APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE COLAS.

 

La teoría de colas ha gozado de un lugar sobresaliente entre las técnicas analíticas modernas de la investigación de operaciones; no concierne a la teoría de colas alcanzar la meta de la investigación de operaciones: la toma de decisiones óptimas, más bien lo que hace es obtener información sobre el comportamiento del sistema de colas e intentar a partir de la misma encontrar el mejor diseño para un sistema de colas.

Este capítulo presenta la aplicación de la teoría de colas en el contexto más amplio de un estudio completo de investigación de operaciones.

 


COSTOS DE LOS SISTEMAS DE COLAS.

 

Un sistema de colas puede dividirse en sus dos componentes de mayor importancia, la cola y la instalación del servicio. Las llegadas son las unidades que entran en el sistema para recibir el servicio. Siempre se unen primero a la cola; si no hay línea de espera se dice que la cola está vacía. De la cola, las llegadas van a la instalación de servicio de acuerdo con la disciplina de la cola, es decir, de acuerdo con la regla para decir cuál de las llegadas se sirve después. El primero que llega, primero que se le proporciona servicio FCFS (FIFO), es una regla , pero se podría servir con prioridades o siguiendo alguna otra regla. Una vez que se completa el servicio, las llegadas se convierten en salidas.

Ambas componentes del sistema tienen costos asociados que deben considerarse.

 

COSTOS DE ESPERA.

 

Esperar significa que algún recurso está inactivo cuando podría usarse en forma más productiva (o agradable) en otra parte. Representa un costo de oportunidad.

Cuando los clientes esperan en una línea de banco, el costo de espera es indirecto. Es cierto que no se hace ningún pago  cuando el cliente disgustado se va de la cola porque es muy larga. Los clientes se quejan quitando tiempo a los empleados. Dejan de venir, causando que se pierda oportunidades de ganancias.

El servir con prontitud puede proporcionar una forma de competencia en los negocios. La sociedad de hoy está muy consciente del tiempo, esto hace que la evaluación apropiada del tiempo de espera sea más importante.

Cuando el costo unitario de espera es medible, los cálculos son directos. Partiendo de la nómina y de otros datos contables puede encontrarse el costo por hora. Como el costo de espera casi siempre es proporcional al tiempo de espera, el costo total de espera puede expresarse como el costo de espera por hora multiplicado por la longitud promedio de la línea:

 

    Costo total de espera = C1.Lq

 

donde :

 

C1  = costo de espera en pesos por llegada por unidad de tiempo y 

Lq  = número promedio en la cola.

 

Con frecuencia es difícil dar una cantidad de pesos para el costo de espera de los clientes que están en una línea. Ciertamente el comportamiento humano tiene muchas variaciones. Matemáticamente es aún más complicado: ¿es lineal el costo de espera? ¿Cuesta lo mismo el primer minuto que el segundo? ¿O el tercero? ¿O se incrementa el costo por minuto conforme aumenta la espera?

Existen dos formas de manejar el costo intangible del tiempo de espera de los clientes. Una es pedir a las personas con conocimientos que estimen el valor promedio del tiempo de un cliente, tomando en cuenta los factores sicológicos y competitivos de la situación. Después casi siempre se supone linealidad (es más fácil) y se usa la fórmula anterior para encontrar el costo de espera total. El segundo método tiene un enfoque indirecto que establece un tiempo máximo de espera para el cliente promedio, éste usa después para determinar la capacidad de servicio. Con este punto de vista, por  supuesto, todavía existe el costo de espera pero no se usa en forma explícita.

 

COSTO DE SERVICIO.

 

Determinar el costo de servicio es más sencillo, en concepto, que determinar el costo de espera. En la mayoría de las aplicaciones se tratará de comparar varias instalaciones de servicio: dos cajeras en un banco contra tres, por ejemplo. En estos casos sólo se necesitan los costos comparativos o diferenciales. Por ejemplo, si se quiere cuántas cajas de autobanco deben tener personal, sólo se necesitan los costos de personal. Por otra parte, si la pregunta es cuántas de estas cajas se deben construir, entonces se necesitan  los costos de construcción y los de operación de cada ventanilla. Casi siempre los datos necesarios son evidentes para una situación dada.

 

SISTEMAS DE COSTO MÍNIMO.

 

Tan indeseable como puede ser la espera, puede ser menos costoso que proporcionar un servicio más rápido. Desde un punto de vista global, se quiere el sistema que comparado con los demás, tenga el costo total más pequeño, incluyendo el costo de servicio y el costo de espera. Para tasas bajas de servicio, se experimentan largas colas y costos de espera muy altos. Conforme aumenta el servicio, hay un ahorro sustancial en el costo de espera, aunque los costos de servicio aumenten, ya que el costo total del sistema disminuye. Sin embargo, finalmente se llega a un punto de disminución en el rendimiento. Más allá  del punto de costo mínimo, el aumento en el servicio cuesta más que los ahorros consecuentes en el costo de espera. Entonces, el objetivo es encontrar el Sistema de costo mínimo.

 

 


ASPECTO ECONÓMICO DE LOS FENÓMENOS DE ESPERA

 

EXPOSICIÓN GENERAL.

 

Toda función económica de un fenómeno de organización se selecciona en forma arbitraria y debe responder a las intenciones de aquel que tiene que decidir. En general, en el caso de los fenómenos de espera se considera como función económica el costo total de la espera de los clientes y de las estaciones, más exactamente, la llamada esperanza matemática de los gastos provocados por la espera de los clientes y de las estaciones.


Si S es el número de estaciones en paralelo, m el de los clientes (que pueden ser infinito), el número medio de clientes en espera en línea es:


El número medio de estaciones inactiva es:

 

Dándose un intervalo de tiempo T durante el cual nos proponemos calcular el costo total medio G de la espera, el tiempo medio perdido por los clientes tiene como expresión:


Y aquel del servicio


Sean C1 ($/cliente) el costo de una unidad de tiempo de un cliente, C2 ($/canal) el de una unidad de tiempo de una estación; así, el costo total será:

 


La variable es generalmente S pero se podría, en algunos casos, tener el control de m.

 


EL PROCESO DE DECISIÓN EN LAS LÍNEAS DE ESPERA

 

La dificultad estriba en la determinación explícita de los costos de espera, no tanto así los costos del sistema. Éstos últimos sólo son la erogación monetaria (fija y variable) correspondiente a la operación y mantenimiento del sistema.


En realidad, dada la característica aleatoria de una línea de espera, se debe hablar de valores esperados de costo y no del costo en sí. Por lo tanto, si g(n) representa el costo esperado de demora de n clientes y Pn es la probabilidad de que existan n personas en el sistema en un período de tiempo determinado, el valor esperado del costo de demora, E{g(n)}, es:

 


La forma de g(n) puede ser lineal o no lineal (exponencial, etc.).

 

Los problemas de decisión de líneas de espera pueden ser de tres tipos:

 

Tipo 1.                   Dada una función de costo de espera (o el costo esperado), una función de costo de servicio del sistema. Los parámetros l y m, se desea encontrar el número óptimo de servidores, S, que minimizan el costo total esperado.

Tipo 2.                   Dada una función marginal de servicio por unidad de tiempo para m fija, el valor de l y un rango permisible de variación de m, se desea encontrar el número de servidores, S, y el valor de m, que minimizan el costo total. En otras palabras: calcular la mejor eficiencia del sistema (rapidez con el menor número de servidores posibles), ajustando m y S. Este sería el caso de sistemas referentes a trabajos de carga y descarga en muelles, trabajos de mantenimiento o de supervisión, vigilancia o inspección.

Tipo 3.                   Dado un costo marginal de servicio por unidad de tiempo, un costo fijo de servicio por unidad de servicio por unidad de tiempo, un valor de l y m, se desea encontrar el número de estaciones de servicio y el número de servidores por estación, que minimizan el costo total. Este sería el caso de encontrar, por ejemplo, el número de baños para hombres y mujeres en un aeropuerto y, dentro de cada baño, calcular el número de toilets y lavabos. Los baños serían las estaciones de servicio y los toilets de cada baño serían los servidores dentro de cada estación de servicio.

El proceso de decisiones requiere  una evaluación cuantitativa de la línea de espera y una estimación de la forma explícita de las funciones de costo asociadas a la espera y a la operación y mantenimiento del sistema. Esta última estimación (la de costos) es, en la vida real, difícil y laboriosa de determinar.

 

 


MODELOS DE DECISIÓN.

 

    Se mencionó que las tres variables decisión comunes al diseñar sistemas de colas son s (número de servidores), m (tasa media de servicio por servidor) y l (tasa media de llegadas a cada instalación de servicio). Ahora se formularán modelos que permitan tomar algunas de estas decisiones.

 

 

 

 

Las situaciones del tipo de sistemas de colas que requieren la toma de decisiones surgen en muy diversas áreas, por lo que no es posible presentar un procedimiento para la toma de decisiones que se pueda aplicar a todas estas situaciones. Esta sección se limita a dar un panorama  conceptual amplio del enfoque general a un grupo predominante de problemas de líneas de espera.

Gran parte de los problemas que surgen en la práctica incluyen la toma de una o más de las siguientes decisiones:

 

1.  Número de servidores en cada estación.

2.  Eficiencia de los servidores.

3.  Número de instalaciones de servicio.

 

Cuando se formulan estos problemas en términos de un modelo, las variables de decisión correspondientes por lo general son s (número de servidores por cada instalación), m (tasa media de servicio por servidor ocupado) y l (tasa media de llegada en cada instalación). El número de instalaciones de servicio se relaciona directamente con l, ya que, si se supone una distribución uniforme de la carga de trabajo entre las instalaciones, l es igual a la tasa media total de todas las instalaciones dividida por el número de ellas.

Todas las decisiones específicas que aquí se presentan se relacionan con la cuestión general del nivel apropiado de servicio que se debe proporcionar en un sistema de colas.  Las decisiones respecto a la capacidad de servicio que se ha de proporcionar, por lo general, se basan principalmente en dos factores:


 

1.      

El costo en el que incurre al dar el servicio. La siguiente gráfica representa el costo del servicio como una función del nivel de servicio.

 

 


2.       La espera por ese servicio. La gráfica a continuación describe el tiempo de espera esperado como una función del nivel de servicio.


Estas figuras se pueden obtener utilizando la ecuación adecuada de teoría de colas.

El problema se resuelve así: al seleccionar el punto sobre la curva que dé el mejor balance entre el retraso promedio al solicitar un servicio y el costo de proporcionarlo.

Sólo después de establecer la seriedad relativa entre los retrasos y los costos de servicio se puede tomar una decisión inteligente sobre el balance  apropiado de estos dos factores. Para obtenerlo es preciso responder a preguntas tales como: ¿en qué medida el gasto en el servicio es equivalente (en cuanto a su efecto negativo) al retraso de un cliente durante una unidad de tiempo? Para comparar los costos de servicio y los tiempos de espera, es necesario adoptar (en forma explícita o implícita) una medida común de su impacto. La elección natural de esta medida es el costo, por lo que se vuelve necesario estimar el costo de espera.  Es razonable suponer que este costo de espera es proporcional a la espera total, será suficiente obtener  una estimación de costo de espera por unidad de tiempo por cliente.

Cualquier comparación entre el tiempo de espera y los costos de servicio debe inevitablemente llegar a la estimación del costo equivalente a la espera. Parece evidente que el análisis profundo que se necesita para obtener una estimación explícita debe proporcionar una base más sólida, además el usar una mejor estimación permite utilizar  el análisis matemático riguroso para identificar con exactitud la decisión que minimiza el costo esperado total estimado.

Una vez que queda clara la conveniencia de una estimación explícita del costo de espera, el siguiente paso es encontrar la forma de obtener esta estimación. Dada la diversidad de situaciones de líneas de espera, no se puede aplicar en general un proceso de estimación, pero se presentarán las consideraciones básicas que abarcan varios tipos de situaciones.

Una gran categoría es aquella en la que los clientes son externos a la organización que proporciona el servicio. Es necesario subdividirla a esta clase en términos de si el servicio se proporciona con el fin de obtener ganancias o si se tiene una base no lucrativa.  En el caso de las organizaciones lucrativas; desde el punto de vista del tomador de  decisiones, el costo de espera quizá consista principalmente en la pérdida de ganancias por la venta perdida. Esta pérdida puede ocurrir de inmediato (porque el cliente se desespera y se vaya) y/o en el futuro (porque el cliente se va tan irritado que no regresa). Es bastante difícil de estimar y puede ser necesario retomar otros criterios, como una distribución de probabilidad tolerable para los tiempos de espera.

Una situación puede ser más manejable si los clientes son internos a la organización que proporciona el servicio (como en los sistemas de servicio interno industrial). Por ejemplo, los clientes pueden ser máquinas o empleados de una empresa. Es posible identificar de manera directa algunos o todos los costos asociados con el tiempo perdido de estos clientes. Para ilustrar el razonamiento que  sustenta esto (y para hacer una advertencia contra un obstáculo frecuente) se considera el caso en que los clientes son operadores de máquinas. A primera vista es fácil sacar la conclusión de que el costo que afecta a la empresa es si uno de estos empleados espera en la cola, es su salario correspondiente al tiempo que espera; pero esta conclusión implica que la reducción neta en los ingresos de la empresa debido a que un operador espere en una cola es igual a su salario. No hay razón para que esto se cumpla en general. De hecho, el empleado recibirá el mismo salario independientemente de la espera, pero lo que en realidad se pierde es la contribución a las ganancias de la empresa que hubiera hecho el operador de no haber esperado. Por lo tanto, cuando un operador está desocupado porque está esperando en una cola, lo que se está perdiendo es la salida productiva que ayudaría a pagar los gastos fijos de la empresa además del salario del operador. En suma, en lugar de poner atención nada más  a un recurso económico que espera físicamente en una cola, se debe intentar encontrar el valor de todos los recursos económicos que se quedan inútiles como consecuencia de esta espera. Este enfoque con frecuencia conduce a la necesidad de evaluar la pérdida de la ganancia debido a toda la productividad perdida.

Dado que se ha establecido el costo de espera explícitamente, en términos conceptuales, el resto del análisis es directo. El objetivo es determinar el nivel de servicio que minimiza el costo esperado de servicio y el costo esperado por la espera de ese servicio. La representación matemática del objetivo es:

 

Minimizar   (CTE)  =  (C1*Lq*r) + (C2*&)

Donde:

-     (CTE)  denota el costo de espera;

-    (C1*Lq*r) denota el costo de servicio; y

-    (C2*&)  denota el costo total.


Se deduce que el Costo Total Esperado Optimo (CTEo) se corresponde con aquel punto para el cual el centro de atención dispone de un adecuado número de canales de atención (Se), tal que:

 


C1 * Lq *r  =  C2 * &

 

Si, C1 * Lq *r  <  C2 * &, el costo improductivo de los canales es superior al de espera en fila; en tal caso se mantendrá S como número de canales a utilizar.

 

Si, C1 * Lq *r  >  C2 * &,  se  deberá  adicionar  otros  servidores (en general uno más)

reduciéndose así la extensión de la cola y su costo.

 

 


CARACTERÍSTICAS CLAVE DE LOS MODELOS DE COLAS.

 

En resumen, para evaluar un sistema de colas en el que Usted controla el número de servidores o su tasa de servicio, se necesitan las siguientes estimaciones de costo y medidas de rendimiento:

 

ü     El costo por servidor por unidad de tiempo (Cs).

ü     El costo por unidad de tiempo por cliente esperando en el sistema     (CWs).

ü     El número promedio de clientes en el sistema (Ls).

 

Por cada alternativa que implique S servidores, calcule el siguiente costo total por unidad de tiempo:

 

Costo total por unidad de tiempo con S servidores =

 

=  (costo de los servidores) + (costo de espera) =

 

= {(costo por servidor por unidad de tiempo) * (número de servidores)} +

  + {(costo por cliente por unidad de tiempo) * (número esperado de clientes en el sistema)} =


 

 


Por último, seleccione la alternativa que ofrezca el costo total mínimo por unidad de tiempo.

 

 

 

 


MODELO PARA OPTIMIZAR UN SISTEMA DE COLAS.

 


A los problemas en los que un tomador de decisiones debe escoger entre sistemas alternativos de cola se les llama problemas para optimizar sistemas colas. Es este problema, la meta de la empresa es minimizar la suma del costo horario de servicio y del costo horario esperado debido a los tiempos de inactividad de los mecánicos. En los problemas de optimización de colas, el componente del costo debido a clientes que esperan en la cola se llama costo de demora. Así, la empresa desea minimizar:

 

 


En general, el cálculo del costo horario de servicio es sencillo. El modo más fácil de calcular el costo horario de demora es tomando nota de que:


 

 


.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AUTOR

 

ALEGRE, María de Guadalupe.

E-mail: guadalupe_77@uolmail.com.ar

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