APLICACIONES: EJERCICIOS PRÁCTICOS DE TEORÍA DE COLAS

 

 

CASCADAS Y LAY OUT

 

Considere un sistema de dos colas infinitas en serie, en donde cada instalación de servicio tiene un solo servidor. Todos los tiempos de servicio son independientes y tienen una distribución exponencial con media de 3 minutos en la instalación 1 y 4 minutos en la instalación 2. La instalación 1 tiene un proceso de entradas Poisson con tasa media de 10 por hora.

(a)   Encuentre la distribución de estado estable para el número de clientes en la instalación 1 y después en la instalación 2. Luego, muestre la forma de solución de producto para la distribución  conjunta del número de las respectivas instalaciones.

(b)   ¿ Cuál es la probabilidad de que ambos servidores estén desocupados?.

(c)   Encuentre el número total esperado de clientes en el sistema y el tiempo de espera total esperado (incluyendo servicio) para un cliente.

 

 

FORMULAS GENERALES DE ESTADO Y NOMENCLATURA

 

Estudie el sistema siguiente y después identifique todas las situaciones de líneas de espera relacionadas. Para cada situación, defina los clientes, lo servidores, la disciplina de servicio, el tiempo de servicio, la longitud máxima de la fila y, finalmente, la fuente.

En un taller se reciben la solicitudes de trabajo para procesarlas. Después de que se reciben el jefe de taller decide si es un trabajo normal o un trabajo urgente. Algunas de estas solicitudes requieren el uso de un tiempo de máquina del cual se tiene varias. Los pedidos restantes se procesan en una línea de producción de dos etapas, de las cuales solamente hay dos. En cada uno de los dos grupos, se asigna especialmente una instalación para manejar los trabajos urgentes. Los trabajos que llegan en cualquier instalación se procesan según su orden de llegada, los trabajos terminados se remiten desde una zona terminal de transporte que tiene una capacidad limitada.

Las herramientas afiladas para las diferentes máquinas se toman de un cajón de herramientas donde los operadores cambian las herramientas viejas por nuevas. Cuando una máquina se descompone, se llama a un mecánico de la estación de servicio para que la repare. Las máquinas que trabajan con los pedidos urgentes siempre reciben prioridad tanto al recibir nuevas herramientas como al recibir el servicio de reparación.

 

 


EJEMPLO DE UN ESTUDIO COMPLETO DE UN FENÓMENO DE ESPERA

 

Exposición General

 

Una empresa minera debe preocuparse del precio del transporte de los materiales pesados extraídos, y en ese precio de transporte una parte importante comprende los gastos de carga en el puerto. Se trata de buscar los medios de carga que permitan hacer mínimo el conjunto de los costos siguiente.

 

a)     anualidades de amortización y cargas de explotación de las instalaciones para realizar la carga;

b)     gastos del personal empleado para la carga;

c)      tasa de fletes, corregida por el exceso sobre el tiempo de permanencia en puerto (tiempo de estancia del navío en puerto, fijado en cada puerto), o por lo contrario, bonificaciones por el tiempo ganado.

La selección puede hacerse, por lo que se refiere a a), entre dos instalaciones posibles: 4000 y 6000 toneladas por hora; y para b), entre tres equipos si el régimen de trabajo en el puerto es continuo, o entre dos equipos, si el régimen de trabajo es discontinuo. El descanso semanal puede ser o no ser aplicado. Hay que prever aumentos considerables en costo debido a horas de trabajo suplementarias. Para c), la tasa se determina agregando al costo de transporte durante la travesía, el perdido durante la estancia en puerto.

La estancia en puerto es aleatoria, ya que depende de la importancia del volumen de la carga, de la velocidad de carga y de la congestión del puerto. La ley de probabilidad del servicio es difícil de evaluar; volveremos a este asunto más tarde.

Las llegadas de los barcos al puerto en busca de carga, son poissonianas, pero la tasa de esas llegadas varía con la estación (llegadas más frecuente durante e verano que durante el invierno).

La duración del servicio 1/m es el tiempo de carga en el caso de servicio continuo en el muelle. Si el servicio no fuera continuo, sino interrumpido, por periodos durante los cuales no se trabaja (las noches, por ejemplo) puede haber un tiempo de interrupción durante las operaciones de carga. La duración total del servicio comprende, pues:

-         la duración del servicio propiamente dicho,

-         el tiempo de espera durante la carga,

-         el tiempo de espera para dejar libre el muelle.

 

Se ha verificado que la duración total del servicio s podía ser calculada correctamente mediante la fórmula:

 

33.1                                s = so + k L/v;

 

en donde  so es el conjunto de los tiempos muertos (maniobras de acercamiento, aparejo, etc.);

L es el desplazamiento bruto del barco considerado;

V es la velocidad de carga.

 

Si se conoce pues la distribución estadística, según su desplazamiento bruto, de los barcos que llegan a cargar en el puerto considerado, se puede deducir la de las duraciones de servicio en cada uno de los casos ( v= 4000 ton/h; v= 6000 ton/h).

 

Tasa de ocupación de la estación en el muelle

 

Si l  es la tasa media de las llegadas, y m la del servicio, la intensidad de tráfico y  =l /m  será denominada tasa de ocupación de la estación en el muelle. Llamaremos tasa de no ocupación, la cantidad complementaria 1 -  y.

 

CÁLCULO DE LAS LÍNEAS DE ESPERA EN EL CASO DE UN TRABAJO CONTINUO CON TRES TURNOS

 

He aquí, como un ejemplo, los resultados obtenidos en el caso de tres turnos y de 32 llegadas de barcos por mes y bajo la hipótesis verificada de pesados estacionarios y permanentes. Como es lo normal, las líneas de espera son menores importantes para una instalación de 6000 ton por hora que para una instalación de 4000   ton  por hora. El muelle estará ocupado el 36% del tiempo, en tanto, que en el otro caso, será 42% [p(>0) = 1 – Po]

 

 

n

Numero de unidades en el sistema

Estado del Muelle

Probabilidad pn

Instalación 4000 t/h

Instalación 6000 t/h

0

Barcos en muelle o esperando

0.580

0.640

1

1   <<   <<.0 <<   <<

0.303

0.277

2

1   <<   <<.1 <<   <<

0.087

0.067

3

1   <<   <<.2 <<   <<

0.022

0.013

4

1   <<   <<.3 <<   <<

0.006

0.002

5

1   <<   <<.4 <<   <<

0.002

0.000

6

1   <<   <<.5 <<   <<

0.000

0.000

 

Mediante tablas semejantes ala que antecede para tasas de llegadas diferentes, es posible determinar la probabilidad de una duración de estancia diferente ( espera + duración de servicio) inferior a 24 horas, comprendidas entre 24 y 48 horas, 48 y 72 horas, etc.

En el caso de 32 barcos por mes, se obtiene la tabla 33.2 que permite calcular los aumentos por sobrepasar el tiempo de permanencia permitido, teniendo en cuenta el costo que implica un día de espera después de una franquicia de 24 horas.

 

Duración de la estancia

Instalación 4000 T/H

Instalación 6000 T/H

0   < T     24 h

0.942

0.982

24 h  < T   48 h

0.056

0.018

48 h < T    72 h

0.002

0.000

72 h < T

0.000

0.000

 

CÁLCULO DE LAS LÍNEAS DE ESPERA EN EL CASO DE UN TRABAJO CONTRA TURNOS Y DESCANSO SEMANARIO.

 

La teoría clásica, que ha sido aplicada en el caso del trabajo continuo, debe ser acondicionada para hacer frente a la hipótesis del trabajo discontinuo. Tomemos el caso en donde la única discontinuidad en el trabajo  lo representa el domingo; en ese caso, el domingo es un día en el cual, ningún barco puede ser cargado no tampoco salir de puerto. Por consiguiente, el lunes por la mañana habrá un exceso de trabajo que será absorbido poco apoco en el transcurso de la semana. Habrá que estudiar el fenómeno con régimen transitorio y considerar las probabilidades pn(t), y de allí n(t). Encontraremos evidentemente, que n(t) es mas elevada al principio de la semana; las Tablas 33.3 y 33.4 hachas para los casos de interrupción de 24 o 36 hs, muestran la evolución de pn(t) para épocas separadas por 9h 30 min., las unas de las otras, a partir del lunes a las 7 de la mañana; esto, para una velocidad de carga de 4999 ton por hora. Dela misma se han establecido las probabilidades pn(t) relativas a una velocidad de 6000 ton por hora.

 

Tabla 33.3

Interrupción de 24 Horas

 

Pn(t)

N

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 

Fin de Semana

0

0.199

0.339

0.426

0.480

0.514

0.536

0.550

0.560

0.567

 

0.580

1

0.317

0.310

0.305

0.303

0.303

0.303

0.303

0.303

0.303

...

0.303

2

0.255

0.192

0.154

0.132

0.117

0.108

0.102

0.098

0.095

...

0.087

3

0.140

0.097

0.070

0.054

0.043

0.036

0.031

0.028

0.026

...

0.022

4

0.060

0.041

0.029

0.022

0.016

0.012

0.010

0.008

0.007

...

0.006

5

0.021

0.015

0.011

0.007

0.005

0.004

0.003

0.002

0.002

...

0.002

6

0.006

0.005

0.004

0.002

0.002

0.001

0.001

 

 

...

0.000

7

0.002

0.001

0.001

 

 

 

 

 

 

...

0.000

 

 

Tabla 33.4

Interrupción de 32 Horas

 

Pn(t)

N

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 

Fin de Semana

0

0.140

0.27

0.367

0.434

0.481

0.514

0.535

0.550

0.560

 

0.580

1

0.273

0.289

0.294

0.297

0.300

0.301

0.301

0.301

0.302

...

0.303

2

0.266

0.213

0.173

0.147

0.129

0.116

 

 

 

...

0.087

3

0.176

0.125

0.092

0.070

0.054

0.042

 

 

 

...

0.022

4

0.088

0.061

0.044

0.031

0.022

0.017

 

 

 

...

0.006

5

0.036

0.025

0.018

0.014

0.010

0.007

 

 

 

...

0.002

6

0.013

0.010

0.008

0.005

0.004

0.003

 

 

 

...

0.000

7

0.005

0.044

0.003

0.001

0.001

0.000

 

 

 

...

0.000

Tabla 33.5

 

N

Pn

V= 4000 t/h

V= 6000 t/h

 

Alto de 24 Hs.

Alto de 32 Hs.

Alto de 24 Hs.

Alto de 32 Hs.

0

0.502

0.461

0.569

0.497

1

0.305

0.296

0.286

0.282

2

0.122

0.128

0.096

0.110

3

0.046

0.070

0.032

0.044

4

0.017

0.027

0.011

0.019

5

0.006

0.011

0.003

0.006

6

0.002

0.005

0.001

0.002

7

0.000

0.000

0.000

0.000

 

 

Tabla 33.5 bis

 

Duración de la estancia

Instalación 4000 T/H

Instalación 6000 T/H

0   < T     24 h

0.808

0.894

24 h  < T   48 h

0.174

0.103

48 h < T    72 h

0.017

0.003

72 h < T

0.001

0.000

 

 

Así pues se trata de un fenómeno periódico cuyo periodo es la semana. Se han calculado las probabilidades medias pn (Tabla 33.5). Se podrá notar, que p(>0) pasa de 0.42 en servicio continuo, a 0.498 con alto de 24 horas, y a 0.539 con alto de 32 horas; esto, para v= 4000 n/h. Para v =6000 ton/h se pasa de 0.3 a 0.431 y a 0.503. A partir de esos datos, se ha extraído la Tabla 33.5 bis, parecida a la 33.2, también par 32 barcos, pero según la hipótesis de un alto de 24 horas. Se concluye, que el descanso semanario es muy costoso, siendo perfectible el pagar horas extras, inclusive con una tasa de 50%.

 

 

RECOLECCION DE DATOS

 

CALCULO DE LAS LÍNEAS DE ESPERA EN EL CASO DE UN TRABAJO CON DOS TURNOS

 

Suponiendo siempre que la llegada de los barcos se efectúa con una densidad constante, tanto durante la noche como durante el día, el trabajo con dos turnos introduce obligadamente una acumulación relativa durante la mañana, debido a la llegada durante la noche de barcos que tendrán que esperar al primer turno. Poco a poco, esta congestión tiende a desaparecer cada mañana y así todos los días. Por tanto, habrá que considerar las probabilidades transitorias pn(t) durante el día; calcularemos enseguida las probabilidades de estancia de 0 a 24 horas, de 24 a 48 horas, etc. Los cálculos han sido en este caso mucho más complejos, habiendo

 

 

TABLA 33.6

Para v = 4 000 ton/h

 

 

Pn (t)

n

Al principio

del 1º Turno

 

Al principio

del 2º Turno

Al final del

2º Turno

Media

Diaria

0

0,432

0,508

0,539

0,497

1

0,341

0,313

0,306

0,318

2

0,151

0,121

0,108

0,126

3

0,052

0,04

0,033

0,041

4

0,017

0,013

0,01

0,013

5

0,005

0,004

0,003

0,004

6

0,002

0,001

0,001

0,001

 

           

TABLA 33.7

Para v = 6 000 ton/h

 

Pn (t)

 

n

Al principio

del 1º Turno

Al principio

del 2º Turno

Al final del

2º Turno

Media

Diaria

0

0,413

0,529

0,579

0,507

1

0,345

0,301

0,288

0,311

2

0,159

0,114

0,092

0,122

3

0,057

0,038

0,028

0,041

4

0,018

0,013

0,009

0,013

5

0,006

0,004

0,003

0,004

6

0,002

0,001

0,001

0,002

 

 requerido el empleo de calculadoras electrónicas. Los resultados obtenidos se condensan en las tablas siguientes:

Se nota que p0 pasa, de la mañana a la tarde, de 0.43 a 0.54, y que la tasa media de ocupación es de 50.3% para v= 4000 ton/h; y para v=6000 ton/h, p0 pasa de 0.41 a 0.58; el alto nocturno es entonces mas largo.

A partir de esos elementos, se calculo la Tabla 33.8.

 


TABLA 33.8

 

Duración de la estancia

v=4 000 ton/h

v=6 000 ton/h

0<T<24 h

0,815

0,818

24 h<T<48 h

0,166

0,163

48 h<T<72 h

0,017

0,019

72 h<T

0,001

0

 

COSTO TOTAL MENSUAL DE EXPLOTACIÓN

 

Los gastos totales de personal, de equipo y de tiempo de estancia de los barcos se calculan fácilmente: los dos primeros se conocen, y el relativo al tiempo de estancia se evalúa a partir de las probabilidades que acaban de ser proporcionadas. La determinación ha sido hecha para varias cadencias medias de llegadas mensuales de barcos.

 

COSTO TOTAL ANUAL DE EXPLOTACIÓN

 

A partir de la repartición de los números medios de barcos según el mes, se calculó, para diversos niveles de producción anual, el costo de explotación anual para v=4000 ton/h, y para v= 6000 ton/h.

 

a)      Selección de la cadencia de carga

Por debajo de 5000000 de ton de carga, la instalación de 4000 ton/h es la más ventajosa; alrededor de los 5 millones de ton, es la instalación de 6000 ton/h la más aconsejable. Se puede además actualizar los costos para el periodo de producción.

 

b)     Selección del régimen de trabajo

El régimen con dos turnos es preferible, cualquiera que sea la velocidad de descarga que se escoja, si el numero de barcos es inferior o igual a 25; el régimen o sistema de trabajo con tres turnos es el que debe elegirse cuando el numero de barcos es mayor de 25.

Se pusieron en evidencia los resultados siguientes:

Para una instalación de 4000 ton/h, es a partir de 4300000 ton que se tiene interés en pasar del sistema de dos turnos al de tres turnos. Para una instalación de 6000 ton/h eso será conveniente a partir de las 4500000 ton. Si no se observara esta regla, se perdería, para una producción de 6000000 ton, una cantidad de 46 millones de francos por año, para una instalación de 4000 ton/h; y para una instalación de 6000 ton/h, la pérdida sería de 52 millones de francos.

 

CONCLUSIONES

 

a)     Las diferencias entre el costo total de explotación para instalaciones de 4000 a 6000 ton/h son poco importantes.

b)     La sensibilidad es muy importante, por otra parte, en lo que se refiere al régimen o sistema de trabajo. Habrá que evitar interrupciones nocturnas y semanales.

c)      Si se cambiasen los diferentes costos unitarios, habrá que volver a hacer nuevas curvas; estas se pueden obtener en forma bastante sencilla partiendo de las precedentes, mediante una construcción geométrica simple. El conjunto de los sistemas de curvas permiten hacer frente a numerosas situaciones reales y proporciona preciosas informaciones.

La empresa minera recibió los consejos siguientes:

1.      Escoger una instalación de 600 ton/h si la producción debe sobrepasar a los 6 millones de ton después de algunos años de haber iniciado sus labores;

2.      Adoptar un trabajo sin interrupciones lo que plantea un problema social;

3.      Iniciar actividades con un régimen de dos turnos y pasar a tres turnos una vez que la producción sobrepase ampliamente 4000000 ton;

4.      Revisar posteriormente estas conclusiones teniendo en consideración la evolución de los parámetros.

Un estudio de este tipo permitió ver claro, orientar y determinar los umbrales; constituye un notable ejemplo de preparación racional de las decisiones.

 

 

BULK-SERVICE APLICADO A UN SISTEMA M/M/1

 

Considere un sistema de líneas de espera de un solo servidor con una cola finita que puede manejar un máximo de dos clientes excluyendo el que está en servicio. El servidor puede proporcionar servicio en grupo a dos clientes a la vez, en donde el tiempo de servicio tiene una distribución exponencial con una media de una unidad de tiempo independientemente del número que está atendiendo. Cuando la cola no está llena, los clientes llegan en forma individual de acuerdo a un proceso Poisson con una tasa media de uno por unidad de tiempo.

 

(a)   Suponga que el servidor debe servir a dos clientes al mismo tiempo. Así, aunque el servidor esté desocupado cuando hay sólo un cliente al sistema, tiene que esperar a que llegue otro antes de comenzar el servicio. Formule el modelo de colas como una cadena de Markov de tiempo continuo definiendo los estados y después construyendo el diagrama de tasas. Proporcione las ecuaciones de balance, pero no resuelva.

(b)   Ahora suponga que el tamaño del grupo es dos solo si hay dos clientes en el sistema cuando el servidor termina el servicio anterior. Así, si el servidor está desocupado cuando hay nada más un cliente en el sistema deberá atender a este único cliente y cualquier llegada siguiente deberá esperar en la cola hasta que el servidor termine con este cliente. Formule el modelo de colas que resulta como una cadena de Markov de tiempo continuo definiendo los estados y después construyendo el diagrama de tasas. Proporcione las ecuaciones de balance, pero no resuelva.

 

 


CLIENTES LIMITADOS – SISTEMA M/M/1

           

Un taller de máquinas ha almacenado 10 piezas de una parte de repuesto para la reparación de una máquina. Los reabastecimientos del inventario de 10 piezas cada uno se realizan cada 7 días. La descompostura de la máquina de Poisson ocurre tres veces por semana en promedio. Determine la probabilidad de que la máquina permanecerá descompuesta debido a que no se disponga de partes durante 2 días y durante 5 días.

 

 

ESPACIOS LIMITADOS DE ESPERA-COLA LIMITADA M/M/1

 

La única ventanilla de un banco que proporciona servicio a los clientes en sus respectivos automóviles opera con las siguientes características. La llegada del cliente tiene una distribución de Poisson con un valor medios de 8 por hora. El tiempo de servicio tiene una distribución exponencial con valor medio de 4 minutos. El espacio frente a las ventanillas tiene una capacidad para un máximo de 4 automóviles, incluyendo al carro que se le está proporcionando el servicio.

 

(a)   ¿ Cuál es la probabilidad que un automovilista maneje directamente a la ventanilla sin formar cola?

(b)   ¿ Cuál es la probabilidad que un automovilista tenga que esperar en la cola?

(c)   ¿ Cuál es el tiempo promedio de espera antes de que se proporcione servicio a un automovilista?

 

 

MONO COLA MONOCANAL  M/M/1

 

El supermercado ABC está tratando de determinar la tasa de servicio que necesita en las horas pico. ¿Qué tasa de servicio es necesaria si se supone una línea, un servidor, llegadas Poisson, tiempos de servicios exponenciales y una tasa promedio de llegadas de 80 clientes por hora y:

 

a)     La espera promedio (incluyendo servicio) no debe exceder 2.4 minutos?

b)     La espera promedio (en la cola) no debe exceder 2.4 minutos?

 

 

MONO COLA MONOCANAL  OTRAS (SERVIDOR, TIEMPOS DE SERVICIO CONSTANTES)

 

Un modelo de un servidor con llegadas Poisson y tiempos de servicios constantes tiene una tasa de llegadas de 30 por hora y una tasa de servicio de 40 por hora. Encuéntrese la longitud de línea y el tiempo de espera promedio tanto en la cola como en el sistema. ¿Cuál es la utilización del sistema?

 

 

CLIENTES LIMITADOS – SISTEMA M/M/S

 

Dos mecánicos están atendiendo 5 máquinas en un taller. Cada máquina se descompone según una distribución de Poisson con media de 3 por hora. El tiempo de reparación por cada máquina es exponencial con media de 15 minutos.

(a)   Encuentre la probabilidad de que los dos mecánicos estén ociosos y la de que uno de ellos esté ocupado.

(b)   ¿Cuál es el número esperado de máquinas inactivas que no se les está dando servicio?.

 

 

ESPACIOS LIMITADOS DE ESPERA-COLA LIMITADA M/M/S

 

A la piscina del CENARD llega un promedio de 10 personas por hora tratando de entrenar.

Los tiempos entre llegadas son exponenciales. El CENARD tiene tres carriles espaciales para entrenamiento. Si un nadador esta en carril, nada al lado derecho del carril. Si hay dos nadadores en un mismo carril, cada uno de ellos usa uno de los lados del carril. Siempre entran los nadadores a los carriles que tienen el menor numero de ocupantes. Si se ocupan los tres carriles cada uno con dos nadadores, el nadador que llega se disgusta y se va a correr.

 

1.           ¿Qué fracción de tiempo habrá tres personas entrenando?.

 

2.           En promedio, ¿cuántas personas están nadando en la piscina?.

 

3.           ¿Cuántos carriles debe asignar el CENARD para entrenamiento para estar segura que cuando mucho se disguste el 5% de los nadadores y se vayan a correr?

 

 

SERVIDORES MÚLTIPLES  M/M/S

 

El servicio Nacional de Impuestos (SNI) está planeando abrir una oficina sucursal para ayudar a los ciudadanos a llenar sus declaraciones. Se quiere determinar cuanto personal consultor debe haber en la oficina. De la experiencia anterior, el SNI sabe que el tiempo de servicio varía exponencialmente con un promedio de 15 minutos. Se espera que la sucursal reciba un promedio de 10 causantes por hora, aunque esto varía en forma Poisson. La oficina tendrá una pequeña sala de espera en donde las personas pueden esperar a que se desocupe el siguiente consultor. El SNI desea que no haya más de tres personas en promedio esperando. ¿Cuántos consultores de impuestos se necesitan?

 

 


SERVIDORES MÚLTIPLES

 

Como vicepresidente de Texas Airways, se la ha pedido que atienda la queja de los pasajeros en el aeropuerto de Dallas están perdiendo mucho tiempo en la ventanilla de registro y que la fila es demasiado larga. Para saber más acerca de este problema, usted ha desarrollado un modelo de colas para estudiar el sistema existente, que actualmente consiste e una sola fila de espera y cuatro agentes que registran a los pasajeros.

Después de hacer un análisis preliminar de los datos, usted descubre que los pasajeros llegan durante las horas mas concurridas de acuerdo con un proceso de Poisson, con una tasa de 132 por hora. Cada agente de boletos requiere un promedio de 1.75 minutos para registrar a un pasajero, pero el tiempo que tarda con este es aleatorio y sigue una distribución exponencial. Prepare un informe administrativo que vaya en las siguientes directivas:

 

1.           Para las horas de mas influencia, determine  el numero promedio de pasajeros que esperan en fila y en cuanto tiempo(en minutos) invierten tanto en la fila esperando a ser atendidos, como en el proceso de registro completo.

2.           Como consecuencia de los resultados obtenidos en al directiva_1, usted decide analizar el problema junto con los agentes de registro para averiguar que es lo que esta ocasionando los retrasos. Algunos pasajeros, dicen los agentes, solamente necesitan registrarse y se retiran rápidamente. Otros necesitan mas tiempo, compran el boleto verifican el horario del vuelo, etc. Basándose en este análisis, se sugiere que el servicio podrían manejarse si se tienen dos filas separadas: una (con un solo agente) dedicada a los pasajeros con problemas especiales que lleva tiempo resolver y la otra (con tres agentes) exclusivamente para los pasajeros que se registran. Para examinar esta idea, se analizaron con mas detalles los datos y se llego a la conclusión de que un promedio de 12 de los 132 pasajeros llegan cada hora a solicitar un trato especial. Su tiempo de atención no es exponencial, sino que requiere un promedio de tres minutos con una desviación estándar de un minuto. Los restantes 120 pasajeros que llegan cada hora requieren  un promedio de 80 segundos para registrarse, y este tiempo es aleatorio con una distribución exponencial. Para estas dos colas determine las mismas estadísticas que en la directiva_1 para los pasajeros que necesiten atención especial y para aquellos que solamente necesiten registrarse. Suponga que las llegadas a cada una de las colas todavía siguen un proceso de Poisson con tasas de llegadas adecuadas.

3.           El señor Carlos Moreno, gerente del mostrador de registro de Texas Airways en al aeropuerto de Dallas comenta que se podría mejorar mas el servicio debido a que muchas personas  que se registran son pasajeros habituales que no llevan equipaje. Tal vez, sugiere, podría ser ventajoso dividir la recién propuesta fila de registro en dos colas: una para los pasajeros con equipaje y otra para los pasajeros sin equipaje. Un análisis de datos revela que del promedio de los 120 pasajeros que llegan a registrarse por hora, 45% de ellos tiene equipaje y requieren un promedio de 96 segundos cada uno para ser atendido; este tiempo es aleatorio y sigue una distribución exponencial. El 55% restante no llevan equipaje y pueden ser atendidos en un tiempo promedio de 48 segundos; este  tiempo también es aleatorio y sigue una distribución exponencial. Suponiendo que las llegadas en las dos colas siguen un proceso de Poisson con tasas de llegada adecuadas, explique porque en este contexto usted No Debería considerar tener un agente de registro para los pasajeros con equipaje y dos para los pasajeros sin equipaje, si tiene dos filas separadas para los pasajeros que se registran. En vez de ello Debería considerar tener dos agentes de registro para los pasajeros con equipaje y uno para los pasajeros que no llevan equipaje.

4.           ¿Cuales son las estadísticas de tiempo de espera para los pasajeros que llevan equipaje y los que no en el sistema propuesto de la directiva_3 ?. ¿Quiénes, en promedio, esperan mas en la fila los pasajeros con equipaje o las pasajeros que no llevan equipaje?.

5.           Suponga que el presidente de la compañía desea que los pasajeros que se registran inviertan, en promedio, menos de cinco minutos esperando en la fila para poder registrarse. ¿ Que sistema escogería usted, el que se propone en la directiva_2 o el la directiva_3?.  

 

 

ANÁLISIS ECONÓMICOS

 

La Ace Machining tiene un departamento de herramientas a donde acuden los operarios en busca de alguna herramienta especial. Los operarios solicitan el servicio a una tasa promedio de 20 veces por hora. Se requiere un promedio de 4 minutos para procesar la solicitud de un operario. La paga de los operarios es de $8 por hora y la de los empleados del departamento de herramientas, de $3 por hora. Si aumentando el número de empleados se lograra reducir en forma proporcional el tiempo de servicio, ¿cuántos empleados deberían contratarse para el departamento de herramientas? (supóngase llegadas Poisson y tiempo de servicios exponenciales).

 

 

BALANCE DE LINEAS DE PRODUCCIÓN – MUIÑOS Y OTROS

 

En una línea de producción suponga que existe k estaciones en serie. Considere que los trabajos llegan a la estación 1 desde una fuente infinita según una distribución de Poisson con tasa media l por unidad de tiempo. La salida de la estación i se utiliza como entrada para la estación i + 1. debido a que existen artículos defectuosos en cada estación, el porcentaje de artículos en buen estado de la estación i es igual a 100ai, siendo 0 £ ai £ 1. El porcentaje restante 100(1 – ai) representa los defectuosos en la estación i. Suponga que la distribución de tiempo de servicio de la estación i es exponencial con tasa media mi por unidad de tiempo.

(a)   Obtenga una expresión general para determinar el espacio de almacenamiento asociado a cada estación i de manera que todos los artículos que llegan (no defectuosos) puedan acomodarse b% de tiempo.

(b)   Sea l = 20 artículos por hora y mi = 30 artículos por hora para todas las estaciones. El porcentaje de defectuosos en cada estación puede suponerse constante e igual a 10%. Dé una respuesta numérica para el inciso (a) dado que k = 5 y b =95%.

(c)   Utilizando los datos del inciso (b) anterior, ¿cuál es el número esperado de artículos defectuosos de todas las estaciones durante un intervalo de tiempo de T horas?.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


MODELO DE SIMULACIÓN

 

Simulación de una operación de transporte de combustible . Números aleatorio y estadística descriptiva .

La compañía transportadora de combustible West Coast  (WCOT) posee oleoductos que proceden de varias puertas . Mantiene el combustible en un campo de almacenamiento (campo rural) hasta que necesita. La mayor parte de combustible de  WCOT se  despacha por un oleoducto hasta una gran refinería en California. Se conjetura que en promedio , el ingreso diario al campo rural de WCOT es de 40.000 o de 60.000 barriles con una probabilidad de 1/3 y 2/3 respectivamente. La demanda , D, de combustible en la refinería de California también es incierta entre un día y otro. La WCOT ha estimado la probabilidad de distribución de  D en la siguiente forma :

 

 


                                       Uso /día                     Probabilidad

                                              

                                   25.001_35.000                             0.1

                                   35.001_45.000                               0.2

                                   45.001_55.000                               0.3

                                   55.001_65.000                               0.4

                                                                                                         

                                                                                             1.0

 

 

a)     ¿Cuál es el valor esperado de barriles diarios enviados a California? (suponga que dentro de cualquier rango utilizado, la demanda se promedia por su media ; por ejemplo para  25.000_35.000 es de 30.000).

b)     Simule estas actividades (recibir y despachar combustible )por 20 días (utilice una tabla de números aleatorios ).

c)      ¿Indica su modelo de producción que west coast debe aumentar su capacidad de almacenamiento? Si es así ¿ que capacidad adicional debería construirse? Si no ¿qué se puede concluir de los resultados de su simulación?.   

 

 

SOFTWARE  STORM

 

La empresa New York Taxi Cab company mantiene instalaciones de servicio para realizar reparaciones mayores y dar servicio a sus vehículos. Datos históricos muestran que  (a) Los taxis tienen descomposturas mayores de acuerdo con un proceso de Poisson a una tasa promedio de 2 cada 24 horas , incluyendo los fines de semana y (b) La cantidad de tiempo requerido por un mecánico para reparar un taxi sigue un distribución exponencial con un promedio  de 16.8 horas. Sin embargo, la administración puede estar segura que los mecánicos se presentan a trabajar solo el 80% del tiempo , debido a enfermedades y vacaciones. El departamento de contabilidad ha indicado que (i) el costo por hora de un mecánico , incluyendo salario, prestaciones e impuestos, es de $24, y que (ii) un taxi promedio obtiene un beneficio neto de  $100 en 24 horas. Utilice su computadora para determinar si la compañía deberá tener dos o tres mecánicos trabajando todos los periodos. Para cada uno de los dos sistemas que evaluara , especifique los valores de c,µ,c(w),c(s)

y el costo total por unidad de tiempo. (Nota: para poder aproximar este escenario mediante un sistema de colas  M/M/c , aumente el tiempo de servicio adecuadamente , de tal forma que se pueda tomar en cuenta la ausencia de mecánicos)   

 

 

SOFTWARE  WIN QSB

 

Utilice su computadora para responder las siguientes peguntas de sensibilidad para el problema  de California  GAS & Electric  Company del ejercicio

 

a)     ¿Cuántas llamadas por hora puede hacer antes de que el tiempo promedio que un cliente invierte en el teléfono exceda los 20 min.?

b)     ¿Cuánto tiempo podría llevarse una llamada promedio para  obtener respuesta antes de que haya un promedio de dos llamadas esperando a ser atendidas?

c)      ¿Cuántas llamadas más sería necesario contestar cada hora antes de que la probabilidad de que haya dos llamadas en el sistema disminuya  a 0.125?

 

 

AUTORES

 

·          MORDINI, Luciano   (lmordini76@hotmail.com)

·          PEDRANA, Eric  

·          VARAS, Sebastián

- UNSTA -

 

CONTINUAR