en la fila. El tiempo total que un cliente invierte en el sistema es la cantidad de tiempo invertido en esperar en la fila más el tiempo durante el cual es atendido:

 

Tiempo promedio en el sistema

 

Tiempo promedio de espera en cola

 

Tiempo promedio de servicio

 
 


                                     =                                  +

 

 

Como ya dijimos el tiempo de servicio es la inversa de la velocidad de despacho, entonces:


 

 


Consideremos ahora la relación entre el número promedio de clientes en el sistema y el  tiempo promedio que cada cliente pasa en el sistema. Imagine que un cliente acaba de llegar y se espera que permanezca en el sistema un promedio de ½ hora. Durante esta media hora, otros clientes siguen llegando a una tasa l, digamos doce por hora. Cuando el cliente en cuestión abandona el sistema, después de media hora, deja atrás un promedio de (1/2)*12 = 6 clientes nuevos. Es decir, en promedio, existen seis clientes en el sistema a cualquier tiempo dado. En términos de l y de las medidas de rendimiento,  entonces:

 

Número promedio de clientes en el sistema

 

Número promedio de llegadas por unidad de tiempo

 

Tiempo promedio en el sistema

 
 


                                     =                                 *

 

 

de modo que:


 


Utilizando una lógica parecida se obtiene la siguiente relación entre le número promedio de clientes que esperan en la cola y el tiempo promedio de espera en la fila:

Numero promedio de clientes en  cola

 

Número promedio de llegadas por unidad de tiempo

 

Tiempo promedio en la cola

 
 


                                   =                                            *

 

 

de manera que: 


 

 

 

 


MODELO  (M/M/1):(FIFO/¥/¥)

Cuadro de texto: Si r ³ 1, no existe estado estable.

 

 

 

r < 1,

  (n = 0, 1, 2,...)

                                       

                                         

                                         

                                         

 

(Las tres últimas fórmulas se obtuvieron mediante las fórmulas de Ls , Lq y r a través de la relación L = lW).

 

MODELO  (M/M/1):(FIFO/N/¥)

 

Si l ¹ m,

 

  (n = 0, 1, 2, ......,S)

  (n =S+1, S+2, .......)

               

Si l = m, 


(n = 0, 1, ...., S)

 
 

 


                           

Para todo valor de l y m,

 

                           

 

                                         

                                       

 

                                       

MODELO  (M/M/S):(FIFO/¥/¥)

 

Para r ³ 1, no existe estado estable. Para r <1,

 

                           

  (n= 1, 2, ....., S)

 

                                          (n = S, S+1, S+2, ....)

                                         

                                       

                                                                                     

                                       

                                       

                                       

                                       

 

 

MODELO (M/G/¥):(FIFO/¥/¥)

 

        (también es el número de clientes en servicio)

            

                           

                           

 

MODELO (M/G/1):(FIFO/¥/¥)

 

                varianza de la distribución de tiempos de servicios

               

               

                            

               

               

                                       

               

 

 

 

EJEMPLO: UN SUPERMERCADO

 

Imagínese un supermercado grande con muchas cajas de salida. Supóngase que los clientes llegan para que les marquen su cuenta con una tasa de 90 por hora y que hay 10 cajas en operación. (Nótese que una familia junta de compras se trata como un cliente.). El modelo de espera original es (M/M/S):(FIFO/¥/¥), pero si hay poco intercambio entre las líneas, puede tratarse este problema como 10 sistemas separados de una sola línea [ (M/M/1):(FIFO/¥/¥) ], cada uno con una llegada de nueve clientes por hora. Para una tasa de servicio de 12 por hora:

 

Dados:

l = 9 clientes/hora

m = 12 clientes/hora

 

Entonces:

 

                             

                             

                             

 

 

Entonces, para este ejemplo, el cliente en promedio espera 15 minutos antes del servicio (algunos esperan más, otros menos). En promedio, hay un poco más de dos clientes en la línea o tres en el sistema. El proceso completo lleva un promedio de 20 minutos. La caja está ocupada el 75% del tiempo(estará desocupada el 25% del tiempo). Y finalmente, el 32% del tiempo habrá cuatro personas o más en el sistema (o tres o más esperando en la cola).

 

 

ANÁLISIS DEL EJEMPLO

 

Las características de operación de un supermercado hacen que surjan algunas preguntas. Primero, si hay una línea de espera de más de dos en promedio,  ¿por qué la instalación de servicio se utiliza solo el 75% del tiempo y no el 100%? La respuesta está en la aleatoriedad del sistema. Se dice que los clientes llegan con una tasa de nueve por hora en promedio, pero no están espaciados uniformemente en el tiempo. Habrá períodos de llegadas rápidas así como períodos de muy pocas llegadas. De manera análoga, el tiempo de servicio varía: es corto para las órdenes pequeñas y largo para las grandes. En períodos de holgura, la caja está desocupada, mientras que los períodos activos pueden producir una línea de espera de más de dos clientes (como ya se calculó el 32% del tiempo, la línea de espera excede a tres). Siempre que la capacidad de servicio exceda las tasas de llegadas, habrá tiempo inútil. Demasiado tiempo inútil es indeseable.

    Si existe un promedio de 2.25 clientes esperando más uno siendo servido, ¿Por qué la longitud del sistema es 3 y no 3.25? Se puede comprobar que restando  Lq de Ls se obtiene r, la que es siempre menor que uno. Si hay clientes esperando, debe haber otro que está en la caja, esto hace que la diferencia entre las longitudes de cola y del sistema sea 1. Pero como ya se dijo, habrá otros momentos en que el sistema esté vacío y la diferencia sea cero.

      El tiempo promedio de espera en cola más el tiempo promedio de servicio es igual que el tiempo promedio en el sistema. (15 + 5 = 20 minutos).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AUTOR

 

TREJO, Natalia

E-mail: nbtrejo@uol.com.ar

UTN

 

 


 [.1]

CONTINUAR