MODELO CON
SERVIDORES MÚLTIPLES
INTRODUCCIÓN
En muchas situaciones reales habrá mas de un servidor disponible para atender las llegadas. El interés principal es la búsqueda del número de estaciones que permiten asegurar el servicio con el mínimo costo, imponiéndose ciertas restricciones bajo la forma de probabilidades que hay que sobrepasar o no.
Esto es típico de los supermercados y los bancos. En estos ejemplos, existen líneas separadas para cada servidor formando un sistema de líneas múltiples y servidores múltiples (multicola – multicanal).
Si hay intercambio (clientes), el sistema puede analizarse como un grupo de sistemas de un servidor y una cola (monocola – monocanal). Sin intercambio entre líneas, la descomposición no funcionara. Para esta situación no se tiene una solución general. Para ello se tendría que utilizar simulación.
Existe una solución general para un sistema de múltiples servidores que tiene una sola línea (monocola – multicanal). Puede ocurrir, por ejemplo en una pastelería en que los clientes toman un número al entrar, en un departamento de reproducción que cuenta con varias copiadoras o en una peluquería.
Estudiaremos situaciones de espera en las cuales se efectúan llegadas y salidas (que son atendidas) en forma simultánea. Limitamos nuestra atención a las líneas de espera donde los clientes son atendidos por S servidores en paralelo de manera que se pueda dar servicio a n clientes al mismo tiempo. Todos los servidores ofrecen servicios iguales desde el punto de vista del tiempo que se requiere para atender a cada cliente. A tales estructuras se les conoce como sistema de colas de canal múltiple. En dichos sistemas, los servidores pueden ser idénticos, en el sentido de que proporcionan la misma clase con igual rapidez.
Los bancos y los supermercados, son buenos ejemplos de lo anterior. Cada ventanilla y cada caja registradora son estaciones que proporcionan el mismo servicio. Por ejemplo si todos los cajeros de un banco tienen la misma experiencia, pueden considerarse como idénticos.
El proceso de llegada es la forma en que los clientes llegan a solicitar un servicio. Lo más importante en este proceso es el tiempo entre llegadas, que es la cantidad de tiempo entre dos llegadas sucesivas. Esto es importante porque mientras menor sea el intervalo de tiempo, implica que con más frecuencia llegan los clientes, lo cual hará que aumente la demanda de servidores.
Existen dos clases básicas de tiempo entre llegadas:
1. Determinístico: en cual clientes sucesivos llegan en un mismo intervalo de tiempo, fijo y conocido.
2. Probabilístico: en el cual el tiempo entre llegadas sucesivas es incierto y variable. Los tiempos entre llegadas probabilísticos se describen mediante una distribución de probabilidad.
El proceso de colas tiene que ver con la forma en que los clientes esperan para ser atendidos y el proceso de servicio define como son atendidos los clientes.
Monocola – Multicanal (en paralelo)
· Una fuente a partir de la cual fluyen los clientes.
· Una sola línea de espera o cola.
· Dos o más canales en paralelo constituyen el centro de servicio.
· Es la estructura más racional porque potencializa o concentra la capacidad de despacho del centro.
· Solo habrá canales desocupados cuando no haya cola.
· Responde al modelo “retire su número al ingresar”
·
Asegura
el proceso FIFO (first in, first out)
Multicola – Multicanal (independientes, con elección de cola)
·
Una
fuente a partir de la cual fluyen los clientes.
·
Líneas
independientes con opción a elección y cambio de cola.
·
Canales
independientes constituyen el centro de servicio.
·
El
cliente elige la cola entre los distintos servidores.
·
Es
menos eficiente que el anterior.
·
Se
compone de varios subsistemas monocola – monocanal.
·
No
asegura el proceso fifo.
·
Son necesarios más servidores en caso de querer dar idéntico
servicio al de monocola – multicanal.
·
Cuando
el cliente no pueda elegir en que fila insertarse, el sistema será ineficiente y por momentos inviables (canal elige a cliente)
·
Tiene
mayores tiempos de espera en la cola y en el sistema.
MEDIDAS DE
RENDIMIENTO PARA EVALUAR UN SISTEMA DE COLAS
Cualquier sistema de colas pasa
por dos fases básicas. Por ejemplo,
considere la cantidad de tiempo que los clientes tienen que esperar en un banco
durante el curso de un día. Cuando el banco abre en la mañana, no hay nadie en
el sistema de modo que el primer cliente es atendido de manera inmediata. Conforme van llegado más clientes,
lentamente se va formando la cola y la cantidad de tiempo que tienen que
esperar empieza a aumentar. A medida
que avanza el día, el sistema llega a una condición en la que el efecto de la
falta inicial de clientes ha sido eliminado y el tiempo de espera de cada
cliente ha alcanzado un nivel bastante estable. La fase inicial, que conserva los efectos de las condiciones
iniciales, se conoce como fase transitoria. Las
condiciones transitorias prevalecen cuando el comportamiento del sistema sigue
dependiendo del tiempo. Después de que
los efectos de las condiciones iniciales son eliminados, el sistema entra en un
estado estable.
Nuestro estudio se concentrará
en el análisis de resultados de estado estable. Esta conclusión está basada en la suposición de que la mayoría de
los sistemas están diseñados
normalmente para mantenerse en operación por largo tiempo (permanente). Sin embargo, debemos agregar también que el
análisis de estado transitorio es muy complejo en términos matemáticos y
cualquier incursión en esa área nos llevará muy lejos.
1.
Una
población de clientes infinita.
2.
Un
proceso de llegada en el que los clientes se presentan de acuerdo a un proceso
de Poisson con una tasa promedio de l clientes por unidad de tiempo.
3.
Un
proceso de colas que consiste en una sola fila de espera de capacidad infinita,
con una disciplina de colas de primero en entrar, primero en salir (FIFO, First
Input First Output).
4.
Un
proceso de servicio que consiste en S
servidores idénticos, cada uno de los cuales atiende a los clientes de acuerdo
con una distribución exponencial, con una cantidad promedio, m de clientes por unidad de
tiempo.
En condiciones de estado estable nos interesará determinar
las siguientes medidas básicas de rendimiento:
S (canales): número de estaciones de atención o despacho que componen el centro de servicio del sistema.
m = número promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo en una estación. También recibe el nombre de velocidad de despacho.
l = número promedio de llegadas por unidad de tiempo. También recibe el nombre de velocidad de arribo.
k = Bulk Service, número de clientes atendidos simultáneamente por cada canal
Y = Factor de Uso. Es el cociente entre el factor de trafico y el producto del “número de estaciones” por el “Bulk service”. Para sistemas donde los tiempos de arribo y los tiempos de servicios son determínisticos toma el valor 1, en caso contrario toma un valor inferior a la unidad.
Y = =
Orientativamente un buen número es 0.75 < Y < 0.9
Para r ³ 1, no existe estado estable. Para r < 1 las siguientes fórmulas:
Fórmulas para calcular las medidas de
rendimiento de un sistema MonoCola Multicanal (M/M/S):(FIFO/¥/¥)
|
|||
Medida de Rendimiento |
Fórmula General |
||
Probabilidad de que no haya clientes en el sistema |
|
||
Número esperado de clientes en la cola (n ³ s) |
|
||
Tiempo esperado en cola por cada cliente (n ³ s) |
|
||
Tiempo promedio de espera en el sistema |
|
||
Número promedio en el sistema |
|
||
Probabilidad de que n clientes se encuentren en el sistema |
|
||
Probabilidad de que haya n clientes en el sistema (n £ s) |
|
||
Probabilidad de que haya n clientes en el sistema (n ³ s) |
|
||
Tiempo de servicio por cliente |
|
||
Intensidad o Factor de tráfico |
|
||
= Factor de Uso |
|
Fórmulas para calcular las medidas de
rendimiento de un sistema Multicola Multicanal (M/M/S):(FIFO/¥/¥)
|
|
Medida de Rendimiento |
Fórmula General |
Intensidad o Factor de tráfico |
|
Número esperado de clientes en la cola (n ³ s) |
|
Tiempo esperado en cola por cada cliente (n ³ s) |
|
Tiempo promedio de espera en el sistema |
|
Número promedio en el sistema |
|
Probabilidad de que n clientes se encuentren en el sistema |
|
Probabilidad de que haya n clientes en el sistema (n £ s) |
|
Probabilidad de que haya n clientes en el sistema (n ³ s) |
|
Tiempo de servicio por cliente |
|
Probabilidad de que no haya clientes en el sistema |
|
En Rosario de la Frontera departamento perteneciente a la provincia de Salta tiene una estación para pesado de camiones para verificar que el peso de los vehículos cumple con las regulaciones preestablecidas. Esta estación se muestra en la siguiente figura. La administración desea analizar y entender el desempeño del sistema actual durante las horas pico, cuando llega a la báscula el mayor número de camiones suponiendo que el sistema puede desempeñarse bien durante este período, el servicio en cualquier otro momento será aún mejor.
El gerente de operaciones cumple con las condiciones presentadas de monocola – monocanal. Su siguiente paso es estimar las tasas promedio de llegada y de servicio en dicha estación. De los datos disponibles suponga que la gerencia determina que los valores son:
El valor de , es mayor que el de
,de modo que se puede llevar a cabo un análisis de estado
estable para este sistema.
CÁLCULO DE LAS MEDIDAS DE RENDIMIENTO
Los investigadores han
derivado formulas para calcular las diferentes medidas de rendimiento de un
sistema de colas M/M/1, en términos de los parámetros m
y l. Estas
formulas, de nueva cuenta, se expresan en términos de r,
que es el cociente de l sobre m. Para nuestro problema:
Este valor indica que aproximadamente 9% del tiempo un camión que llega no tiene que esperar a que se le proporcione el servicio porque la estación de pesado está vacía. Dicho de otra manera, aproximadamente 91% del tiempo un camión que llega tiene que esperar.
Dicho con palabras, en promedio, la estación de pesado puede esperar tener aproximadamente nueve camiones esperando a ser atendidos (sin incluir al que ya está en la báscula)
Este valor indica que en promedio, un camión tiene que esperar 0.1515 horas, aproximadamente 9 minutos, en la fila antes de que empiece el proceso de pesado.
Este valor indica que en promedio, un camión tiene que esperar 0.1666 horas, aproximadamente 10 minutos, desde que llega hasta que sale de la estación.
Este valor indica que, en promedio, existe un total de 10 camiones esperando en la estación, ya sea en la báscula o en espera de ser atendidos.
Este valor indica que aproximadamente 91% de las veces un camión que llega tiene que esperar.
Al utilizar esta fórmula se obtienen las siguientes probabilidades:
n |
Pn |
0 |
0.0909 |
1 |
0.0826 |
2 3 . . . |
0.0751 0.0683 . . . |
Esta tabla proporciona la distribución de probabilidad para el número de camiones que hay en el sistema. Los números que aparecen en la tabla se pueden utilizar para responder preguntas como: ¿cuál es la probabilidad de que no haya más de tres camiones en el sistema? En este caso, la respuesta de 0.3169 se obtiene mediante la suma de las primeras cuatro probabilidades de la tabla, para n = 0, 1, 2, 3.
8. Utilización (U):
Este valor indica que aproximadamente 91% del tiempo las instalaciones de pesado están en uso (un camión está siendo pesado). De manera equivalente aproximadamente 9% del tiempo la estación está sin funcionar, sin que haya camiones que estén pesando
Este sistema es distinto del anterior porque nos permite tener s servidores en lugar de uno.
En la propuesta anterior se podría construir una segunda báscula en la estación de pesado, como se muestra en la siguiente figura. Esta propuesta tiene como resultado un sistema monocola – monocanal, es decir con dos servidores, dos básculas, y la siguiente estimación de llegada:
El valor de , es mayor que el de
,de modo que se puede llevar a cabo un análisis de estado
estable para este sistema.
CÁLCULO DE LAS
MEDIDAS DE RENDIMIENTO
Los investigadores han
derivado formulas para calcular las diferentes medidas de rendimiento de un
sistema de colas M/M/s, en términos de los parámetros m
y l. Estas
formulas, de nueva cuenta, se expresan en términos de r,
que es el cociente de l sobre m. Para nuestro problema:
1. Probabilidad de que ningún cliente esté en el sistema (P0):
Este valor de p0 indica que aproximadamente 7% del tiempo, la estación de pesado está vacía.
2. Número esperado de camiones en la fila (Lq):
Dicho con palabras, en promedio, la estación de pesado puede esperar tener aproximadamente seis camiones esperando a ser atendidos (sin incluir al que ya está en la báscula)
3. Tiempo esperado de camiones en la cola (Wq):
Este valor indica que en promedio, un camión tiene que esperar 0.0817 horas, aproximadamente 5 minutos, en la fila antes de indicar el proceso de pesado.
4. Tiempo promedio de espera en el sistema (Ws):
Este valor indica que en promedio, un camión tiene que esperar 0.10667 horas, aproximadamente 7 minutos, desde que llega hasta que sale de la estación.
5. Número promedio en el sistema (L):
Este valor indica que, en promedio, se tiene entre siete y ocho camiones esperando en la estación, ya sea en la báscula o en espera de ser atendidos.
6. Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar (Pn):
Este valor indica que aproximadamente 82% de las veces un camión que llega tiene que esperar o, de manera equivalente, aproximadamente 18% de las veces un camión que llega es pesado sin que tenga que esperar.
7. Probabilidad de que haya n clientes en el sistema (Pn):
Si n £ s:
Al utilizar esta fórmula se obtienen las siguientes probabilidades:
n |
Pn |
0 |
0.06667 |
1 |
0.11667 |
2 . |
0.10210 . |
Si n ³ s
Al utilizar esta fórmula, se obtienen las siguientes probabilidades:
N |
Pn |
3 |
0.08932 |
4 |
0.07816 |
. . . |
. . . |
Estas tablas proporcionan la distribución de probabilidad para el número de camiones que hay en el sistema. Las cantidades que aparecen en tales tablas se pueden utilizar para responder preguntas como: ¿cuál es la probabilidad de que al menos una báscula no esté funcionando? Esta probabilidad es la misma que la probabilidad de que haya menos de dos camiones en el sistema. Sumando las dos probabilidades de la tabla para n = 0 y 1, se obtiene la respuesta: 0.18334.
8. Utilización
(U):
Este valor indica que cada báscula está ocupada 87% del tiempo.
ALVAREZ, Silvia
GONZALEZ, Cynthia
E-mail: sil_alvarez@yupi.com
cyn_gonzalez@uole.com
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