ESPACIOS LIMITADOS

 

Antes de abordar el tema que nos concierne, supóngase que Ud. es el propietario del Lavadero “TATO`S”, el cual consta de una rampa para lavado con capacidad para un automóvil a la vez y estacionamiento para cinco que están a la espera del Servicio. Cuando el estacionamiento esta completo y llega un nuevo cliente requiriendo el servicio de lavado, este no puede esperar a ser atendido debido  a que el área de espera permitida se encuentra completa. Ante este evento, el cliente se retirará buscando ser atendido en otro lugar.

Conociendo esta situación, ¿Le interesaría agrandar su zona de estacionamiento? ¿Cree que es conveniente?

Estos interrogantes pueden ser respondidos a través de un Modelo de Cola de Espera Limitada.

 

¿QUÉ ES UN MODELO DE ESPERA O COLA?

 

Es un sistema que consta de clientes o elementos, formando una línea de espera o cola, para recibir un servicio (brindado por un objeto llamado Servidor).

 

¿QUÉ ES UNA COLA LIMITADA?

 

Es un Modelo de Espera, el cual no puede exceder la capacidad del Área de Espera, cuando dicha área se llena, los clientes que llegan no permanecen, es decir son rechazados.

 

DEFINICIÓN

 

Cola Limitada es una variante de los Modelos de Espera, cuya característica principal, es que posee una capacidad de espera finita, la cual no podrá ser excedida por los clientes que arriben al Sistema. Cuando se sobrepasa dicha capacidad, los clientes son rechazados y no entran en el Sistema.

En la introducción descubrimos un caso típico de Cola Limitada, donde podemos analizar los componentes que intervienen  en ella:

 

Ø      Clientes: son los automóviles que arriban buscando el servicio de lavado.

Ø      Servidor: Galpón de lavado.

Ø      Capacidad Limitada: esta dada por la cantidad de lugares disponibles para estacionar dentro del lavadero.

 

Para contestar los interrogantes antes mencionados, es necesario representar este problema mediante un Modelo Matemático. Para alcanzar el modelo definiremos a los elementos que lo componen:

 

Ø      l (Velocidad de Arribo): corresponde a la cantidad promedio de clientes que ingresan en una determinada unidad de tiempo.

Ø      m (Velocidad de servicio): es la cantidad promedio de clientes que son atendidos en una unidad de tiempo.

Ø      r (Factor de Tráfico): es la razón entre la velocidad de arribo (l), y la velocidad de Servicio (m)

Ø      S: Número de Servidores.

Ø      k (Bulk Service): es la cantidad de clientes que se atiende a la vez.

Ø      X: Capacidad de clientes en el Sistema (es igual a la suma de los que esperan más los que están siendo atendidos).

 

Suponemos para este caso, que el proceso de cola limitada es Estable ( la  probabilidad de que n clientes que están en espera, en cualquier instante, permanece igual a lo largo del día y en los distintos días). No trataremos el caso en el que dicha probabilidad no ha alcanzado aún sus valores estables.

 

Las llegadas o arribos (l), no ocurren en intervalos regulares en el tiempo, sino que tienden a repartirse o distribuirse de cierta manera.

 


RENDIMIENTO DE UN SISTEMA DE COLA LIMITADA

 

Al igual que cualquier sistema de Cola, nuestra tarea principal consiste en identificar:

Ø      l

Ø      m

 

de la observación, notamos que l responde a una distribución de Poisson, porque no todos los clientes solicitan el servicio por igual motivo; un motivo sería exhibir una oferta de lavado y aspirado (en esta situación la distribución no sería Poisson).

 

Análogamente, se supone que m responde a lo antedicho para l, ya que la salida de clientes que han recibido el servicio obedecen a lo mismo que l, entonces el tiempo de servicio:

                                                                         

que esta sujeto a la distribución exponencial (la inversa de Poisson).

El valor encontrado del relevamiento para  m también responde a una distribución de Poisson.

Para este caso de Cola Limitada, notamos que cuando la capacidad del Sistema esta completa, la variable l (velocidad de Arribo) toma el valor cero (l= 0), debido a que no pueden ingresar más clientes al Sistema, siendo esta una característica de los Sistemas de Cola Limitada.

Una vez identificada l y m, el siguiente paso es calcular r (factor de Tráfico)

 

Luego se calcula la cantidad mínima de servidores, definida por: S

Para llegar a esto, partimos de que

                                

 

la cual es la condición para que un Sistema funcione en forma aceptable, si no se cumple, llegarían en promedio más clientes de los que pueden ser atendidos.

Dado que

siendo en nuestro caso k = 1, tenemos:

 \    S > r (vale decir, S tiene que ser mayor que r)

 

 

Ahora ya tenemos los elementos necesarios para calcular el rendimiento del Sistema, dado que el número esperado de clientes en el Sistema es:


Esta fórmula surge de acotar la fórmula para una cola ilimitada,


, vemos que a esta formula se le resta

 

 


El cual, cuando X tiende a 0, entonces obtenemos la fórmula anterior, vale decir que está restringida por X.

 

û       Número esperado de clientes en la cola.

 


 


Ya que esta ecuación nace de calcular el número de clientes en el Sistema menos el número obtenido de los arribos.

 

û       Tiempo esperado en el Sistema

 


 

 


Análogamente, con el número esperado de clientes en el Sistema, esta también surge de acotar las ecuaciones para Cola Ilimitada:

 

 

û       Tiempo esperado en la Cola


 

 


Nace de restarle al tiempo esperado en el Sistema, lo que demora el Servidor en atenderlo.

 

Conociendo las medidas de rendimiento anteriormente citadas, lo aplicaremos  a nuestro ejemplo.

 

De la observación tenemos que:

l = 18 Autos/Hs

m = 4 Autos / Hs

 

Entonces:

 

r = l

      m

 

r = 18

        4

r = 4,5

 

Por lo tanto, sabiendo que S > r, la cantidad mínima de servidores es igual a 5 (sin tener en cuenta los costos que esto implica).

 

En este caso,

X = 6


Ya que tenemos un cliente en el servidor (rampa) y 5 en el estacionamiento, por lo tanto podemos calcular L.


 

 

 


El número esperado de clientes en el sistema es 5,715.

 

Luego calculamos Lq

 


 

 

 


 


           


 

 


El número esperado de clientes en la cola es de 4,72

 

A continuación calculamos Ws:


 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

El número esperado de clientes en el Sistema es de 1,43

También calculamos el tiempo esperado en la cola de la siguiente manera:

 

Wq = 1,43 – 0,25

Wq = 1,18 Hs.

 

Como vemos, el tiempo esperado en la cola es aproximadamente 1,18 Hs.

 

ANÁLISIS ECONÓMICO PARA UN SISTEMA DE COLA LIMITADA

 

Para calcular el costo total esperado a la unidad de tiempo (por convención, la hora), es necesario relevar los siguientes costos:

 

v     C1 = Costo de esperar en la cola [$ / Cliente]

v     C2 = Costo por Servidor [$ / Cliente]

v      C3 = Costo de perder un cliente cuando el espacio de espera esta lleno.

El costo total esperado (CTE) es igual a la suma de los tres costos anteriormente mencionados

 

CTE = Costo total espera + Costo total Servidores + Costo total Negación de Servicio

 

-         Costo total de Espera: se forma de la siguiente manera:

 

Costo Total Espera = C1 * L

 

-         Costo Total de Servidores: Esta compuesto por:

 

Costo Total por Servidores = C2 * &

 


Donde &

 

 

 

-         Costo Total por Negación de Servicio. Compuesto por:

 

Costo Total de Negación de Servicio = Cd * l * Pd

 

Nota: Pd es la Probabilidad de que a un cliente se le niegue el servicio.

 

Si Ud. ha llegado a este punto es porque seguramente a comprendido los conceptos Básicos de Cola Limitada.

Anteriormente hemos estudiado una cola limitada, en la cual teníamos una sola fila para ser atendida por un solo servidor. Cabe mencionar que existen casos en los que hay más de un servidor para atender una misma cola. Debemos tener en cuenta también, que se pueden formar varias filas, las cuales pueden ser atendidas por varios servidores.

 

Pasamos a considerar un Sistema de colas con más de un servidor.

           

Las medidas de rendimiento quedarían expresadas de la siguiente manera:

           


 

 


            S = más de un servidor

 


Donde Po es la probabilidad de encontrar ceros clientes en el Sistema y es válido solo si  Sm > r

 


 



Las fórmulas para los costos anteriormente vistas son válidas para S> 1.

 


Existe otro modelo de Cola Limitada que es el que consta de más de una Fase; vale decir que una vez que se llegó al límite de la fila se habilita otro servidor y otra fila que posee las mismas características de la anterior.

 


En este caso, lo que se tiene que tener en cuenta es que:


 


   Donde

 

 

De aquí en más, como todas las fórmulas están basadas en r, se respetan para este caso en más de una fase de servicio.

 

Resumen

 

En este texto comenzamos estudiando un Modelo de Cola Limitada de canal simple, con llegadas Poisson y tasa de servicio Exponencial.

 

Definimos fundamentalmente cuatro características del Sistema, a saber:

 

û       Número Esperado en él, que lo denominamos L

û       Número Esperado en  Fila, llamado Lqi.

û       Tiempo de Espera previsto, denominado W

û       Tiempo Previsto en la fila Wq

 

Además, se presentan las fórmulas de estas características en función de los parámetros del proceso de llegada y servicio. Expresamos, además, en ejemplos numéricos.

 

Otro tema tocado es el análisis económico para un sistema de Cola Limitada.

 

También se vio el caso en que se tenga en el sistema más de un servidor, proporcionando las fórmulas para calcular L, Lq, Ws y Wq, para este caso.

 

Por último, proporcionamos un conocimiento general de sistemas con más de una fase de servicio.

 

AUTORES

 

·          BARRIOS, Pablo Gustavo (pgbsi@uol.com.ar)

 

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