SISTEMAS EN CASCADA

 

RESUMEN

 

En este capítulo se dan las herramientas necesarias para realizar el estudio y posterior análisis de los sistemas, donde los servicios prestados a cada usuario se llevan a cabo mediante un determinado número de fases sucesivas (centros de servicios), cada una de las cuales tienen asociada su propia cola.

 

 

INTRODUCCIÓN

 

    En la vida cotidiana los sistemas en cascada son bastante comunes. Los clientes en un comercio son servidos por empleados, debiendo después pasar a caja para el pago. En una casa de lavado de autos las tareas son de lavado, secado y pulido. Estos son ejemplos de dos y tres fases, respectivamente. Las operaciones industriales generalmente necesitan varias fases. Jackson, uno de los primeros en considerar la teoría de colas en serie (cascadas), hace mención del interesante ejemplo que ofrece la revisión de los aparatos de aviación, en los que las fases sucesivas llevan consigo operaciones tales como el desmontaje, inspección, reparación, montaje y prueba. Este tipo de líneas de espera también es característico del sector productivo, donde las líneas de ensamble requieren ciertas actividades que se desarrollan en serie. En estos procesos, la salida de una de las etapas es insumo de la etapa en serie que le sigue. Otros ejemplos de sistemas en cascada se encuentran en una cadena de fabricación, en el tráfico de clientes en un restaurante de servicio personal o autoservicio, en la transmisión de los expedientes en el interior de una empresa, etc.

    Sobre la base de los ejemplos anteriores, y habiendo entendido el concepto de sistemas en cascada estamos en condiciones de brindar las herramientas necesarias para el adecuado análisis y resolución de éstos.

 

 

 


SISTEMAS EN CASCADA

 

El estudio analítico de sistemas en cascada es, en general muy difícil. De cualquier manera, en el caso en donde la tasa de llegada (l) tiene una distribución Poisson y las tasas de servicios (mi) son exponenciales y donde el tiempo medio de servicio en la i-ésima fase será 1/mi este estudio es mas sencillo.

En el siguiente gráfico se da un claro y sencillo ejemplo sobre un sistema en cascada, donde los círculos grandes representan los centros de servicios y los más pequeños representan los clientes que esperan en las colas para ser atendidos en las distintas fases (centros de servicios).

 

 

 

 

 

 


   

   

 

 

Según el lugar disponible (longitud máxima de la línea de espera, Lq) entre los centros de servicios (etapas), se pueden dar los siguiente casos:

 

Primer Caso: El largo máximo de la cola en todas las etapas es ilimitado.

Segundo Caso: El largo máximo de la cola es finito en cada una de las etapas.

Tercer Caso: No puede existir cola en ninguna de las etapas.

Cuarto Caso: El largo máximo de la cola puede ser nulo, finito o ilimitado según sea la etapa.

 

En los casos dos, tres y cuatro, pueden producirse fenómenos de bloqueo parcial o total. Se pueden concebir, por otra parte, bloqueos ocasionados por restricciones más complicadas entre las condiciones de entrada en cada sistema.

Durante el desarrollo del tema de sistemas en cascada trabajaremos con modelos de colas con entrada Poisson y servicio Exponencial, y que se encuadran en el primer caso (el largo máximo de la cola en todas las etapas es ilimitado) debido que el análisis para estos es más sencillo. Sin perder de vista que también podemos tener estructuras de cascada monocola-monocanal (servicios en serie) y  cascada multicola-multicanal (servicios en paralelo y serie) .

    A continuación, enunciaremos una de las propiedades que es fundamental en el marco de trabajo de los sistemas en cascada.

 

PROPIEDAD DE EQUIVALENCIA

 

Existe un resultado sencillo que tiene una importancia fundamental para las redes de colas (cascadas), y que merece una atención especial. Este resultado es la propiedad de equivalencia para el proceso de entrada de los clientes y el proceso de salida de aquellos que se van, en ciertos sistemas de colas.

 

Propiedad de equivalencia: supóngase que una instalación de servicio tiene S servidores, un proceso de entradas Poisson con parámetro l y la misma distribución de los tiempos de servicio para cada servidor con parámetro m (el modelo M/M/S), donde skm > l. Entonces, la salida en estado estable de esta instalación de servicio también es un proceso Poisson con parámetro l.

 

Obsérvese que esta propiedad no hace suposiciones sobre el tipo de disciplina de la cola que se usa. Ya sea primero en llegar, primero en salir o aleatorio, los clientes servidos dejarán la instalación de servicio de acuerdo a un proceso Poisson. La implicación esencial de este hecho para los sistemas en cascada es que si estas unidades tienen que pasar a otra instalación para continuar su servicio, esta segunda instalación también tendrá entrada Poisson.

 

 

Modelo en serie de m estaciones con capacidad de lIneas de espera infinita

 

Considérese un sistema con m estaciones en serie, como se ilustra en la siguiente figura. Supóngase que las llegadas a la estación 1 son generadas de una población infinita de acuerdo con una distribución de Poisson con una tasa media de llegada . Las unidades atendidas pasarán sucesivamente de una estación a la siguiente hasta que se descarguen de la estación m. La distribución del tiempo de servicio en cada estación i es exponencial con una tasa media  donde i = 1, 2,....., m. Además no hay límites de líneas de espera en ninguna estación.

 

 

 

 

 

 

 

 


    Una vez que está dada la tasa de arribo (l) y las tasas de servicio (mi), correspondiente a los distintos centros de servicios el siguiente paso es encontrar el número mínimo de canales de servicios para cada etapa.

    El Factor de Uso cuando las tasas l y m son probabilísticas tiene que ser menor que uno, o sea:


 

 


    donde k (bulk service) es el número de clientes atendidos simultáneamente por cada canal y S es el número de atenciones o despachos que componen el centro de servicio del sistema.

    Entonces con l, m y k conocidos podemos encontrar el número mínimo de canales de servicios (S) que permita el funcionamiento técnico del sistema. Una vez obtenidos estos valores recurrimos a algún software para cargar estos datos y conseguir valores tales como cantidad de cliente en el sistema (L) y en la cola (Lq), tiempo de espera en la cola  (Wq) y en todo el sistema (W), la probabilidad de que un cliente espere (r), etc.

 

Al poder usar el modelo M/M/s para obtener las medidas de desempeño para cada instalación independiente, en lugar de analizar la interacción entre las instalaciones, se tiene una simplificación enorme. La probabilidad conjunta de n1 clientes en la instalación 1, n2 clientes en la instalación 2, etc. es, entonces, el producto de las probabilidades individuales obtenidas de esta manera sencilla. En particular, esta probabilidad conjunta se puede expresar como

 

                               

 

 

Esta forma sencilla de solución se llama solución en forma de producto. De manera similar, el tiempo de espera esperado total y el número esperado de clientes en el sistema completo se pueden obtener con sólo sumar las cantidades correspondientes que se obtuvieron para cada instalación.

 

En estas condiciones, puede probarse que, para toda i, la salida de la estación i (o equivalentemente, la entrada a la estación i + 1) es de Poisson con tasa media  y que cada estación puede tratarse independientemente.

 

 
 

 

 


Para       i = 1, 2, 3,........,m, donde ni es el número en el sistema que sólo consta de la estación i. Los resultados de este estado estable existirán únicamente si 

 

 .

   

A continuación se caracteriza cuantitativamente al sistema (no se desarrollan fórmulas). La probabilidad conjunta de que existan Z1 clientes esperando para servicio en la estación 1, Z2 esperando en la estación 2 y Zn en la estación n, está dada por:

 

                P {L1 =Z1 , L2 =Z2 ,......, Ln =Zn }  =            

donde

          

 

El número esperado de clientes en el sistema W, está dado por:

 

                          

 

donde Wi es el conjunto de clientes que esperan ser atendidos en la estación i donde i = 1, 2, . . . , n, más el cliente al que se le está proporcionando el servicio en la etapa i.

Si la cola es del tipo "primero en llegar, primero en ser atendido", entonces la esperanza del tiempo de espera de un cliente a lo largo de todo el sistema es:

 

                        

El tiempo total en todo el sistema (incluyendo los tiempos de servicio de las n estaciones) es:

 

    

 

 

ANALOGIA HIDRAULICA

      Una analogía hidráulica elemental facilitará la comprensión de esto que se trata de explicar y también la trama de un sistema de colas en general :

  Supongamos el curso de un río de muy extenso recorrido, al  cual por la fuente "F" ingresa "a régimen constante" un caudal medio de Q(m3/h) de agua y que luego, todo a su largo se ubican, siete usinas que conforman el sistema de generación eléctrica. Las nombraremos: Apertura, Carda, Reunidora, Manuar, Mechera, Continua y Devanadora. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ahora expondremos algunos conceptos referentes a como funciona y se comporta elementalmente este sistema:

a) Definimos que el régimen del caudal es permanente cuando: sus variaciones se producen en forma independiente del tiempo.

b) En un régimen permanente medio (estadísticamente estable) lo invariable en el tiempo es el promedio o esperanza matemática del caudal. Por ejemplo cierto día podría ser Q= 1 m3/seg y después otro día 1.8 m3/seg pero a lo largo de todo el mes, si el sistema está estable, registrará siempre un caudal medio de 5040 m3/hora.

 

c) En el régimen permanente y constante (Determinístico), no solo permanece invariable el valor del flujo horario sino que este indicará segundo a segundo, el pasaje de 1,40 m3 de líquido. En este caso el valor medio coincide con el instantáneo.

d) Cuando el agua circula libremente lo hace desde las zonas más altas (mayor energía potencial), hacia las ubicadas más abajo, el líquido recorre el sistema de "arriba hacia abajo", de allí la expresión "aguas abajo" o a favor de la corriente.

e) Recorrer el sistema "aguas arriba" es navegar contra la corriente. No es lo usual ni lo aconsejable, para lograrlo será necesario gastar energía suplementaria. 

f) Las usinas de generación eléctricas son obras de ingeniería, diques o represas, donde se instalan máquinas denominadas turbinas que tienen por objeto generar electricidad a partir de la transformación energética del flujo de agua que pasa entre los rotores de las mismas. 

g) Las turbinas son los "canales de servicio" del sistema generacional. El agua entrega allí parte de su presión (no de su caudal) para dar movimiento a los rotores y transformar la energía hidráulica en eléctrica.

h) Cuando el caudal de agua es escaso, será necesario sacar turbinas de servicio, provocándose con ello una merma o improductividad en la capacidad generadora de la usina.

i) Si temporalmente el ingreso de agua fuese muy alto, todas las turbinas trabajarían a pleno, permitiendo pasar a través de ellas todo el caudal de diseño Qn (Qn > Q).  El fluido proveniente de "aguas arriba", se almacenará en el embalse y allí "deberá esperar" el momento oportuno para ingresar a los conductos de las turbinas.   Al ser Q un valor medio se tiene:  Qmin<=Q<=Qmax   pudiendo darse la circunstancia de que en algún instante sea:

Qmax > Qn y en tal caso el nivel del embalse aumentará y la extensión del espejo líquido crecerá superficialmente.

j) Todas las represas construidas a lo largo del recorrido del río, en estado de régimen, constituyen un sistema en cascadas y por todas ellas pasará el mismo caudal de agua, diferenciándose tan solo unas de otras por las cantidades de energía transformada la que dependerá, del emplazamiento relativo de cada central.

k) En la parte izquierda de la figura se ha dibujado en líneas de trazo como debería ser el "sistema ideal", que obviamente se  correspondería con un "régimen permanente constante", los puntos a destacar mediante su observación son:

k1) Igual que antes, el caudal es el mismo para todas las estaciones de servicio, pero al ser ahora constante, no existen los embalses.

k2) Todas las turbinas, de todos los canales de servicio, funcionan a pleno y no hay improductividad.

k3) El tiempo que tardaría, un hipotético barquillo de papel en recorrer navegando la distancia que separa: la fuente "F", del sumidero "S", sería sensiblemente menor en el caso ideal con relación al real. 

RELACION ENTRE EL SIMIL HIDRAULICO Y LOS MODELOS PRODUCTIVOS.

   Cambiemos ahora los roles de nuestros personajes y tratemos de aplicar el símil hidráulico para explicar que sucede con el proceso fabril en una hilandería de algodón.  Dicha hilandería deberá entregar dentro de X(días) un pedido de Y(Kg.) de hilado de algodón de un determinado título. Su programación de planta deberá contemplar producir en promedio Qd=Y/X o sea Q=Qd/24.    

   Lo que ingresará por la fuente F ya no será más agua sino fardos de algodón, a razón de l(Kg/hora) en promedio.

   Hemos cambiado el nombre del elemento que requiere servicio, ahora es algodón en lugar de agua y lo que para esta era caudal, para aquel será "velocidad de arribo (l)"  o productividad.

   El fardo de algodón, hace cola (se embalsa) delante de un grupo de "abridoras" que constituyen la primera estación de trabajo. Siguiendo el proceso ("aguas abajo") el algodón ya abierto, dejará sus impurezas en las "cardas" que lo convertirán en un velo.

    La tercera estación de servicio está compuesta por las "reunidoras", que juntan varios velos para formar una cinta.

    Las cintas, aguas abajo son nuevamente acondicionadas por el "manuar". Hasta ese momento el algodón no ha sufrido ningún  esfuerzo ni de tracción ni de torsión.

     Las cintas de manuar pasan a la estación de servicio siguiente donde las "mecheras" someten por vez primera al algodón a un leve proceso de torsión, y lo transforman en mecha.

     La mecha es fuertemente torsionada y traccionada en las "continuas" y finalmente, aquel fardo de algodón que ingresó por F, se habrá convertido en el hilado de título apropiado.

     Falta todavía una etapa del proceso, el hilado está "enroscado" alrededor de una pieza llamada "canilla" y así no se lo puede remitir al cliente.

     Son las "devanadoras", las encargadas de colocar el producto final en el sumidero "S", transvasando previamente el hilado desde las canillas a los conos de apresto.   

   El caudal hidráulico se convirtió en kilogramos de algodón que a velocidad estacionaría, fue pasando por los centros de servicio en búsqueda de una determinada atención.

   Cada centro de servicio estuvo compuesto por una determinada cantidad de máquinas específicas (canales de despacho). Las partes provenientes de procesos anteriores (mechas por ejemplo) debieron eventualmente esperar dentro de sus tachos (embalsarse), antes de ser procesadas, si al momento de su arribo todos los husos de las continuas se encontraban ocupados.

   Las entradas de fardos de algodón al sistema, estuvieron separadas por intervalos de tiempo desiguales, conocidos solamente en función de una probabilidad de acontecimiento.

   Por tratarse de procesos mecánicos, los tiempos de atención pueden ser considerados constantes, pero distintos entre una etapa y otra.  Se requiere mucho menos tiempo en abrir ¿?(Kg) de algodón que para convertirlo en mecha por ejemplo.

   Los "embalses" frente a cada uno de los procesos se deben a que el ingreso de los tachos se produce a intervalos irregulares, regido posiblemente por una ley de distribución continua.

   Solamente podrán salir de la cola y dirigirse a los canales de despacho, los tachos que contengan tantos kilogramos de algodón como los que ingresan al centro de apertura (salvo mermas por rendimiento". De no resultar ello así el "valor promedio de la cola" se alteraría a cada momento y no se cumpliría la condición de régimen permanente.

   

   "Dada una cierta característica de los canales de despacho que componen el centro de servicio:  El Tiempo de Espera en Cola y consecuentemente la extensión de esta, depende únicamente de la velocidad con la cual arribe el algodón"

1) Existe un número mínimo de canales "Si" que hará factible el funcionamiento técnico del sistema:

                          Si > r

     Para que el sistema productivo pueda asegurar la entrega de los Y(Kg) de hilado que conforma el pedido al cabo de los X(días) se deberá proveer en cada Centro de Servicio una Cantidad Mínima de Máquinas de Atención "Si", superior al valor numérico que corresponda al Factor de Tráfico. Reiteramos lo ya dicho:

 Es imprescindible respetar que el Número de Canales supere al Factor de Tráfico. Si así no se hiciera, el propio sistema realizaría su autocorrección, disminuyendo la tasa de producción. Se generará otro  l' < l  y a su vez un     r' < r, tal que,  finalmente se estabilizan cuando   Si > r';  o sea que lo único que se conseguirá retaceando canales de servicio, es tardar más tiempo en concluir el volumen de fabricación programado.

AUTOR

 

SALAS CORREA,                                           

E-mail: salascorrea@hotmail.com

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