Comportamientos Transitorios

 

 

Para cualquier tipo de cola sabemos que hay periodos de trabajo en los que hay clientes a los que atender, y otros, periodos de ocio, en los que, por el contrario, no hay clientes. Estos periodos alternan y la duración de cada uno de ellos es una variable aleatoria, como lo es el número de usuarios servidos durante uno de los periodos de trabajo.

 

En todos los modelos se ha supuesto que la tasa media de servicio es siempre constante, sin importar cuántos clientes se encuentran en el sistema. Desafortunadamente, en los sistemas de colas reales ocurre con frecuencia que esta tasa no es constante, en especial cuando los servidores son personas. Cuando se tiene una gran cantidad de trabajo atrasado (es decir, una cola larga), es muy probable que el servidor tienda a trabajar más rápido que cuando el trabajo por hacer es reducido o no existe. Este aumento en la tasa de servicio puede ser el resultado del aumento en el esfuerzo que realiza el servidor cuando se encuentra bajo la presión de una larga cola. También puede ser el resultado parcial de un compromiso en la calidad del servicio o de ayuda recibida en ciertas fases del servicio.

 

 

FORMULACIÓN PARA EL CASO DE  UN SERVIDOR (S = 1)

 

Sea

 

                                                              para n = 1, 2, ...,

 

 

en donde       n = número de clientes en el sistema.

 µn = tasa media de servicio cuando hay n clientes en el sistema.

1/µ1 = tiempo de servicio “ normal ” esperado: tiempo esperado para servir a un cliente cuando es el único en el sistema.                                                                                                                                                                                                                               

c = “coeficiente de presión”: constante positiva que indica el grado en el que la tasa de servicio del sistema resulta afectada por el estado del sistema.

           

Entonces, si se selecciona por ejemplo, c = 1, la hipótesis dice que la tasa media de servicio es directamente proporcional a  n; c = 1/2 implica que la tasa media de servicio es proporcional a la raíz cuadrada de n, y así sucesivamente. Los modelos de colas anteriores de esta sección suponen de manera implícita que c = 0.

 

Ahora supóngase que el sistema de colas tiene una entrada Poisson con λn = λ, (para n = 0, 1, 2, ...) y tiempos de servicio exponencial con µn como se acaba de dar. Este caso es pues, un caso especial del proceso de nacimiento y muerte, donde

           

 

                      para n =1,2,........,

 

Una condición de estado estable siempre se puede alcanzar cuando c > 0. Desafortunadamente, no se dispone de expresiones analíticas para las sumatorias involucradas, pero existen tablas con valores casi exactos de p0. y L para varios valores de c y /1, que se obtienen sumando en una computadora un número finito de términos.

 

Un sistema de colas puede reaccionar a una cola larga con una disminución en la tasa de llegadas en lugar de un incremento en la tasa de servicio. (Por ejemplo, la tasa de llegadas puede disminuir si se envían algunos de los clientes que requieren el servicio a otra instalación.) En el modelo correspondiente para describir la tasa media de llegadas para este caso se define

 

           

             ,                                          para n =0,1,2,...,

 

 

En donde b es una constante cuya interpretación es análoga a la de c. Los valores de Lqn para el proceso de nacimiento y muerte con estas  (y con  =  para n = 1, 2, ....) son idénticos a los que se muestran (sustituyendo por por ) para el modelo de tasas de servicio dependientes del estado del sistema cuando c = b y /1, = /, de manera que los resultados de estado estable son los mismos.

 

También se puede usar un modelo más general que combina estos dos patrones cuando tanto la tasa media de llegadas como la de servicio dependen del estado del sistema. En este caso, sea

 

                                          para n = 1, 2, ...,

              ,                  para n = 0, 1, 2, ....

 

 

            Una vez más, los valores Lqn del proceso de nacimiento y muerte con estos parámetros son idénticos a los que se obtuvieron para el modelo de tasas de servicio dependientes del estado del sistema cuando c = a + b  y  /1, = /, por lo que de hecho, los resultados de estado estable tabulados, se pueden aplicar a este modelo más general.

 

 


FORMULACIÓN PARA EL CASO DE VARIOS SERVIDORES (s > 1)

 

Para generalizar este modelo combinado para el caso de más de un servidor, parecería natural que  y  variaran con el número de clientes por servidor (n/s) esencialmente de la misma forma como varían para  el caso de un servidor. Entonces, sea

 


 
                ,                        si

                               si

           

 

             

 
     ,                         si

                            si

           

 

 

Por consiguiente, el proceso de nacimiento y muerte con estos parámetros tiene

 

 

 

 

                             para  n = 1,2, ...,n

                                                                        para  n = s, s + 1,…

 

 

en donde c = a + b.

 

 

La formula para

 

Siendo , existe cuando <, y encontramos la forma de expresarlo, .

 

A continuación se indicará un método que permite hallar la distribución de la duración de un periodo de trabajo en el caso de una cola M/M/l. Un problema de tipo general es el de calcular cuánto tiempo es necesario, bajo las condiciones iniciales, para que una cola llegue a adquirir un determinado tamaño, previamente supuesto. Este, que puede ser un problema real, surge, por ejemplo, al estudiar_  «las horas pico» de una gran ciudad, o al tratar de determinar el tamaño óptimo para un restaurante. El método que describiremos para la solución de estos problemas es debido a una serie de autores: Clarke, Ledermann, Reuter, Bailey y Champernowne), y se basa en una aplicación de las ecuaciones del proceso de nacimiento y muerte.

 

La fórmula para Pn (t), con μ = 1 y condiciones iniciales n = a para t = 0 es:

 

           

 

donde  es la función de Bessel modificada de primera clase.

 

 

AUTORES

 

·          DORNA, Diego (diego_dorna@hotmail.com)

·          BOERO, Luis

·          FERRO, Carlos

·          MASTRANDREA, Cristian

·          RODRIGUEZ PAEZ, Jorge

·          RUIZ, Soledad                               

·          PAZ, Juan                         

- UNSTA -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CONTINUAR