NOMENCLATURA Y FÓRMULAS GENERALES DE ESTADO
REPRESENTACIÓN DE LA TEORÍA DE COLA MEDIANTE MODELOS
MATEMÁTICOS
La aplicación de la teoría de la espera en la práctica
implica dos aspectos principales:
1.
Selección del modelo matemático adecuado que representará
al sistema real en forma apropiada con el objeto de determinar las medidas de
desempeño del sistema.
2.
Implementación
de un modelo de decisión basado en
las medidas de desempeño del sistema con el fin de diseñar la instalación de
servicio.
Después de la selección de un modelo de espera, el paso
siguiente consiste en utilizar los resultados para tomar decisiones referentes
al diseño del sistema real. Esto puede ocasionar que se utilicen directamente
las medidas de desempeño del sistema para determinar la forma en que debe
operar. En forma alternativa, se puede implementar un modelo de optimización de
costos a fin de determinar la operación óptima del sistema real.
El
investigador británico D. Kendall introdujo en 1953 una notación pragmática
para las diferentes líneas de espera. Lee complementó esta lista en 1966. La
notación tiene la siguiente forma general:
(a/b/c):(d/e/f)
donde:
a: Distribución de
llegada.
b: Distribución del
servicio.
c: Número de servidores
en paralelo en el sistema.
d: Disciplina del
servicio.
e: Máximo número de clientes que pueden estar en el sistema
(esperando y recibiendo servicio).
f: Fuente de
generación de clientes.
Se utilizan los siguientes códigos para los símbolos a y b[.1]:
M : Llegada con distribución de Poisson y servicio distribuido exponencialmente. (M significa Markov).
D : Llegada o servicio determinísticos.
E : Llegada y servicios distribuidos respectivamente con distribución de Erlang y Gamma.
GI : Llegadas con una distribución general independiente.
G : Servicios con una distribución general independiente.
Para el símbolo d
se utiliza el siguiente código:
FCFS(FIFO) : Primero que llega, primero
que se le proporciona servicio.
LCFS(LIFO) : Último que llega, primero
que se le proporciona servicio.
SIRO : Servicio en orden aleatorio.
NPRP
: Servicio prioritario no abortivo.
RPP
: Servicio prioritario abortivo.
Se presentan a continuación algunos ejemplos de posibles
modelos de espera utilizando la notación Kendall-Lee:
Código (a/b/c): (d/e/f)
(M/M/1): (FCFS/ ¥/ ¥)
(M/M/1):
(FCFS/N/¥)
(M/M/S): (FCFS/¥/¥)
(M/M/S): (FCFS/N/¥), S < N
(M/M/S): (PRP/¥/¥)
(M/M/S): (NPRP/¥/¥)
Las dificultades que existen al utilizar modelos de colas en
la práctica pueden presentarse principalmente desde dos puntos de vista:
1.
Facilidad de Representación del Sistema de Espera a través
de un Modelo Matemático.
Está relacionado con el grado de aplicabilidad del modelo
analítico a sistemas prácticos.
Los modelos de
espera estándar con resultados utilizables suelen formularse y resolverse con
la suposición que el comportamiento del cliente y del servidor se pueden
predecir y cuantificar (en la forma de una función densidad de probabilidad).
Desde esta perspectiva, entre los sistemas de espera reales se cuentan tres
clases:
a.
Sistemas
humanos, donde el servidor y el cliente son seres humanos, como en la operación
de un supermercado.
b.
Sistemas
semiautomáticos, donde solo el cliente o el servidor es un ser humano. Este
sistema lo ilustra la situación de la reparación de máquinas, donde la máquina
es el cliente y el mecánico es el servidor y los cajeros automáticos.
c.
Sistemas
automáticos, en los que el cliente y el servidor no son seres humanos. Por
ejemplo, en una instalación de computación de tiempo compartido, los programas
representan al cliente y la unidad central de procesamiento desempeña el papel
de servidor.
El objeto de la clasificación anterior es el de considerar
el grado de aplicabilidad de los modelos de espera estándar a problemas reales.
Los sistemas humanos deben ser en
general los más difíciles de modelar en términos matemáticos, debido a la
impredecibilidad de la conducta del ser humano. La situación es especialmente
complicada cuando los intereses del cliente y del servidor no son mutuos. Por
ejemplo: en un supermercado el cliente, cuyo mayor interés es recibir un
servicio rápido, no tiene conciencia directa de las consecuencias (en términos
de costos) de operar el supermercado en tales condiciones. Por otra parte, en
una instalación de almacenamiento de herramienta de una fábrica, no puede
presentarse un conflicto de intereses entre el cliente (operador de la máquina)
y el servidor (encargado del almacén de herramienta) puesto que ambos empleados
sirven a la misma organización.
Esta exposición
sugiere que el diseño de sistemas de espera debe estar más orientado hacia el
uso de la operación semiautomática y automática, lo que hace que el sistema
sea más receptivo al análisis matemático a través de modelos de espera
existentes. Sin embargo, aunque los sistemas humanos puedan ser los menos
sujetos al análisis matemático, a veces existe la posibilidad de que el sistema
pueda ser ‘alterado’ para lograr un mejor ‘control’ del comportamiento del ser
humano en la instalación de espera. El objetivo principal de alterar el sistema
es el de producir resultados favorables en términos de su operación y, al mismo
tiempo, hacerlo que se ajuste a las hipótesis de modelos de espera disponibles.
Esto puede ocasionar que se vuelva a diseñar la proyección de la instalación
para ‘forzar’ a los clientes a seguir un patrón de servicio específico. Un
ejemplo, es la operación de servicio a clientes en la mayoría de las oficinas
de correo e instalaciones de revisión en aeropuertos de los Estados Unidos. Antes, cada servidor tenía una
línea o fila de clientes independientes. Se
ha modificado la proyección del área de servicio a una línea de espera de
servidores múltiples en el cual todos
los clientes que llegan son forzados a formar una sola fila y los clientes son admitidos para ser atendidos sobre
una base estricta donde el primero que llega es el primero en ser atendido. La
nueva situación de espera se puede analizar con mayor facilidad, ya que es un
ejemplo casi perfecto de un modelo de línea de espera de múltiples servidores.
En la proyección anterior, existen oportunidades para ‘maniobrar’ entre las
líneas de espera, lo que nos debe conducir por lo tanto, a un modelo de espera
más complejo.
No podemos
prescribir el procedimiento de alteración de la operación de un sistema como
una manera rutinaria de remediar todas las dificultades asociadas con la
descripción de sistemas humanos en términos matemáticos. Tómese, por ejemplo,
el caso de un estudio reportado en Lee (1966) acerca de un problema de espera en
un aeropuerto inglés importante. Para ‘alterar’ la operación de la instalación
de revisión con el fin de producir ciertos resultados favorables, a los
pasajeros en espera que están a 5 minutos de abordar sus vuelos se les indica,
a través de una señal adecuadamente situada, avanzar de uno en uno a la cabeza
de su línea de espera y solicitar servicio de prioridad. El sistema ha
fracasado porque los clientes, en su mayoría británicos, están ‘condicionados a
una conducta de espera muy estricta’ y por lo tanto, son renuentes a
adelantarse a otras personas que esperan delante de ellos.
2. Flexibilidad del Modelo Matemático.
Se analiza el uso de modelos estándar para adaptarlo a sistemas complejos.
La complejidad analítica de un modelo de espera matemático
puede ocurrir en dos niveles:
a.
Dificultad de
formular y resolver el modelo matemático aunque las distribuciones de llegadas
y salidas puedan conocerse en su totalidad.
b.
Dificultad de
obtener resultados numéricos a partir
de un método resuelto, debido a la complejidad de las expresiones matemáticas
que describen las medidas de efectividad del sistema.
En el primer nivel, las desviaciones de las hipótesis de
Poisson normalmente dan origen a modelos complejos. De hecho, de todos los
modelos del tipo (M/G/S), sólo existen soluciones analíticas en los casos
especiales donde el tiempo de servicio es constante o el número de servidores
es igual al número de clientes. En el segundo nivel, buscamos la evaluación
numérica de expresiones complejas.
El segundo tipo de dificultad parece superable, en
particular con la disponibilidad de computadoras digitales de gran poder. Lo
que nos interesa explorar es la posibilidad de determinar en forma aproximada
situaciones complejas a través de otras cuyos resultados ya estén a
disposición. En esencia, nos interesa estudiar el efecto de modificar las
suposiciones básicas del modelo sobre sus medidas de desempeño, como el tiempo
de espera estimado y el porcentaje de tiempo que la instalación está inactiva.
Existen situaciones donde el uso de estas aproximaciones es
lo suficientemente evidente. Por ejemplo, el modelo (M/D/S) se puede aproximar
al modelo (M/G/S) si la desviación estándar del tiempo de servicio es mucho
menor que su valor medio. No obstante, realmente nos interesa explorar un grado
de aproximación ‘mejor definido’, donde las hipótesis básicas del modelo de
aproximación son violadas con toda claridad. Si los resultados del modelo se
mantienen relativamente insensibles a cambios en sus hipótesis, se dice que el
modelo es flexible en el sentido de
que se puede utilizar para describir diferentes situaciones de espera sin una
desviación excesiva en los resultados.
El mejor ejemplo del modelo más flexible en la teoría de la
espera es la fórmula bien conocida Lq
= lWq, el número de clientes en espera es igual a la tasa de
llegadas por el tiempo de espera promedio. Esta fórmula es general en el
sentido de que su aplicación es independiente de las distribuciones específicas
de llegadas y salidas.
Los modelos altamente flexibles como la fórmula Lq = lWq
no son muy comunes en la teoría de la espera. Sin embargo, deseamos demostrar
que la idea de utilizar la flexibilidad del modelo para aproximar sistemas
complejos sigue siendo una posibilidad factible. Supóngase que utilizamos el
modelo (M/M/1) como una aproximación del modelo (M/G/1); es decir, supondremos
que la distribución exponencial aproximará siempre la distribución del tiempo
de servicio. Por lo tanto, si estimamos (a través del muestreo) que la tasa
media de servicio es m, entonces bajo la suposición o hipótesis de la distribución
exponencial, la media y la varianza de servicio serán 1/ m y 1/ m2,
respectivamente. Ahora defínase a a2 como la razón de la varianza real a la supuesta de la
distribución del tiempo de servicio.
a2
= varianza real
varianza supuesta
a2
= varianza real
1/ m2
El parámetro a representa el
grado de error que resulta del uso de 1/ m2 como aproximación de la varianza real o verdadera de la
distribución del tiempo de servicio.
Supóngase que
medimos el grado de flexibilidad del modelo (M/M/1) al representar el modelo
(M/G/1) calculando el error porcentual en el número estimado en el sistema. Si L’S y L’’S son el número estimado en el sistema, dados (M/M/1)
y (M/G/1), respectivamente, el error porcentual (%E) se define como
Como se sabe de los
resultados de las fórmulas de espera,
donde
por lo tanto,
Este ejemplo no está destinado a ofrecer un procedimiento concreto para probar la flexibilidad del modelo porque, en términos generales, las medidas de efectividad del sistema aproximado no se conocen con anticipación. Sólo demuestra que existen oportunidades en la teoría de espera en la cual se pueden violar hipótesis básicas del modelo real mientras se mantiene el error en las medidas de desempeño del sistema de cálculo dentro de límites tolerables.
Como conclusión,
quizá los modelos de espera estándar no se puedan aplicar a muchas situaciones
reales. No obstante se puede vencer
esta dificultad en dos formas:
1.
Alterando el
diseño y operación del sistema de espera de manera que se produzcan lógicamente resultados opcionales
favorables y a la vez se permita el análisis a través de modelos de espera
estándar.
2.
Aprovechando
la posibilidad de que se puedan infringir ciertas hipótesis de modelos de
espera disponibles sin que se genere un error apreciable en las medidas de
desempeño del sistema.
El
objetivo de la teoría de colas consiste en responder cuestiones administrativas
pertenecientes al diseño y a la
operación de un sistema de colas. El gerente de un banco puede querer decidir
si programa tres o cuatro cajeros durante la hora del almuerzo. En una
estructura de producción, el administrador puede desear evaluar el impacto de
la compra de una nueva maquina que pueda procesar los productos con mayor rapidez.
Cualquier
sistema de colas pasa por dos fases básicas. Por ejemplo, considere la cantidad
de tiempo que los clientes tienen que esperar en un banco durante el curso de
un día. Cuando el banco abre a la mañana, no hay nadie en el sistema, de modo
que el primer cliente es atendido de manera inmediata. Conforme van llegando
mas clientes, lentamente se va formando la cola y la cantidad de tiempo que
tienen que esperar empieza a aumentar. A medida que avanza el día, el sistema llega a una condición en la que el
efecto de la falta inicial de clientes ha sido eliminado y el tiempo de espera
de cada cliente ha alcanzado un nivel bastante estable. Como se indica en la
figura, la fase inicial, que conserva los efectos de las condiciones iniciales,
se conoce como fase transitoria. Después
de que los efectos de las condiciones iniciales son eliminados, el sistema
entra en un estado estable.
Las fórmulas se aplican solamente cuando el comportamiento del
sistema de cola corresponde al estado estable.
Medidas de rendimiento para
evaluar un sistema de cola
Existen medidas de rendimiento diferentes que se
utilizan para evaluar un sistema de colas en estado estable. Para diseñar y
poner en operación un sistema de colas, por lo general, los administradores se
preocupan por el nivel de servicio que recibe un cliente, así como el uso
apropiado de las instalaciones de servicio de la empresa. Algunas de las
medidas que se utilizan para evaluar el rendimiento surgen de hacerse las
siguientes preguntas:
1.
Preguntas relacionadas
con el tiempo, centradas en el cliente, como:
a.
¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente recién llegado
tiene que esperar en la fila antes de ser atendido? La medida de rendimiento
asociada es:
Wq (u. t.) = tiempo esperado en cola, por
cada cliente
Donde
u.t. es la unidad de tiempo que corresponde a la variable.
b.
¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente invierte en el
sistema entero, incluyendo el tiempo de espera y de servicio? La medida de
rendimiento asociada es:
Ws (u. t.) = tiempo esperado total de
permanencia en el sistema para cada cliente(incluido el tiempo de servicio).
2.
Preguntas cuantitativas
pertenecientes al número de clientes, como:
a.
En promedio, ¿cuántos clientes están esperando en la cola
para ser atendidos? La medida de rendimiento asociada es:
Lq (clientes) = número esperado de clientes en la cola.
b.
¿Cuál es el número promedio de clientes en el sistema? La
medida de rendimiento asociada es:
Ls (clientes) = número esperado de clientes en
el sistema.
3.
Preguntas probabilísticas
que implican tanto a los clientes como a los servidores, por ejemplo:
a.
¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llegue tenga
que esperar a ser atendido? La medida de rendimiento asociada es:
pw = probabilidad de bloqueo o
probabilidad de que el cliente que
llega tenga que esperar para ser atendido.
b.
En cualquier tiempo particular, ¿cuál es la probabilidad de
que un servidor esta ocupado? La medida de rendimiento asociada es:
r
(adimensional) = intensidad o factor de tráfico.
r =
Esta medida indica también la fracción de tiempo que un
servidor esta ocupado. Cuando toma un valor superior a la unidad es necesario
agregar un servidor más a los que ya constituyen el centro de atención.
c.
¿Cuál es la probabilidad de que existan n clientes en el sistema? La medida de
rendimiento asociada se obtiene calculando la probabilidad p0 de que no haya clientes en el sistema, la
probabilidad p1 de que
haya un cliente en el sistema, y así sucesivamente. Esto tiene como resultado
la distribución de probabilidad de estado, representada por Pn, n= 0,1, ... La medida de
rendimiento asociada es:
Pn = probabilidad de que
exactamente n clientes se encuentren
en el sistema.
d.
Si el espacio de espera es finito, ¿cuál es la probabilidad
de que la cola esté llena y que un cliente que llegue no sea atendido? La
medida de rendimiento asociada es:
pd = probabilidad de negación del
servicio
4.
Preguntas relacionadas
con los costos, como:
a.
¿Cuál es el costo promedio por unidad de tiempo para operar
el sistema?
b.
¿Cuántas estaciones de trabajo se necesitan para lograr la
mayor efectividad de costos?
La medida
de rendimiento asociada es Costo Total Esperado:
CTE =C1 * Lq * r + C2 * &
Siendo C1 ($/cliente) el costo de esperar en cola (por unidad de
tiempo) antes de obtener el servicio y C2 ($/canal) el costo de
improductividad del centro (por unidad de tiempo) por cuanto en algún momento
permanece inactivo.
Cuando el
centro de atención cuenta con numerosos canales S, la
extensión de la cola y su costo consecuente disminuyen pudiendo incluso
desaparecer.
Si el centro de atención dispone de
numerosos canales su costo por inactividad crece y a la inversa en caso
contrario. Gráficamente:
Se deduce
que el Costo Total Esperado Optimo (CTEo) se
corresponde con aquel punto para el cual el centro de atención dispone de un
adecuado número de canales de atención (Se), tal
que:
C1 * Lq *r = C2 * &
Si, C1 * Lq *r < C2 * &, el costo
improductivo de los canales es superior al de espera en fila; en tal caso se
mantendrá S como número de canales a utilizar: S=Se(cantidad
mínima de servidores para que el sistema funciones)
Si, C1 * Lq *r > C2 * &, se deberá adicionar otros
servidores (en general uno más) reduciéndose así la extensión de la cola y su
costo:
Se =S+1 (eventualmente podría necesitarse
agregar más de un servidor)
5.
Otros conceptos importantes relacionados con el sistema son:
M (clientes) = Población o número de clientes
potenciales que podría ingresar al sistema en búsqueda de servicio. Con
frecuencia se considera extensión infinita.
N (clientes) = Condición de Estado, es el
número de clientes que en un
determinado instante(fotografía) se encuentran dentro del sistema, ya
sea recibiendo atención en los canales de despacho o esperando recibirlo,
formando para ello una línea de espera.
m
(clientes/u.t.) = número promedio de clientes atendidos por unidad de
tiempo en una estación. También recibe el nombre de velocidad de despacho.
l
(clientes/u.t.) = número promedio de llegadas por unidad de tiempo. También
recibe el nombre de velocidad de arribo.
ts (u.t./clientes) = tiempo de
servicio por cliente. Es el valor inverso a la velocidad de despacho: ts =
ta (u.t./clientes) = tiempo de
llegada o de arribo por cliente. Es el valor inverso a la velocidad de arribo: ta
=
k(clientes) = Bulk Service,
número de clientes atendidos simultáneamente por cada canal.
Y = Factor de
uso (coeficiente de tráfico). Es el cociente entre el factor de trafico y el
producto del “número de estaciones” por el “Bulk service”. Para sistemas donde
los tiempos de arribo y los tiempos de servicios son determínisticos toma el
valor 1, en caso contrario toma un valor inferior a la unidad.
Y = =
Un buen número
se encuentra en el intervalo 0.75 < Y < 0.9
Relaciones deseables para los procesos estocásticos(probabilísticos):
0.75 <= r <= 0.9(servidor único sin bulk service)
0.75
<= <= 0.9(servidor
único con bulk service)
0.75
<=Y
<= 0.9(servidores múltiples con o sin bulk service)
S (canales) = número de servidores en
paralelo que componen el centro de servicio del sistema.
ü Número mínimo de canales(S): para que el sistema funcione:
ü Número óptimo de canales(Se) se cumple
cuando:
C1 * Lq *r = C2 * &(equilibrio
de costos)
ü
Número máximo de canales(Smax): puede
ser alguno de los dos descriptos anteriormente, pero también puede ser un valor
superior. El número
máximo de servidores es aquel que brinda una cola media muy próxima a
cero. Recuérdese que de los dos componentes del Tiempo de permanencia en el
sistema (Ws), el único que puede reducirse(o eliminarse) es el Tiempo de espera en cola(Wq),
el tiempo de servicio es inalterable, salvo que se haga una reingeniería en el
proceso de atención:
S<= Se <= Smax
r (adimensional) = Factor
Corrector para los casos diferentes a distribuciones Poisson / Exponencial
& (canales) = Promedio de
canales desocupados (sub - aprovechados)
& = 0 (Para sistemas determinísticos)
& = S- r
(Para sistemas estocásticos sin Bulk Service)
& = Sk- r
(Para sistemas estocasticos con Bulk Service)
Probabilidad de que el sistema exceda a n:
p(Ls > n) = rn
+ 1
RELACIONES
ENTRE LAS VARIABLES
ü Estructura del centro de servicio
S = r (para sistemas determinísticos sin Bulk Service)
Sk = r
(Para sistemas determinísticos con Bulk Service)
S
> r
(para sistemas estocásticos sin Bulk Service)
Sk
> r
(Para sistemas estocásticos con Bulk Service)
Salvo para casos determinísticos, un sistema de espera en fila sólo funciona cuando el centro de servicio esta compuesto por un mínimo de servidores “S” cuyo valor numérico supera al Factor de Tráfico.
ü Clientes que en promedio están contenidos en el sistema:
Ls = Lq * r
+ (S - &)
El número medio de elementos contenidos en el sistema se compone por:
a. Los clientes que aguardan en la fila de espera.
b. Los que están recibiendo atención en los canales de despacho.
c. La probabilidad de desaprovechamiento de estos canales.
ü Tiempo medio de espera en fila
El
cálculo de muchas medidas de rendimiento depende de los procesos de llegada y
de servicio del sistema de colas específico. Recuerde que en el caso
probabilístico, estos procesos son descritos matemáticamente mediante
distribuciones de llegada y de servicio. Incluso sin conocer la distribución
especifica, las relaciones entre algunas de las medidas de rendimiento pueden
obtenerse para ciertos sistemas de colas, únicamente mediante el uso de los
siguientes parámetros de los procesos de llegada y de servicio: l y m.
Suponga
una población de clientes infinita y una cantidad ilimitada de espacio de
espera en la fila. El tiempo total que un cliente invierte en el sistema es la
cantidad de tiempo invertido en esperar en la fila más el tiempo durante el
cual es atendido:
Tiempo promedio en el sistema Tiempo promedio de espera en cola Tiempo promedio de servicio
= +
Como ya
dijimos el tiempo de servicio es la inversa de la velocidad de despacho,
entonces:
Consideremos
ahora la relación entre el número promedio de clientes en el sistema y el tiempo promedio que cada cliente pasa en el
sistema. Imagine que un cliente acaba de llegar y se espera que permanezca en
el sistema un promedio de ½ hora. Durante esta media hora, otros clientes
siguen llegando a una tasa l, digamos
doce por hora. Cuando el cliente en cuestión abandona el sistema, después de
media hora, deja atrás un promedio de (1/2)*12 = 6 clientes nuevos. Es decir,
en promedio, existen seis clientes en el sistema a cualquier tiempo dado. En
términos de l y de las
medidas de rendimiento, entonces:
Número promedio de clientes en el sistema Número promedio de llegadas por
unidad de tiempo Tiempo promedio en el sistema
= *
de modo
que:
Utilizando
una lógica parecida se obtiene la siguiente relación entre le número promedio
de clientes que esperan en la cola y el tiempo promedio de espera en la fila:
Numero promedio de clientes en cola Número promedio de llegadas por
unidad de tiempo Tiempo promedio en la cola
= *
de manera
que:
MODELO (M/M/1):(FIFO/¥/¥)
Sí r < 1,
(n = 0, 1, 2,...)
(Las tres últimas fórmulas se obtuvieron mediante las
fórmulas de Ls , Lq y r a través de la relación L
= lW).
MODELO (M/M/1):(FIFO/N/¥)
Si l ¹ m,
(n = 0, 1, 2,
......,S)
(n =S+1, S+2, .......)
Si l = m,
(n =
0, 1, ...., S)
Para
todo valor de l
y m,
MODELO (M/M/S):(FIFO/¥/¥)
Para
r
³
1, no existe estado estable. Para r <1,
(n= 1, 2, ....., S)
(n = S, S+1, S+2, ....)
MODELO (M/G/¥):(FIFO/¥/¥)
(también es el
número de clientes en servicio)
MODELO (M/G/1):(FIFO/¥/¥)
varianza de la distribución de tiempos de servicios
Imagínese un supermercado grande con muchas cajas de salida.
Supóngase que los clientes llegan para que les marquen su cuenta con una tasa
de 90 por hora y que hay 10 cajas en operación. (Nótese que una familia junta
de compras se trata como un cliente.). El modelo de espera original es (M/M/S):(FIFO/¥/¥), pero si hay poco
intercambio entre las líneas, puede
tratarse este problema como 10 sistemas separados de una sola línea [
(M/M/1):(FIFO/¥/¥) ], cada uno con una
llegada de nueve clientes por hora. Para una tasa de servicio de 12 por hora:
Dados:
l
= 9 clientes/hora
m
= 12 clientes/hora
Entonces:
Entonces, para este ejemplo, el cliente en promedio espera
15 minutos antes del servicio (algunos esperan más, otros menos). En promedio,
hay un poco más de dos clientes en la línea o tres en el sistema. El proceso
completo lleva un promedio de 20 minutos. La caja está ocupada el 75% del
tiempo(estará desocupada el 25% del tiempo). Y finalmente, el 32% del tiempo
habrá cuatro personas o más en el sistema (o tres o más esperando en la cola).
ANÁLISIS DEL EJEMPLO
Las características de operación de un supermercado hacen
que surjan algunas preguntas. Primero, si hay una línea de espera de más de dos
en promedio, ¿por qué la instalación de
servicio se utiliza solo el 75% del tiempo y no el 100%? La respuesta está en
la aleatoriedad del sistema. Se dice que los clientes llegan con una tasa de
nueve por hora en promedio, pero no están espaciados uniformemente en el
tiempo. Habrá períodos de llegadas rápidas así como períodos de muy pocas
llegadas. De manera análoga, el tiempo de servicio varía: es corto para las
órdenes pequeñas y largo para las grandes. En períodos de holgura, la caja está
desocupada, mientras que los períodos activos pueden producir una línea de
espera de más de dos clientes (como ya se calculó el 32% del tiempo, la línea
de espera excede a tres). Siempre que la capacidad de servicio exceda las tasas
de llegadas, habrá tiempo inútil. Demasiado tiempo inútil es indeseable.
Si existe un
promedio de 2.25 clientes esperando más uno siendo servido, ¿Por qué la
longitud del sistema es 3 y no 3.25? Se puede comprobar que restando Lq
de Ls se
obtiene r, la
que es siempre menor que uno. Si hay clientes esperando, debe haber otro que
está en la caja, esto hace que la diferencia entre las longitudes de cola y del
sistema sea 1. Pero como ya se dijo, habrá otros momentos en que el sistema
esté vacío y la diferencia sea cero.
El tiempo
promedio de espera en cola más el tiempo promedio de servicio es igual que el
tiempo promedio en el sistema. (15 + 5 = 20 minutos).
TREJO, Natalia
E-mail: nbtrejo@uol.com.ar
UTN