SISTEMAS DE COLAS VARIOS

 

 Se dispone de tres modelos sin entradas Poisson para cuando los tiempos de servicio tengan una distribución exponencial con un parámetro fijo. Estos modelos se obtienen invirtiendo las distribuciones supuestas de tiempos entre llegadas y tiempos de servicio.

 

 

G/M/S

 

El primero de estos modelos G/M/S no impone restricciones sobre el tipo de distribución para los tiempos entre llegadas. En este caso se dispone de algunos resultados de estado estable (en especial en cuanto a distribuciones de tiempos de espera) para las dos versiones del modelo de uno y varios servidores, pero estos resultados no son ni cercanamente tan convenientes como las expresiones sencillas dadas para el modelo M/G/1.

 

D/M/S

 

El segundo nuevo modelo es el D/M/S.

Este modelo supone que todos los tiempos entre llegadas son iguales a una constante fija, que representaría un sistema de cola en el que se programan las llegadas a intervalos regulares. En cambio los tiempos de servicios son probabilísticos y siguen una  distribución exponencial. 

 

Ek/M/S

 

El tercer modelo nuevo Ek/M/S supone una distribución Erlang para los tiempos entre llegadas que maneja el espacio intermedio entre llegadas regulares programadas.

 

 Si ni los tiempos entre llegadas ni el tiempo de servicio tienen una distribución exponencial entonces existen tres modelos de colas adicionales para los que también se tienen resultados.

 

Uno de estos modelos, el Em/Ek/S supone una distribución Erlang para ambos tiempos. Los otros dos, Ek/D/S y D/Ek/S suponen que uno de estos tiempos tienen una distribución Erlang y el otro es igual a una constante fija.

 

M/D/S

 

Este modelo supone que el tiempo de servicio es exactamente el mismo para cada llegada en lugar de ser aleatorio. Todavía se tiene una sola línea, tamaño de la cola infinito, disciplina de la cola como primero en llegar primero en ser servido y llegadas Poisson.

Cuando sólo se tiene un servidor, el modelo M/D/1 es un caso especial del modelo M/G/1, en donde s2 = 0, con lo que la fórmula se reduce a:

 

 

en donde a partir de este valor de Lq se pueden obtener L, Wq y Wc. Nótese que estas Lq y Wq tienen un valor exactamente de la mitad  y enton­ces al decrecer s2 pueden mejorar mucho las medidas de desempeño de un sistema de colas.

 

Para más de un servidor se dispone de un método complicado para obtener la distribución de probabilidad de estado que establece del número de clientes en el sistema y su media.

 

Las aplicaciones típicas de este modelo pueden incluir un autolavado auto­mático, una estación de trabajo en una pequeña fábrica o una estación de diag­nóstico de mantenimiento preventivo. En general, el servicio lo proporciona una máquina.

Las características de operación están dadas por 4:

 


 

 

 


 


 

 

 

 


en donde A es la tasa promedio de llegadas (llegadas por unidad de tiempo) y S  la tasa constante de servicio (llegadas por unidad de tiempo).

 

 

EJEMPLO: LAVADO AUTOMÁTICO DE AUTOS

 

Imagínese un lavado automático de autos con una línea de remolque, de manera que los autos se mueven a través de la instalación de lavado como en una línea de ensamble. Una instalación de este tipo tiene dos tiempos de servicio di­luentes: el tiempo entre autos y el tiempo para completar un auto. Desde el punto de vista de teoría de colas, el tiempo entre autos establece el tiempo de servicio del sistema. Un auto cada cinco minutos da una tasa de 12 autos por hora. Sin embargo, el tiempo para procesar un auto es el tiempo que se debe esperar para entregar un auto limpio. La teoría de colas no considera este tiem­po.

 

Supóngase que el lavado de autos puede aceptar un auto cada cinco minutos y que la tasa promedio de llegadas es de nueve autos por hora (con distribución Poisson). Sustituyendo en las ecuaciones:

 

Para:

 autos

 

 horas o 7.5 minutos

 

 1.875

 

 horas o 12.5 minutos

 

 o 75%

 

 

Obtenemos una utilidad del 75%.

 

 

M/G/S

 

En este modelo las llegadas al sistema corresponden a una  distribución Poisson, el tiempo de servicio es genérico (multiservicio).

 

 

Ejemplo:

 

 EL PROBLEMA DE COLAS DE LA OFICINA DE CONTROL DE VEHÍCULOS DE MOTOR DE TEXAS.La división de Los Alamos actualmente tiene tres servido­res públicos que procesan el registro de automóviles. Recientemente, han recibido quejas de los clientes que tienen que esperar demasiado durante la hora del almuerzo, de 11:30 a 13:30 horas. Para minimizar el problema, usted, como administrador de la oficina, está tratando de determinar cuántos empleados adicionales debe contratar para este periodo de dos horas, de modo que el tiempo de espera sea menor a los 10 minutos.

La llegada de clientes podría suponerse, razonablemente, que sigue un proceso de Poisson. Basándose en datos históricos, usted estima que la tasa promedio de llegadas es X = 46 personas por hora. A pesar de que no tiene certeza sobre la distribución del tiempo de servicio, un estudio del tiempo ha revelado que cada servidor necesita un promedio de cinco minutos (0.08333 horas) para atender a un cliente, con una des­viación estándar de dos minutos (0.0333 horas).

Estos datos indican que cada servidor puede procesar un promedio de p = 12 clientes por hora. Así pues, para manejar la estimación pico de 46 clientes por hora, es decir, asegurar que la tasa total de servicio, c * m, excede a la tasa total de llegadas, 2, es necesario tener al menos cuatro ventanillas en servicio. Al introducir estos datos en el paquete de software STORM, utilizando un modelo M/G/4 (para indicar que la dis­tribución de tiempo de servicio no es exponencial) produce las medidas de rendimiento que se muestran en la siguiente figura. Usted puede ver que existe un promedio de 12 clientes en la cola y que cada uno de ellos tiene que esperar un promedio de 0.2636 horas (aproximadamente 16 minutos) antes de ser atendidos. En total, cada cliente tiene que invertir 0.3470 horas (aproximadamente 21 minutos) en la oficina.

Estos y otros modelos incluyen un sistema M/M/S con población finita, un sistema M/M/S con capacidad de espera limitada y un sistema M/G/S en el cual el tiempo de servicio sigue una distribución general cuyas media y desviación estándar deben estimarse.

 

 

M/G/4                          M / G / S

 

                         QUEUE     STATISTICS

 

    Number of identical servers                                                                     4
    Mean arrival rate                                                                                       46.0000
    Mean service rate per server                                                                  12.0000
    Standard deviation of service time                                                         0.0333

    Mean server utilization (%)                                                                      95.8330
    Expected number of customers in queue                                              12.1272
    Expected nurnber of custorners in system                                             15.9605
    Probability that a customer must wait                                         0.9092
    Expected time in the queue                                                                     0.2636
    Expected time in the system                                                                   0.3470

 

Figura de las Medidas de rendimiento obtenidas con STORM para el problema M/G/4 dc Texas BMV.

 

 

Este nivel de servicio no es aceptable porque el tiempo promedio de espera de 16 minutos excede al objetivo de 10 minutos. Por consiguiente, es necesario tener al menos cinco ventanillas en funcionamiento. Al cambiar el número de servidores de 4 a 5 y resolver el nuevo modelo M/G/5, se obtienen los resultados mostrados en la siguiente figura. Usted puede ver que con cinco ventanillas abiertas, el tiempo promedio de espera en la cola disminuye a 0.0204 horas, un poco más de un minuto. Esto está completamente dentro del propósito de los diez minutos, de modo que usted decide aumentar el número de servidores públicos de 3 a 5, durante el tiempo de almuerzo.

 

 

 

 

    

Number of identical servers

5

Mean arrival rate

46.0000

Mean service rate per server

12.0000

Standard deviation of service time

0.0333

Mean server utílization (%)                 

76.6664

Expected number of customers in quelle

0.9369

Expected number of customers in system

4.7702

Probahiiity that a customer must. wait  

0.4916

Expected time in the queue

0.0204

Expected time in the system

0.1037

 

 

 

Figura de las Medidas dc rendimiento obtenidas con STORM para el problema M/G/5 de Texas BMV.

 

Cuando utilice un modelo de aproximación, tenga en cuenta que las medidas de rendimiento que usted obtenga pueden no ser lo que se ve en la práctica. Antes debe instrumentar decisiones basadas en resultados modelados, deberá intentar validarlos.

 

 

M/G/S

 

Se refiere a una estación con entradas Poisson, servicio con una distribución arbi­traria, R líneas con prioridades ordenadas pero sin prioridad absoluta.

 

 Se consideran R líneas de espera prioritarias, en el orden 1, 2, ... R, pero sin prioridad absoluta; en otros términos, no se abandona el servicio de una unidad de la línea k cuando se pre­senta una unidad de una línea h, en donde h < k.

 

Sean lk y mk las tasas medias de la línea k; es decir, de la línea que tiene una prioridad de orden k. Se pondrá:

 

 

Cuando el servicio está libre para aceptar un cliente, selec­ciona las unidades y escoge en la línea de más alta prioridad, en la cual hay una unidad en espera.

Se pondrá:

 

 

 

 

 


COMPARACIÓN DE TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES Y CONSTANTES

 

El sistema de tiempos de servi­cio constantes tiene sólo la mitad de la longitud de cola y del tiempo de espera de lo que tiene el sistema de tiempos de servicio variables. La longitud de la línea y el tiempo de espera para todo el sistema también son menores; sólo la utilización es la misma para ambos.

Un sistema con tiempos de servicio constantes da mucho mejores resultados porque se ha eliminado parte de la aleatoriedad del sistema y con ella la posibilidad de tiempos de servicio muy largos.

 

Resultados para A = 9, S = 42

 

 

 

Tiempo de servicio exponenciales

Tiempos de servicio constantes

Cola. Longitud promedio de la línea

 

2.25

 

1.125

Tiempo promedio de espera

 

15 min.

 

7.5 min.

Sistema. Longitud de la línea

 

3

 

1.875

Tiempo promedio de espera.

 

20 min.

 

12.5 min.

Utilización

75 %

75 %

 

Con frecuencia los negocios eliminan los tiempos de servicio muy largos con un procesamiento previo. Por ejemplo, las tiendas de descuento requieren aprobación previa de los cheques, lo que reduce el tiempo en la caja. El tener líneas separadas es otra estrategia que se usa con frecuencia. Por ejemplo, en los bancos las cuentas de valores pueden manejarse aparte y no en las ventanillas. Además, las ventanillas no procesan las solicitudes de crédito o la apertura de nuevas cuentas. Cada uno de estos métodos hace más rápido el servicio elimi­nando los tiempos largos.

 

 

ELECCION DE UN MODELO APROPIADO

 

A pesar de que el objetivo terminal de un modelo de colas es evaluar varias medidas de rendimiento, la capacidad de calcular estas medidas está restringida a un número limitado de modelos diferentes. El problema particular de colas que esté tratando puede no adaptarse a los modelos que su paquete de computación es capaz de manejar. En estos casos, usted debe hacer algo de lo siguiente:

 

1.  Obtener un paquete de computación que sea capaz de analizar su modelo.

2.  Localizar las fórmulas adecuadas de algún libro especializado en teoría de colas para calcular las medidas de rendimiento necesarias, y esto no siempre puede ser posible.

3.  Hacer algunas suposiciones acerca de su problema que le permitan aproximarlo con uno de los modelos de colas para los cuales las fórmulas de las medidas de rendimiento están disponibles.

 

Tome en consideración una máquina embotelladora de bebidas no alcohólicas. Las botellas vacías llegan al mismo tiempo y son llenadas en grupos de 24 a la vez. A diferencia de los modelos anteriores, en los que cada cliente de la cola es atendido de manera individual, aquí la máquina procesa un grupo de 24 botellas de manera simultánea. Si hay menos de 24 botellas en la cola, la maquina debe esperar.

Una manera de aproximación para este sistema consiste en identificar cada grupo de 24 botellas como un solo “cliente”. Esto se hace modificando el proceso de

llegada para expresar una tasa de llegada asociada con cada lote. Por ejemplo, si originalmente las botellas llegan con una rapidez promedió de 48 botellas por minuto, entonces cada grupo de 24 botellas llega con rapidez aproximada de dos lotes por minuto. Similarmente, el tiempo de servicio debe expresarse como la cantidad de tiempo necesaria para que la máquina no llene las 24 botellas, sino una de  manera individual. Las medidas de rendimiento asociadas deben interpretarse de acuerdo con lo anterior. Por ejemplo, si el numero promedio de clientes que esperan en la cola es de, digamos, 5, esto significa que en promedio hay aproximadamente 5 * 24 = 120 botellas esperando para ser llenadas.

 

    

Para validar la aproximación utilizada, suponga que el modelo tiene como resultado un promedio de cinco clientes en el sistema. Si esta aproximación es válida, usted deberá, efectivamente, observar en la práctica un promedio de aproximadamente 120 botellas esperando para ser llenadas. Únicamente si usted determina que el modelo de aproximación es válido, entonces deberá considerar la instrumentación de las decisiones, basándose en las medidas de rendimiento obtenidas con el modelo.

 

 

AUTORES

 

·          ITURRE, Ana Romina (riturre@uol.com.ar)

·         ALDANA, Iván Guillermo

·         CIANCI, Carlos Alberto

·         DELGADO DOYLE, Jorge Federico

·         LÓPEZ CREMONA, Marcelo Walter

·         MORENO, Patricio

·         PINTOS, Beatriz Carolina

·         SÁNCHEZ, Cristian Adrián

·         ZEITUNE, José Javier

- UTN - FRT -