ESPACIOS LIMITADOS
Antes de abordar
el tema que nos concierne, supóngase que Ud. es el propietario del Lavadero
“TATO`S”, el cual consta de una rampa para lavado con capacidad para un
automóvil a la vez y estacionamiento para cinco que están a la espera del
Servicio. Cuando el estacionamiento esta completo y llega un nuevo cliente
requiriendo el servicio de lavado, este no puede esperar a ser atendido
debido a que el área de espera
permitida se encuentra completa. Ante este evento, el cliente se retirará buscando
ser atendido en otro lugar.
Conociendo
esta situación, ¿Le interesaría agrandar su zona de estacionamiento? ¿Cree que
es conveniente?
Estos
interrogantes pueden ser respondidos a través de un Modelo de Cola de Espera
Limitada.
¿QUÉ
ES UN MODELO DE ESPERA O COLA?
Es un sistema
que consta de clientes o elementos, formando una línea de espera o cola, para
recibir un servicio (brindado por un objeto llamado Servidor).
¿QUÉ
ES UNA COLA LIMITADA?
Es un Modelo de
Espera, el cual no puede exceder la capacidad del Área de Espera, cuando dicha
área se llena, los clientes que llegan no permanecen, es decir son rechazados.
Cola Limitada es una
variante de los Modelos de Espera, cuya característica principal, es que posee
una capacidad de espera finita, la cual no podrá ser excedida por los clientes
que arriben al Sistema. Cuando se sobrepasa dicha capacidad, los clientes son
rechazados y no entran en el Sistema.
En la
introducción descubrimos un caso típico de Cola Limitada, donde podemos analizar
los componentes que intervienen en
ella:
Ø
Clientes:
son los automóviles que arriban buscando el servicio de lavado.
Ø
Servidor:
Galpón de lavado.
Ø
Capacidad Limitada:
esta dada por la cantidad de lugares disponibles para estacionar dentro del
lavadero.
Ø
l (Velocidad de
Arribo): corresponde a la cantidad promedio de clientes que ingresan en una
determinada unidad de tiempo.
Ø
m (Velocidad de
servicio): es la cantidad promedio de clientes que son atendidos en una unidad
de tiempo.
Ø
r (Factor de
Tráfico): es la razón entre la velocidad de arribo (l), y la velocidad de
Servicio (m)
Ø
S: Número de
Servidores.
Ø
k (Bulk
Service): es la cantidad de clientes que se atiende a la vez.
Ø
X: Capacidad de
clientes en el Sistema (es igual a la suma de los que esperan más los que están
siendo atendidos).
Suponemos para
este caso, que el proceso de cola limitada es Estable ( la probabilidad de que n clientes que están en
espera, en cualquier instante, permanece igual a lo largo del día y en los
distintos días). No trataremos el caso en el que dicha probabilidad no ha
alcanzado aún sus valores estables.
Las llegadas o
arribos (l), no ocurren en intervalos regulares en el tiempo, sino que
tienden a repartirse o distribuirse de cierta manera.
Al igual que cualquier
sistema de Cola, nuestra tarea principal consiste en identificar:
Ø
l
Ø
m
de la observación, notamos que l responde a una distribución de Poisson, porque no todos los
clientes solicitan el servicio por igual motivo; un motivo sería exhibir una
oferta de lavado y aspirado (en esta situación la distribución no sería
Poisson).
Análogamente, se
supone que m responde a lo antedicho para l, ya que la salida de clientes que han recibido el servicio obedecen a lo
mismo que l, entonces el tiempo de servicio:
que esta sujeto a la
distribución exponencial (la inversa de Poisson).
El valor
encontrado del relevamiento para m también responde a una distribución de Poisson.
Para
este caso de Cola Limitada, notamos que cuando
la capacidad del Sistema esta completa, la variable l
(velocidad de Arribo) toma el valor cero (l=
0), debido a que no pueden ingresar más clientes al Sistema, siendo esta una
característica de los Sistemas de Cola Limitada.
Una vez identificada
l y m, el siguiente
paso es calcular r (factor de
Tráfico)
Luego se calcula la cantidad mínima de
servidores, definida por: S
Dado que
siendo en nuestro caso k = 1, tenemos:
\ S > r
(vale decir, S tiene que ser mayor
que r)
Ahora ya tenemos los elementos
necesarios para calcular el rendimiento del Sistema, dado que el número
esperado de clientes en el Sistema es:
Esta fórmula surge de acotar la
fórmula para una cola ilimitada,
, vemos que a esta formula se le resta
û
Número esperado de
clientes en la cola.
Ya que esta ecuación nace de calcular el número de clientes en el Sistema
menos el número obtenido de los arribos.
û
Tiempo esperado en el
Sistema
Análogamente,
con el número esperado de clientes en el Sistema, esta también surge de acotar
las ecuaciones para Cola Ilimitada:
û
Tiempo esperado en la
Cola
![]() |
Nace de
restarle al tiempo esperado en el Sistema, lo que demora el Servidor en atenderlo.
Conociendo las
medidas de rendimiento anteriormente citadas, lo aplicaremos a nuestro ejemplo.
De la
observación tenemos que:
l = 18 Autos/Hs
m = 4 Autos /
Hs
Entonces:
r = l
m
r = 18
4
r = 4,5
Por lo tanto,
sabiendo que S > r, la cantidad mínima de servidores es igual
a 5 (sin tener en cuenta los costos que esto implica).
En este caso,
X = 6
Ya que tenemos un cliente en el
servidor (rampa) y 5 en el estacionamiento, por lo tanto podemos calcular L.
El número esperado de clientes en el sistema es 5,715.
A continuación calculamos Ws:
![]() |
El número esperado de clientes en
el Sistema es de 1,43
También calculamos el tiempo
esperado en la cola de la siguiente manera:
Wq = 1,43 – 0,25
Wq = 1,18 Hs.
Como vemos, el tiempo esperado en la cola es aproximadamente
1,18 Hs.
ANÁLISIS
ECONÓMICO PARA UN SISTEMA DE COLA LIMITADA
Para calcular
el costo total esperado a la unidad de tiempo (por convención, la hora), es
necesario relevar los siguientes costos:
v
C1 = Costo de
esperar en la cola [$ / Cliente]
v
C2 = Costo por
Servidor [$ / Cliente]
v C3 = Costo de perder un cliente cuando el espacio de espera
esta lleno.
El costo total
esperado (CTE) es igual a la suma de
los tres costos anteriormente mencionados
CTE = Costo total espera + Costo total Servidores + Costo total
Negación de Servicio
-
Costo total de
Espera: se forma de la siguiente manera:
Costo Total Espera = C1 * L
-
Costo Total de
Servidores: Esta compuesto por:
Costo Total por Servidores = C2 * &
Donde &
-
Costo Total por
Negación de Servicio. Compuesto por:
Costo Total de Negación de Servicio = Cd * l * Pd
Nota: Pd es la
Probabilidad de que a un cliente se le niegue el servicio.
Si Ud. ha
llegado a este punto es porque seguramente a comprendido los conceptos Básicos
de Cola Limitada.
Anteriormente
hemos estudiado una cola limitada, en la cual teníamos una sola fila para ser
atendida por un solo servidor. Cabe mencionar que existen casos en los que hay
más de un servidor para atender una misma cola. Debemos tener en cuenta
también, que se pueden formar varias filas, las cuales pueden ser atendidas por
varios servidores.
Pasamos a
considerar un Sistema de colas con más de un servidor.
Las medidas de
rendimiento quedarían expresadas de la siguiente manera:
S = más de un servidor
Donde Po es la probabilidad de encontrar ceros clientes en el Sistema y
es válido solo si Sm > r
Las fórmulas para los costos
anteriormente vistas son válidas para S>
1.
Existe otro
modelo de Cola Limitada que es el que consta de más de una Fase; vale decir que
una vez que se llegó al límite de la fila se habilita otro servidor y otra fila
que posee las mismas características de la anterior.
En este caso,
lo que se tiene que tener en cuenta es que:
De aquí en más, como todas las
fórmulas están basadas en r, se respetan
para este caso en más de una fase de servicio.
Resumen
En este texto
comenzamos estudiando un Modelo de Cola Limitada de canal simple, con llegadas
Poisson y tasa de servicio Exponencial.
Definimos
fundamentalmente cuatro características del Sistema, a saber:
û
Número Esperado en
él, que lo denominamos L
û
Número Esperado
en Fila, llamado Lqi.
û
Tiempo de Espera
previsto, denominado W
û
Tiempo Previsto en la
fila Wq
Además, se presentan las fórmulas de estas características en función de los parámetros del proceso de llegada y servicio. Expresamos, además, en ejemplos numéricos.
Otro tema
tocado es el análisis económico para un sistema de Cola Limitada.
También se vio
el caso en que se tenga en el sistema más de un servidor, proporcionando las
fórmulas para calcular L, Lq, Ws y Wq, para este caso.
Por último,
proporcionamos un conocimiento general de sistemas con más de una fase de
servicio.
AUTORES
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BARRIOS, Pablo Gustavo (pgbsi@uol.com.ar)
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UTN - CR -