SISTEMAS EN CASCADA
RESUMEN
En este capítulo
se dan las herramientas necesarias para realizar el estudio y posterior
análisis de los sistemas, donde los servicios prestados a cada usuario se
llevan a cabo mediante un determinado número de fases sucesivas (centros de
servicios), cada una de las cuales tienen asociada su propia cola.
INTRODUCCIÓN
En la vida cotidiana los sistemas en cascada son bastante comunes. Los clientes en un comercio son servidos por empleados, debiendo después pasar a caja para el pago. En una casa de lavado de autos las tareas son de lavado, secado y pulido. Estos son ejemplos de dos y tres fases, respectivamente. Las operaciones industriales generalmente necesitan varias fases. Jackson, uno de los primeros en considerar la teoría de colas en serie (cascadas), hace mención del interesante ejemplo que ofrece la revisión de los aparatos de aviación, en los que las fases sucesivas llevan consigo operaciones tales como el desmontaje, inspección, reparación, montaje y prueba. Este tipo de líneas de espera también es característico del sector productivo, donde las líneas de ensamble requieren ciertas actividades que se desarrollan en serie. En estos procesos, la salida de una de las etapas es insumo de la etapa en serie que le sigue. Otros ejemplos de sistemas en cascada se encuentran en una cadena de fabricación, en el tráfico de clientes en un restaurante de servicio personal o autoservicio, en la transmisión de los expedientes en el interior de una empresa, etc.
Sobre la base de los ejemplos anteriores, y habiendo entendido el concepto de sistemas en cascada estamos en condiciones de brindar las herramientas necesarias para el adecuado análisis y resolución de éstos.
El estudio analítico de sistemas en
cascada es, en general muy difícil. De cualquier manera, en el caso en donde la
tasa de llegada (l) tiene una distribución Poisson y las
tasas de servicios (mi) son exponenciales y donde el tiempo medio de servicio en
la i-ésima fase será 1/mi este estudio es mas sencillo.
En el siguiente gráfico se da un claro y sencillo ejemplo sobre un sistema en cascada, donde los círculos grandes representan los centros de servicios y los más pequeños representan los clientes que esperan en las colas para ser atendidos en las distintas fases (centros de servicios).
Según el lugar disponible (longitud máxima de la línea de espera, Lq) entre los centros de servicios (etapas), se pueden dar los siguiente casos:
Primer Caso: El largo máximo de la cola en todas las etapas es ilimitado.
Segundo Caso: El largo máximo de la cola es finito en cada una de las etapas.
Tercer Caso: No puede existir cola en ninguna de las etapas.
Cuarto Caso: El largo máximo de la cola puede ser nulo, finito o ilimitado según sea la etapa.
En los casos dos, tres y cuatro, pueden producirse fenómenos de bloqueo parcial o total. Se pueden concebir, por otra parte, bloqueos ocasionados por restricciones más complicadas entre las condiciones de entrada en cada sistema.
Durante el desarrollo del tema de sistemas en cascada trabajaremos con modelos de colas con entrada Poisson y servicio Exponencial, y que se encuadran en el primer caso (el largo máximo de la cola en todas las etapas es ilimitado) debido que el análisis para estos es más sencillo. Sin perder de vista que también podemos tener estructuras de cascada monocola-monocanal (servicios en serie) y cascada multicola-multicanal (servicios en paralelo y serie) .
A
continuación, enunciaremos una de las propiedades que es fundamental en el marco
de trabajo de los sistemas en cascada.
PROPIEDAD DE
EQUIVALENCIA
Existe un resultado sencillo que tiene una
importancia fundamental para las redes de colas (cascadas), y que merece una
atención especial. Este resultado es la propiedad de equivalencia para el
proceso de entrada de los clientes y el proceso de salida de aquellos que se
van, en ciertos sistemas de colas.
Propiedad
de equivalencia: supóngase que una instalación de servicio tiene S
servidores, un proceso de entradas Poisson con parámetro l y la misma
distribución de los tiempos de servicio para cada servidor con parámetro m (el modelo
M/M/S), donde skm
> l. Entonces, la
salida en estado estable de esta instalación de servicio también es un proceso
Poisson con parámetro l.
Modelo en serie de m estaciones con capacidad de lIneas de
espera infinita
Considérese un sistema con m estaciones en serie, como se ilustra
en la siguiente figura. Supóngase que las llegadas a la estación 1 son
generadas de una población infinita de acuerdo con una distribución de Poisson
con una tasa media de llegada . Las unidades atendidas pasarán sucesivamente de una
estación a la siguiente hasta que se descarguen de la estación m. La distribución del tiempo de
servicio en cada estación i es exponencial con una tasa media
donde i = 1, 2,.....,
m. Además no hay límites de líneas de
espera en ninguna estación.
Una vez que está dada la tasa de arribo (l) y las tasas de servicio (mi), correspondiente a los distintos centros de servicios el siguiente paso es encontrar el número mínimo de canales de servicios para cada etapa.
El Factor de Uso cuando las tasas l y m son probabilísticas tiene que ser menor que uno, o sea:
donde k (bulk service) es el número de clientes atendidos simultáneamente por cada canal y S es el número de atenciones o despachos que componen el centro de servicio del sistema.
Entonces con l, m y k
conocidos podemos encontrar el número mínimo de canales de servicios (S) que
permita el funcionamiento técnico del sistema. Una vez obtenidos estos valores
recurrimos a algún software para cargar estos datos y conseguir valores tales
como cantidad de cliente en el sistema (L) y en la cola (Lq), tiempo
de espera en la cola (Wq) y
en todo el sistema (W), la probabilidad de que un cliente espere (r), etc.
Al poder usar el modelo M/M/s para
obtener las medidas de desempeño para cada instalación independiente, en lugar
de analizar la interacción entre las instalaciones, se tiene una simplificación
enorme. La probabilidad conjunta de n1
clientes en la instalación 1, n2
clientes en la instalación 2, etc. es, entonces, el producto de las
probabilidades individuales obtenidas de esta manera sencilla. En particular,
esta probabilidad conjunta se puede expresar como
Esta forma sencilla de solución se
llama solución en forma de producto. De manera similar, el tiempo de espera
esperado total y el número esperado de clientes en el sistema completo se
pueden obtener con sólo sumar las cantidades correspondientes que se obtuvieron
para cada instalación.
En
estas condiciones, puede probarse que, para toda i, la salida de la estación i
(o equivalentemente, la entrada a la estación i + 1) es de Poisson con tasa
media
y que cada estación
puede tratarse independientemente.
Para i = 1, 2, 3,........,m, donde ni
es el número en el sistema que sólo consta de la estación i. Los resultados de
este estado estable existirán únicamente si
.
A continuación se caracteriza
cuantitativamente al sistema (no se desarrollan fórmulas). La probabilidad
conjunta de que existan Z1 clientes esperando para servicio en la
estación 1, Z2 esperando en la estación 2 y Zn en la
estación n, está dada por:
P {L1 =Z1 ,
L2 =Z2 ,......, Ln =Zn } =
donde
El número esperado de clientes en el
sistema W, está dado por:
donde Wi es el conjunto de clientes
que esperan ser atendidos en la estación i
donde i = 1, 2, . . . , n, más el cliente al que se le está
proporcionando el servicio en la etapa i.
Si la cola es del tipo "primero en
llegar, primero en ser atendido", entonces la esperanza del tiempo de
espera de un cliente a lo largo de todo el sistema es:
El tiempo total en todo el sistema
(incluyendo los tiempos de servicio de las n
estaciones) es:
ANALOGIA HIDRAULICA
Una analogía hidráulica elemental facilitará la comprensión de esto que
se trata de explicar y también la trama de un sistema de colas en general :
Supongamos el curso de un río de muy extenso
recorrido, al cual por la fuente
"F" ingresa "a régimen constante" un caudal medio de Q(m3/h)
de agua y que luego, todo a su largo se ubican, siete usinas que conforman el
sistema de generación eléctrica. Las nombraremos: Apertura, Carda, Reunidora,
Manuar, Mechera, Continua y Devanadora.
Ahora expondremos
algunos conceptos referentes a como funciona y se comporta elementalmente este
sistema:
a) Definimos que el
régimen del caudal es permanente cuando: sus variaciones se producen en forma
independiente del tiempo.
b) En un régimen
permanente medio (estadísticamente estable) lo invariable en el tiempo es el
promedio o esperanza matemática del caudal. Por ejemplo cierto día podría ser
Q= 1 m3/seg y después otro día 1.8 m3/seg pero a lo largo
de todo el mes, si el sistema está estable, registrará siempre un caudal medio
de 5040 m3/hora.
c) En el régimen
permanente y constante (Determinístico), no solo permanece invariable el valor
del flujo horario sino que este indicará segundo a segundo, el pasaje de 1,40 m3
de líquido. En este caso el valor medio coincide con el instantáneo.
d) Cuando el agua
circula libremente lo hace desde las zonas más altas (mayor energía potencial),
hacia las ubicadas más abajo, el líquido recorre el sistema de "arriba
hacia abajo", de allí la expresión "aguas abajo" o a favor de la
corriente.
e) Recorrer el
sistema "aguas arriba" es navegar contra la corriente. No es lo usual
ni lo aconsejable, para lograrlo será necesario gastar energía
suplementaria.
f) Las usinas de
generación eléctricas son obras de ingeniería, diques o represas, donde se
instalan máquinas denominadas turbinas que tienen por objeto generar
electricidad a partir de la transformación energética del flujo de agua que
pasa entre los rotores de las mismas.
g) Las turbinas son
los "canales de servicio" del sistema generacional. El agua entrega
allí parte de su presión (no de su caudal) para dar movimiento a los rotores y
transformar la energía hidráulica en eléctrica.
h) Cuando el caudal
de agua es escaso, será necesario sacar turbinas de servicio, provocándose con
ello una merma o improductividad en la capacidad generadora de la usina.
i) Si temporalmente
el ingreso de agua fuese muy alto, todas las turbinas trabajarían a pleno,
permitiendo pasar a través de ellas todo el caudal de diseño Qn (Qn
> Q). El fluido proveniente de
"aguas arriba", se almacenará en el embalse y allí "deberá
esperar" el momento oportuno para ingresar a los conductos de las
turbinas. Al ser Q un valor medio se
tiene: Qmin<=Q<=Qmax pudiendo darse la circunstancia de que en
algún instante sea:
Qmax >
Qn y en tal caso el nivel del embalse aumentará y la extensión del
espejo líquido crecerá superficialmente.
j) Todas las represas
construidas a lo largo del recorrido del río, en estado de régimen, constituyen
un sistema en cascadas y por todas ellas pasará el mismo caudal de agua,
diferenciándose tan solo unas de otras por las cantidades de energía
transformada la que dependerá, del emplazamiento relativo de cada central.
k) En la parte
izquierda de la figura se ha dibujado en líneas de trazo como debería ser el
"sistema ideal", que obviamente se
correspondería con un "régimen permanente constante", los
puntos a destacar mediante su observación son:
k1) Igual que antes,
el caudal es el mismo para todas las estaciones de servicio, pero al ser ahora
constante, no existen los embalses.
k2) Todas las
turbinas, de todos los canales de servicio, funcionan a pleno y no hay
improductividad.
k3) El tiempo que
tardaría, un hipotético barquillo de papel en recorrer navegando la distancia
que separa: la fuente "F", del sumidero "S", sería
sensiblemente menor en el caso ideal con relación al real.
RELACION ENTRE EL SIMIL HIDRAULICO Y LOS MODELOS PRODUCTIVOS.
Cambiemos ahora los roles de nuestros
personajes y tratemos de aplicar el símil hidráulico para explicar que sucede
con el proceso fabril en una hilandería de algodón. Dicha hilandería deberá entregar dentro de X(días) un pedido de
Y(Kg.) de hilado de algodón de un determinado título. Su programación de planta
deberá contemplar producir en promedio Qd=Y/X o sea Q=Qd/24.
Lo que ingresará por la fuente F ya no será
más agua sino fardos de algodón, a razón de l(Kg/hora) en
promedio.
Hemos cambiado el nombre del elemento que
requiere servicio, ahora es algodón en lugar de agua y lo que para esta era
caudal, para aquel será "velocidad de arribo (l)" o productividad.
El fardo de algodón, hace cola (se embalsa)
delante de un grupo de "abridoras" que constituyen la primera
estación de trabajo. Siguiendo el proceso ("aguas abajo") el algodón
ya abierto, dejará sus impurezas en las "cardas" que lo convertirán
en un velo.
La tercera estación de servicio está
compuesta por las "reunidoras", que juntan varios velos para formar
una cinta.
Las cintas, aguas abajo son nuevamente
acondicionadas por el "manuar". Hasta ese momento el algodón no ha
sufrido ningún esfuerzo ni de tracción
ni de torsión.
Las cintas de manuar pasan a la estación
de servicio siguiente donde las "mecheras" someten por vez primera al
algodón a un leve proceso de torsión, y lo transforman en mecha.
La mecha es fuertemente torsionada y
traccionada en las "continuas" y finalmente, aquel fardo de algodón
que ingresó por F, se habrá convertido en el hilado de título apropiado.
Falta todavía una etapa del proceso, el hilado está
"enroscado" alrededor de una pieza llamada "canilla" y así
no se lo puede remitir al cliente.
Son las "devanadoras", las
encargadas de colocar el producto final en el sumidero "S",
transvasando previamente el hilado desde las canillas a los conos de
apresto.
El caudal hidráulico se convirtió en
kilogramos de algodón que a velocidad estacionaría, fue pasando por los centros
de servicio en búsqueda de una determinada atención.
Cada centro de servicio estuvo compuesto
por una determinada cantidad de máquinas específicas (canales de despacho). Las
partes provenientes de procesos anteriores (mechas por ejemplo) debieron
eventualmente esperar dentro de sus tachos (embalsarse), antes de ser procesadas,
si al momento de su arribo todos los husos de las continuas se encontraban
ocupados.
Las entradas de fardos de algodón al
sistema, estuvieron separadas por intervalos de tiempo desiguales, conocidos
solamente en función de una probabilidad de acontecimiento.
Por tratarse de procesos mecánicos, los
tiempos de atención pueden ser considerados constantes, pero distintos entre
una etapa y otra. Se requiere mucho
menos tiempo en abrir ¿?(Kg) de algodón que para convertirlo en mecha por
ejemplo.
Los "embalses" frente a cada uno
de los procesos se deben a que el ingreso de los tachos se produce a intervalos
irregulares, regido posiblemente por una ley de distribución continua.
Solamente podrán salir de la cola y
dirigirse a los canales de despacho, los tachos que contengan tantos kilogramos
de algodón como los que ingresan al centro de apertura (salvo mermas por
rendimiento". De no resultar ello así el "valor promedio de la
cola" se alteraría a cada momento y no se cumpliría la condición de régimen
permanente.
"Dada una cierta característica de los canales de despacho que
componen el centro de servicio: El
Tiempo de Espera en Cola y consecuentemente la extensión de esta, depende
únicamente de la velocidad con la cual arribe el algodón"
1) Existe un número mínimo de canales
"Si" que hará factible el funcionamiento técnico del
sistema:
Si > r
Para que el sistema productivo pueda asegurar la entrega de los Y(Kg) de
hilado que conforma el pedido al cabo de los X(días) se deberá proveer en cada
Centro de Servicio una Cantidad Mínima de Máquinas de Atención "Si",
superior al valor numérico que corresponda al Factor de Tráfico. Reiteramos lo
ya dicho:
Es imprescindible respetar que el Número de Canales supere al Factor
de Tráfico. Si así no se hiciera, el propio sistema realizaría su
autocorrección, disminuyendo la tasa de producción. Se generará otro l' < l y a su vez un r' < r, tal
que, finalmente se estabilizan
cuando Si > r'; o sea que lo único que se conseguirá
retaceando canales de servicio, es tardar más tiempo en concluir el volumen de
fabricación programado.
AUTOR
SALAS CORREA,
E-mail: salascorrea@hotmail.com
UTN