ANÁLISIS DE COLAS. STORM
Las colas o filas de espera son parte, en muchas situaciones, de la vida moderna. Los clientes en los bancos o supermercados, los autos en los puestos de peaje y hasta una tarea misma esperando ser procesada en un negocio, todas estas situaciones se encuentran con la “DEMORA” y deben esperar su turno cuando el sistema se congestiona. En adelante, nos referiremos a las entidades o instituciones en busca de un servicio como: ”Clientes” (cuando estos sean de hecho gente, trabajos, vehículos, etcétera) y “Servidor” será entonces aquello que provea dicho servicio.
ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE COLAS
El estudio matemático de las colas ha sido muy extenso y se han desarrollado muchas fórmulas que nos han ayudado a calcular las características de las filas de espera. Dicho análisis debe estar basado en una clara visualización de la estructura del sistema y como interactúan sus partes. El modelo general de la línea de espera de una estación simple, está formado por los siguientes componentes:
1. LA POBLACIÓN DE ENTRADA
La fuente de entrada o “población” es
la colonia formada por todos los potenciales usuarios que pudieran acercarse en
busca de un servicio. A menudo asumimos que el tamaño de esta población es
efectivamente infinito (por ejemplo, la gente que arriba a un teatro o a un
cine), y ésta es la situación más fácil de analizar.
Sin embargo, puede ser poco realista
asumir una fuente infinita si el número de usuarios no es muy grande, como por
ejemplo en una tienda de reparación dedicada solo a un limitado número de
máquinas. En este caso, tendremos que ingresar el tamaño preciso de la
población.
2. EL PROCESO DE LOS ARRIBOS
La forma en que se van sucediendo los
arribos puede, de algún modo, ser
descripta matemáticamente. Esto se da generalmente como una distribución de la
probabilidad del tiempo entre los sucesivos arribos, o una distribución del
tiempo entre los arribos. Una actitud muy común es suponer que los arribos de
una población infinita son completamente accidentales, lo cual conduce a una
distribución exponencial para el tiempo entre los arribos. A esto llamamos
Proceso de Arribo “Dañino”.
Si la población de salida es finita, la
suposición análoga es que cada usuario, cuando no está en el sistema (es decir,
no está ni esperando ni recibiendo el servicio), solicita (exige) al sistema en
tiempos completamente diversos, independientemente de los otros usuarios y con
los mismos valores dados.
3. LA COLA DE ESPERA
La cola que forman los clientes que
están esperando puede a veces ser considerada como una situación con capacidad
efectivamente infinita o bien estar limitada a una sala de espera con capacidad
finita; en este último caso, cualquier arribo que encuentra la sala de espera
colmada, se considerará como una admisión negada y un servicio rechazado.
Incidentalmente no deben tomarse los
términos: Arribo, Sala de Espera y Cola de Espera tan literalmente. Los
clientes pueden ser muchas piezas de maquinarias derramadas en el piso en el
momento en que el servidor está siendo reparado. En este caso son los
servidores los que arriban a los clientes y no se forman colas. Sin embargo, se
aplican los mismos conceptos y fórmulas.
4. LA DISCIPLINA DE SERVICIO
La secuencia en la que los clientes en
espera son elegidos para brindarles el servicio puede ser controlada en algunas
situaciones. Debemos asumir que el orden del servicio es: el primero que llega
es el primero en ser atendido.
5. EL NÚMERO DE SERVIDORES
Cualquier número de servidores puede
ser especificado. Cuando la estación tiene más de un solo servidor, los
servidores múltiples serán considerados idénticos y en paralelo, lo cual
significa que un cliente busca el servicio de solo uno de ellos; cualquiera de
éstos lo hará.
6. LA DISTRIBUCIÓN DEL TIEMPO DE SERVICIO
El tiempo requerido para brindar un
servicio generalmente varía amplia e impredeciblemente entre un cliente y el
próximo. Esta incertidumbre se captura especificando una distribución de
probabilidad para los tiempos de servicio.
De nuevo, una suposición común es la de la distribución exponencial. En el
extremo opuesto a este, el más impredecible de los tipos de servicio es el
constante; ambos nos conducen a modelos que pueden ser analizados más en
detalle. Resultados limitados también pueden obtenerse si no se da ninguna
distribución pero en su lugar, tanto el significado como la desviación estándar
de los tiempos de servicio son especificados.
NOTAS CONVENCIONALES
Los varios componentes de un sistema de
colas pueden ser puestos en forma conjunta de varias formas. El siguiente
apunte – de gran aceptación – será de
gran utilidad al momento de especificar a cual combinación nos estamos
refiriendo. Escribimos una serie de letras separada por la barra de fracción,
así: a / b / c / d / e. Los cinco símbolos tienen el siguiente significado:
a. La primera posición se usa para indicar
el tipo de proceso de arribo. La única anotación que el STORM permite es:
M – Un proceso de entrada “Markovian”, lo cual simplemente significa entradas que son generadas por arribos completamente aleatorios.
Estos pueden ser desde una fuente infinita, en cuyo caso la tasa promedio de arribos (número de arribos por unidad de tiempo) debe ser especificada; o de una población finita la cual requerirá que Ud. ingrese la tasa promedio con la cual arriba cada cliente.
b. El segundo símbolo denota la
distribución de los tiempos de servicio. El STORM ofrece tres opciones:
M – Un tiempo de servicio con distribución exponencial (una vez más M representa Markovian). Esto es asumido comúnmente tanto en la teoría como en la práctica y da, en cierto sentido, los tiempos más aleatorios o impredecibles.
D – Tiempos de
procesamiento determinísticos o constantes, el extremo opuesto al exponencial.
Esto puede ocurrir en ambientes de manufacturas en donde las máquinas tiene
ciclos fijos de tiempo.
G – Distribución de
probabilidad general o inespecífica. Ciertos resultados pueden ser obtenidos
sin hacer ninguna suposición acerca de la forma de la distribución, pero usando solamente el significado y la
desviación estándar del tiempo de servicio.
Sin importar cual de
estas opciones se elijan, usted tendrá que ingresar el tiempo de servicio
promedio. Esto será suficiente para determinar completamente el proceso de
servicio tanto en el caso el tiempo exponencial como determinístico. Para el
caso general, Ud. también debe ingresar la desviación estándar de los tiempos
de servicio.
c. En el tercer lote, la letra representa
el número de servidores paralelos idénticos que forman la estación.
d. Los dos últimos símbolos a menudo se omiten.
En la cuarta posición indicamos la máxima cantidad de clientes que pueden estar
en el sistema (esto es, tanto siendo atendidos como esperando). El mismo deja
de funcionar cuando hay un límite en el número de clientes que esperan en la
fila, esto es, cuando la sala de espera tiene una capacidad infinita.
e. El quinto indicador especifica el
tamaño de la población de entrada. Cuando esto se omite, se asume que el valor
es infinito. Si la fuente está limitada a k clientes, escribimos a / b / c / k
/ k, esto implica que la capacidad está limitada a k. Esto podemos hacerlo aún
si la capacidad de la sala de espera es ilimitada, ya que nunca necesitaremos
un espacio para más que k.
Cuando comienza un complejo
y aleatorio proceso como lo es una cola de espera, al igual que cuando un
almacén abre por primera vez en el día sus puertas, existe un periodo de tiempo
durante el cual las condiciones del sistema están influenciadas por el estado
inicial. Esta fase transitoria es reemplazada en forma gradual por un estado
constante o permanente en el cual surge un patrón estable; aún cuando todavía
se observen fluctuaciones aleatorias.
Los reportes de salida del módulo de
“Análisis de cola” están basados en la suposición de que el sistema esta
operando en estado constante. Entre otras cosas, esto implica que la tasa
promedio de arribo, el tiempo promedio de servicio, y todas las otras entradas
que luego deberá especificar son constantes en el tiempo.
A menos que usted esté interesado en un
modelo con limitaciones propias en el cual la sala de espera o la entrada de
una población es finita, deberá ser cauteloso para registrar una tasa de arribo
inferior a la mayor tasa de salida (el cual es el número de servidores
multiplicado por uno sobre el promedio de tiempo de servicio). Si los clientes
arriban más rápido que éste, es decir, más de lo que pueden ser manipulados, la
cola seguirá creciendo progresivamente y nunca alcanzará el estado constante.
Esto es, por supuesto, un resultado teórico.
En la práctica algunas cosas pueden
suceder: quizás la tasa de arribo
disminuya al retirarse algunos potenciales clientes, o bien la tasa de salida
se incremente ya sea debido a un servicio más rápido o bien a que se
habilitaron cajeros adicionales.
Suceda lo que suceda, las suposiciones
del modelo ya no serán validas. Así, todas las fórmulas que usaremos estarán
basadas en un comportamiento constante, y no se permitirá usar valores
comparativos que violen dicha suposición.
Por cada sistema de cola de espera que
usted resuelva, todas o algunas de las siguientes medidas de ejecución serán
reportadas. En todos los casos, se asume que el sistema esta en estado
constante:
· La
utilización del servidor (The Server
Utilization): la fracción o porcentaje (como lo reportamos) de tiempo que
cada servidor esté ocupado.
· La
longitud media de cola (The Mean Queue Length): el número
esperado de clientes en cola.
· El número medio dentro del sistema (The Mean Number in System): el número esperado de clientes ya sea
en cola o siendo atendidos.
· La
probabilidad de bloqueo (The Blocking
Probability): la probabilidad de que un cliente que arriba encuentre todo
el servidor ocupado y se vea forzado a esperar por el servicio. De igual modo,
la fracción de clientes que debe esperar a ser atendidos.
· El tiempo
medio en cola (The Mean Queueing time): el
tiempo estimado que un cliente demora en la línea de espera ante de empezar el
servicio.
· El tiempo
medio en el sistema (The Mean Time
in System): el tiempo estimado que un cliente demora tanto en esperar el
servicio como recibirlo.
· Las
probabilidades de estado (The State
Probabilities): la probabilidad de distribución del número en el sistema.
Que es, la probabilidad de que haya exactamente (n) usuarios en la cola o
recibiendo servicio en cualquier tiempo; para n=0, 1, ...
· La
probabilidad de negación del servicio (The Probability of Service Denial): la probabilidad de que un
cliente que arriba, encontrando el lugar de servicio completo, se retire;
o de igual modo, la fracción de
clientes a los que se les niega el servicio. Si la sala de espera tuviera una
capacidad infinita, esta probabilidad es obviamente cero y no será reportada.
Todos estos resultados se obtienen
mediante evaluación directa de fórmulas estándar. Las cuales no presentaremos
aquí; la mayoría son complejas y generalmente las podemos encontrar en
cualquier texto.
El STORM provee la capacidad para
ejecutar un simple análisis de costo, cuyo objetivo es determinar el número de
servidores necesarios para la estación de trabajo: quizás, el número de
ascensores a instalar en un nuevo hotel o el número de puestos de peaje a
habilitar de acuerdo al personal. La decisión estará basada en un
enfrentamiento entre dos costos básicos. El costo de la provisión de servidores
adicionales versus el costo atribuido al servicio demorado o denegado.
Asumimos que los costos de servicios
demorados es una cantidad dada por clientes por unidad de tiempo consumidos en
el sistema. Mientras, por un lado, resulta usualmente fácil determinar el costo
de un servidor, el costo de hacer esperar un cliente es en cierta medida
intangible y muchas veces difícil de estimar. Basta decir claramente que el
costo de espera existe y en casos extremos puede llegar a ser completamente
significante. Estos deben ser estimados de algún modo para que un sistema de
cola sea inteligentemente designado y controlado.
Colocaremos ambos costos bajo el mismo
patrón convirtiendo los costos por unidad de tiempo. Si el costo de un servidor
todavía no está de ésta forma (como sería el salario de un cobrador adicional
de un banco), cualquier gasto extra (como el primer plazo o el pago al contado
de una torre) deberá ser analizado anualmente (para más detalle ver el capítulo
de Análisis de Inversión) y convertida a la misma unidad de tiempo que se está
usando para los costos de espera.
Si definimos:
C1 = Costo de demora por cliente por
unidad de tiempo.
C2 = Costo por unidad de tiempo de para
la provisión de cada servidor adicional.
Lq
= Número promedio en la cola.
S
= Número de servidores.
= Improductividad del
Servicio
entonces el Costo Total por unidad de
tiempo para una estación es:
y como S crece, la capacidad adicional del servicio aumentará y Lq
disminuirá. El STORM explorará estos cambios y, para los costos que
proporciona, reportará el número de servidores que minimizan el Costo Total.
Un análisis extendido es realizado para
el modelo de cola que implica una cantidad finita de sala de espera. Aquí
cambiamos el costo de servidores en contraste con el costo de negocios perdidos
para clientes despachados, mas el costo de espera para estos clientes quienes
son admitidos. Definiendo:
Cr = Costo de servicio rechazado a un
cliente.
ta = Tiempo de arribo.
pd = probabilidad de que un cliente sea
rechazado de un servicio.
el Costo Total ahora será:
El
análisis de costo es una opción importante que puede ser omitido. Si desea
conducir un estudio descriptivo de un sistema de cola sin consideración de
costos, simplemente no introduzca ningún dato de costo.
ANÁLISIS DE MODELOS DE COLA
Los
componentes del modelo de cola pueden ser combinados en varias formas para
reflejar varias y diversas situaciones que pueden encontrarse. El STORM le
proporciona la siguiente selección de modelos a escoger. Todos estos le
permiten especificar cualquier número S
de idénticas estaciones de trabajo paralelas con un límite de hasta 100
servidores en el Storm profesional y hasta 10 para la versión personal.
1.
ENTRADA POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIAL (M/M/C)*
Este probablemente sea el más simple de los sistemas de colas para analizar. El mismo toma arribos aleatorios desde una población infinita (el proceso de entrada de Poisson), sin limite de espacio en la sala de espera y con tiempos de servicio distribuidos exponencialmente.
2.
ENTRADA POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO CONSTANTES (M/D/C)*
Aún con
arribos completamente aleatorios, este modelo supone tiempos fijos de servicio,
el mismo para todos los trabajos. En el caso del servidor múltiple (S >1)
las formulas exactas no están disponibles para las medidas de interés, y el
Storm utiliza la aproximación de Molina´s para la estación de servidor único se
usan las mismas fórmulas. Para la
estación de servidor único se usan las mismas fórmulas.
3.
ENTRADAS POISSON Y TIEMPO DE SERVICIO ARBITRARIO (M/G/C)*
Otra
vez, asumiendo arribos aleatorios y longitud de cola ilimitada, suponemos que no conocemos nada de la
distribución de los tiempos de servicio más allá de su media y su desviación
estándar. Al igual que antes, sólo en el caso de un solo servidor la expresión
podremos disponer de fórmulas exactas.
Para S >1, el Storm usa las formulas de aproximación de Lee y Longton; vea Scochastic Models in
Operation Research, Volumen I, por Daniel Heyman y Matthe Sobel (McGraw Hill, 1982) para discutir al respecto.
Estas expresiones son exactas para casos especiales de M/M/c y M/G/1, y son
especialmente buenas en situaciones de trafico pesado (es decir, cuando la tasa
de arribo es casi tan grande como la tasa máxima de salida), solo las medidas
de valor media están disponibles para este modelo; las probabilidades de estado
no pueden determinarse con tan poca información.
4. ENTRADA POISSON, TIEMPO DE SERVICIO EXPONENCIAL Y LONGITUD FINITA DE
COLA (M/M/C/K)*
Ahora
asumimos que el mayor numero de clientes que pueden ingresar al sistema esta limitado por un número finito de clientes k>=S, así la capacidad
de la sala de espera es k-S. Puesto que
asumimos una población infinita de entrada, los clientes continuaran arribando
a pesar de que el sistema este lleno, a algunos clientes se les negará el
servicio y deberán regresar. Esto nos
lleva a considerar algunas características especiales en los informes de salida
de este modelo.
El
tiempo promedio tanto en cola como en el sistema, que en todos los otros
modelos sí se reporta, en éste caso no porque no están claramente definidos.
¿Qué tiempo le atribuiremos nosotros a
un cliente que nunca entra en el sistema? Por otro lado, una estadística
adicional sólo se informa para este modelo: la probabilidad del servicio
negado. Por supuesto que esta
probabilidad es cero cuando la capacidad de espera es ilimitada.
También es diferente el análisis de costo de este modelo. Como lo discutimos en la sección 5. A este análisis debemos agregarle el significativo costo de los clientes que no son simplemente demorados pero que de hecho perdemos.
5. FUENTE DE ENTRADA FINITA Y TIEMPO DE
SERVICIO EXPONENCIAL (M/M/C/K/K)*
En
lugar de una entrada Poisson, asumimos que un número fijo y finito de clientes
usan la estación de servicio. Así, la tasa a la cual se espera que los clientes
arriben es una función del número ya existente en el sistema: cuanto más de
ellos estén presentes, menos van a decidir buscar servicio.
Asumiendo
que cada cliente establece sus demandas independiente y aleatoriamente al
sistema, y que los tiempos de servicio están exponencialmente distribuidos,
todas las medidas de performance listadas en la sección 4 son informadas por el
STORM. Se entiende que la población de entrada tiene un tamaño k >= S;
de lo contrario uno se libraría del exceso de servidores.
PROBLEMAS EJEMPLOS
Para
ilustrar varios modelos disponibles, describiremos una situación en la cual las
alternativas posibles dan lugar a varios escenarios. La columna en la figura
1 muestra el editor de pantalla después
del ingreso de datos para estos escenarios. Ud. puede dar un vistazo a la adecuada
entrada mientras lee la descripción.
1. ESCENARIO 1 (M/M/C)*
Su empresa de ingeniería exacta utiliza dos grandes prensas taladradoras para mecanismos precisos. Está considerando la adición de una tercera debido a retrasos largos que se han desarrollado en esta sección. Usted cobra un alto precio por este tipo de trabajo y sus clientes empiezan a mostrarse impacientes. El trabajo varía mucho en tiempo de procesamiento, (¿podría esto ser parte del problema?), y una distribución exponencial con el valor medio de dos horas encaja bien.
Usted recibe los pedidos para
este tipo de trabajo a una proporción
media de 38 por semana. Sus empleados trabajan 8 horas al día, 5 horas
por semana. Una nueva prensa taladradora le costará $ 1.500.000 y tendrá un recupero estimado de $ 200.000 después de 20 años. Siendo la tasa de
interés de un 15% anual, lo cual da un valor equivalente de aproximadamente $ -238.000, o un costo de $ 4.600 por semana. Ahora, la
pregunta difícil de responder
es ¿Cuál es el costo de retrasar los
pedidos?
Usted
supone que los costos directos de manipular las quejas y entregas, sean mucho menos significativos que la
posibilidad de perder un negocio por la competencia. Algunos clientes han
considerado esta posibilidad y unos pocos la han llevado a cabo. Puesto que la
demanda de su servicio especializado no es general, cada pérdida es muy
costosa. Finalmente, después de estimar mejor el costo de un cliente perdido y
el chance de que esto pase en función del tiempo de espera, a usted le surge un retraso global de $
1.000 por cliente a la semana.
2. ESCENARIO 2 (M/G/C)*
Usted se pregunta ¿Cuánto de la dificultad que usted está experimentando en hacer las entregas a tiempo, se debe al tiempo de servicio muy imprevisible? Usted decide ver lo que pasaría si reduce la desviación estándar de estos tiempos. Si de esto obtiene resultados eficientes, podría valer la pena trabajar en esta dirección. Un mejor mantenimiento o mayor capacitación a los operadores podría ayudar a reducir la variación en los tiempos de procesamiento. Para comenzar, trataremos de reducir a la mitad la desviación normal actual, que es igual al valor inferior (dos horas) para la distribución exponencial.
3. ESCENARIO 3 (M/M/C/K)*
Si
usted tuviera que limitar el número de trabajos que acepta, podría ganar una
mejor reputación en puntualidad y responsabilidad sin tener que rechazar
demasiados pedidos. Usted decide probar varios valores superiores al estado
limite en el sistema y ver que efecto causa esto. Comenzará con un número
máximo de 12 trabajos en el sistema. Partiendo de que la ganancia promedio por
trabajo producido es de $5.000 que es el
costo de rechazar una orden.
4. ESCENARIO 4 (M/M/C/K/K)*
Usted advierte que toda su empresa realmente vive sólo de 200 clientes, y ninguno de ellos hace otro pedido hasta que usted entrega el trabajo pendiente que tiene para ellos.
Acortando
el tiempo del repunte podrían agilizar las órdenes más frecuentes. Su primer
análisis, considerando que la población efectivamente infinita no te permite
aceptar esto. ¿Podría un análisis más cuidadoso cambiar sus conclusiones?
En promedio, cada cliente hace un
pedido cada cinco semanas, o 0,2 ordenes por semanas.
INGRESO DE DATOS UTILIZANDO EL STORM
La figura 1 muestra como aparece el editor de pantalla después de ingresar cuatro problemas. Discutiremos brevemente cada fila.
1. NÚMERO DE SERVIDORES(#SERVERS)
En
todos los casos, simplemente ingrese en el valor de S el número de estaciones de trabajo. En su escenario, S = 2.
2. POBLACIÓN FUENTE (SOURCE POP)
Escriba
la letra I o F, dependiendo si el tamaño de la población de entrada es Infinito (por defecto INF) o Finito,
respectivamente.
3. TASA DE ARRIBO (ARR RATE)
Para una población infinita debe ingresar el número promedio de clientes por unidad de tiempo en la que usted espera que arriben. En cambio, para una fuente de entrada finita, ingrese el número promedio de demandas en el sistema que se espera que haga cada cliente por unidad de tiempo. Asegúrese de usar una medida de tiempo consistente.
+----------------- STORM EDITOR :
Queueing Analysis Module ----------+
¦ Title : Problema de la Presa de Taladro ¦
¦ Number of independent queueing
problems : 4 ¦
---------------------------------------------------------------------+
¦ R11 : C4 ESCENAR.
1 ESCENAR. 2 ESCENAR. 3 ESCENAR. 4 ¦
¦ # SERVERS 2 2 2 2 ¦
¦ SOURCE POP INF INF INF FIN
¦
¦ ARR RATE 38.
38. 38. 0.2 ¦
¦ SERV DIST EXP GEN EXP EXP ¦
¦ SERV TIME 0.05 0.05 0.05 0.05 ¦
¦ SERV STD .
0.025 . . ¦
¦ WAIT CAP .
. 10 . ¦
¦ # CUSTMERS . . .
200 ¦
¦ WAIT COST 1000. 1000. 1000. 1000. ¦
¦ COST/SERV 4600. 4600. 4600. 4600. ¦
¦ LOSTCUST C . . 5000. . ¦
---+¦ Á Enter the number of servers à
F1 Bloc F2 GoTo F3 InsR F4 DelR F5
InsC F6 DelC F7 Done F8 Help
KB:N
4. DISTRIBUCIÓN DEL TIEMPO DE SERVICIO (SERV DIST)
Escriba aquí lo que eligió entre las 3
opciones que tenía disponibles:
E para tiempos de servicios de distribución Exponencial o Markoviana.
D para tiempos de servicios Determinísticos o Constantes.
G para tiempos de servicios General o Arbitrarios. En este caso al ser
la media 0.5 se ingresa la mitad del valor de la tasa de arribo.
La entrada por defecto es EXP.
5. TIEMPO MEDIO DE SERVICIO (SERV TIME)
Ingrese el tiempo medio de servicio. En
los problemas de ejemplo, ya que 40 horas semana, es nuestra unidad de tiempo,
el tiempo medio de servicio de 2 horas se convierte a 0,05 semanas.
En el caso particular en que el
servidor atienda mas de un cliente a la vez, se produce lo que denomina efecto
BULK SERVER. El mismo se denota con la letra K, que representa la cantidad de
clientes que son atendidos a la vez por un servidor. El Storm no contempla esta
posibilidad, esto se soluciona de la siguiente manera:
Siendo 1/m el tiempo de
servicio que usted ingresa generalmente, el nuevo valor que se debe ingresar es
1/m * K
6. DESVIACIÓN ESTÁNDAR DEL TIEMPO DE SERVICIO (SERV STD)
Este ingreso solo debe ser hecho si se
eligió la distribución General de tiempo de servicio. Para tiempos de servicio
exponencial o constante, el valor apropiado será automáticamente usado (igual
al tiempo medio de servicio o a 0 (cero), respectivamente). De todas maneras,
no se permitirá la entrada si se eligió EXP o DET de la fila SERV DIST. Usted
podría tipear "G" arriba, dándole entrada a un nuevo valor a este campo,
y luego regresar y cambiar GEN a EXP o DET, pero estos cambios serán ignorados.
Note que en el "Escenario 2" la desviación estándar
ingresada es la mitad del valor medio.
7. CAPACIDAD DE LA SALA DE ESPERA (WAIT CAP)
Ingrese aquí la cantidad de salas de
espera provistas, o la máxima longitud de cola, si ésta es limitada. De otra
manera, la entrada por defecto "." denota una capacidad infinita de
la sala de espera. Nótese que si ha ingresado un número, éste no debe incluir
el cliente que está siendo atendido. En términos de la notación presentada con
anterioridad, usted debe ingresar k-S.
8. NÚMERO DE CLIENTE (#CUSTOMERS)
Esta es la fila en la que se indica el
tamaño de la población de entrada finita. Use el punto (configurado por
defecto) para un número infinito de clientes.
9.COSTOS DE ESPERA (WAIT COST)
Aquí usted debe ingresar el costo por
unidad de tiempo que le significará hacer esperar a un cliente, donde el tiempo
de espera se mide desde el preciso momento en que entra el pedido hasta que el
trabajo está finalizado. Si este costo se omite, dejando el “.” por defecto, y
se ingresa un costo por servidor, inmediatamente se ejecutará un análisis de
costo, asumiendo que el costo de espera es cero.
10. COSTO DE SERVIDOR (COST/SERV)
La cantidad a ingresar en este caso es
el costo por unidad de tiempo que usted le asigna al hecho de agregar un
servidor más. Si usted no ingresa ningún dato aquí no se desarrollará ningún
análisis de costo sobre ese escenario.
11. COSTO DE UN SERVICIO DENEGADO (LOSTCUST C)
Si la capacidad e la sala de espera es
finita, usted deberá ingresar en esta fila, el costo que significa un cliente
que no encuentra lugar para esperar y se retira: el costo de un cliente
perdido. En escenarios donde la longitud de la cola es ilimitada no habrá nunca
pérdida de clientes, por consiguiente este costo es irrelevante y cualquier
dato que ingrese será ignorado.
EJECUCIÓN DEL MÓDULO
Cuando se procede a ejecutar el módulo,
aparecerá la lista de todas las instalaciones de servicios (por ejemplo
escenarios) que se han ingresado. Usted puede querer dar un vistazo a uno o
varios de los escenarios seleccionados, en cuyo caso debe indicar su elección
marcándolas con asteriscos. Si usted quiere obtener el reporte de salida para
todas las alternativas desplegadas en secuencia, usted puede seleccionarlas
todas simultáneamente con la tecla F1 o F3 o si se desea seleccionar solamente
1 , con las flechas se posiciona en la cola
que desea ver y presiona la barra espaciadora la tecla F2 omite la
operación realizada por la tecla F1 o F3. Para ver el reporte se presiona la
tecla F7.
Habiendo seleccionado los escenarios a
ser analizados, se le preguntará si desea ver un histograma de las
probabilidades de estado (show
probability distribution of number system). Ya que esto puede llevar tiempo
en procesarse y brindar información más detallada de la que usted realmente
necesita, se le da la opción de saltearlo.
Después de esto, las soluciones para
cada problema de cola seleccionado serán presentadas como sigue. Ilustremos con
el Escenario1, la cola M/M/2.
1. RESUMEN DE ESTADÍSTICAS
El primer reporte de salida para
cualquier problema de cola se parecerá a la Figura 2.
Después de hacer el resumen de los
parámetros de entrada sobre los cuales se basa el análisis, se darán varias
estadísticas que describen como está funcionando la cola. De este modo, para el
escenario 1, se puede confirmar inmediatamente que las prensas taladradoras
están sobrecargadas: están siendo usadas el 95% del tiempo.
La longitud de cola no parece tan
excesiva: un trabajo que recién arriba puede calcular toparse con alrededor de
17,5 trabajos esperando delante de él, o 19,5 incluyendo los trabajos siendo
atendidos. Por supuesto, la mayoría de los trabajos (92,56%) experimentará
algún retraso antes de ser atendido, pero esto sólo lleva alrededor de media
semana (0,5128 semanas) en promedio desde el arribo a la salida.
ESCENAR. 1 : M / M / C *
Q U E U E S T A T I S T I C S
Number of
identical servers . . . . . . . . .
2
Mean arrival
rate . . . . . . . . . . . . . .
38.0000
Mean service
rate per server . . . . . . . . 20.0000
Mean server
utilization (%) . . . . . . . . .
95.0000
Expected number
of customers in queue . . . .
17.5872
Expected number
of customers in system . . . 19.4872
Probability
that a customer must wait . . . .
0.9256
Expected time
in the queue . . . . . . . . . 0.4628
Expected time
in the system . . . . . . . . . 0.5128
2.
ANÁLISIS DE COSTO
El siguiente reporte mostrado en la
figura 3, presenta un análisis de costo del sistema de servicio. El costo total
por unidad de tiempo es calculado y
sumado con el número dado de los servidores que minimizan los costos.
Usted puede sorprenderse que aunque el promedio de demora que experimentan sus
clientes no parezca significativo, aparecerá indicado una prensa taladradora
adicional.
ESCENAR. 1 : M
/ M / C *
COST ANALYSIS PER UNIT TIME
Current
System Optimal System *
Number of servers |
2 | 3
Cost per server |
4600.0000
|4600.0000
Cost of service | 9200.0000|
13800.0000
Mean number in system | 19.4872 | 2.5884 Waiting cost/customer | 1000.0000 |1000.0000
Cost of waiting | 19487.1900| 2588.4000
---------- ----------
TOTAL COST 28687.1900 16388.4000
* Optimization is over number of servers
Figura
3: Análisis de costo
para un problema de colas.
3. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DEL NÚMERO EN EL SISTEMA.
Si
cuando aparece la pregunta: “Show
probability distribution of number in system?” (¿Muestre distribución de probabilidad del número en
sistema?) Usted ingresa “si” se le presentará la salida final, la cual aparece
en la pantalla anterior. La figura 4 muestra como se ve la primera parte de
está salida para el Escenario 1 (la representación entera se extiende a lo
largo de tres pantallas).
El gráfico es diseñado de la siguiente
manera. Cada fila representa un cierto número de clientes quienes pueden estar
en el sistema en un tiempo arbitrario. Esto a menudo se llama el estado del
sistema. Hay una fila por cada estado que tiene una oportunidad significativa
de ocurrir, a lo que identificamos como una probabilidad de 0.005 o más. Por
cada número semejante la probabilidad de ocurrencia (o, si prefiere, la
fracción de tiempo en que el sistema está en este estado) está dada, seguido
por una representación gráfica de la misma probabilidad. Un gráfico de barra o
histograma es formado usando asterisco por cada 0.02 unidades de probabilidad. La última fracción más allá
de un múltiplo de 0.02 está dada por un
asterisco si éste está entre 0.01 y 0.02 y por un signo de suma si está entre 0
y 0.01. La tabla 1 ilustra esto.
Probability Representation
0 - 0.01 +
0.01
- 0.02 *
0.02
- 0.03 *+
0.03
- 0.04 **
0.04
- 0.05 **+
… …
Tabla 1: EL código usado en
los histogramas de probabilidad.
Cuando la probabilidad para cada estado
separado cae por debajo de 0.05, el gráfico termina con un mensaje en la última
fila OVER dando el total de las probabilidades después de este punto. A veces
este gráfico no comienza en el estado cero, en cuyo caso primero aparecerá la leyenda UNDER en la fila.
ESCENAR. 1 : M / M / C *
PROBABILITY
DISTRIBUTION OF NUMBER IN SYSTEM
Number
Prob 0 0.1 0.2 0.3
0.4 0.5 0.6
0.7 0.8 0.9
1
+----+----+----+----+----+----+----+----+----+---+
0 0.0256|*+
|
1 0.0487|**+- |
2 0.0463|**+--- |
3 0.0440|**+----- |
4 0.0418|**+------- |
5 0.0397|**---------- |
6 0.0377|**------------ |
7 0.0358|**-------------- |
8 0.0340|**---------------- |
9
0.0323|**----------------- |
10 0.0307|**------------------- |
11
0.0292|*+-------------------- |
12
0.0277|*+---------------------- |
13
0.0263|*+----------------------- |
14 0.0250|*+------------------------ |
15
0.0238|*+------------------------- |
16
0.0226|*+--------------------------- |
17
0.0214|*+---------------------------- |
18 0.0204|*+----------------------------- |
Se extiende una fila de guiones a la
derecha de cada fila de asteriscos. Esto muestra la distribución acumulativa:
la probabilidad que la línea de espera sea encontrada en cualquier estado menor
o igual a este. Cada guión denota 0.02 de probabilidades.
La Máxima Probabilidad de Estado del
Sistema representa la cantidad máxima de clientes que puede tener el Sistema
(esto es, tanto siendo atendidos con esperando)
Por el escenario 1 mucho se explica
ahora. El histograma completo (no mostrado) se extiende a 45 clientes y la fila
OVER muestra que hay casi un 10 % de probabilidad de tener estados aún más
largos que este. En este caso, la Máxima Probabilidad de Estado es de 45
clientes, es decir que hay 44 clientes esperando en cola y uno está siendo
atendido. Así, mientras el número promedio en el sistema es bastante bajo, la
variación en el tiempo es extrema, y las demoras de varias semanas no están
fuera de lo común (40 trabajos antes que el suyo significa un promedio de dos
semanas de demora y a veces incluso de más).
Usted podrá confirmar este diagnóstico
observando la distribución de probabilidades si se le agrega una tercera prensa
taladradora. Como muestra la figura 5, las largas líneas de espera han sido
eliminadas. La Máxima Probabilidad de Estado a disminuido de 45 a 10 clientes.
A propósito, para modificar y volver a correr el problema usando STORM solo se
requiere que presione Esc y Enter para volver al editor de pantalla, hacer los
cambios correspondientes y luego presionar F7 y Enter para volver a la lista de
candidatos.
ESCENAR. 1 : M / M / C *
PROBABILITY DISTRIBUTION OF NUMBER IN SYSTEM
Number
Prob 0 0.1 0.2 0.3
0.4 0.5 0.6
0.7 0.8 0.9
1
+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+
0
0.1278|******+ |
1
0.2429|************+------ |
2
0.2307|************------------------ |
3
0.1461|*******+----------------------------- |
4
0.0926|*****------------------------------------- |
5
0.0586|***------------------------------------------ |
6
0.0371|**--------------------------------------------- |
7
0.0235|*+---------------------------------------------- |
8
0.0149|*------------------------------------------------|
9
0.0094|+------------------------------------------------|
10
0.0060|+------------------------------------------------|
OVER
0.0104|*------------------------------------------------|
+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+
CARACTERÍSTICAS
ESPECIALES DE CIERTOS MODELOS
Para la mayoría de los casos los
reportes de salida para cada tipo de modelo de colas son los mismos. Por
consiguiente, no nos detendremos en una discusión detallada de cada uno de los
escenarios. En su lugar, en esta sección indicaremos las diferencias generales
entre los modelos y en la sección siguiente comentaremos brevemente cómo los
reporte pueden ser interpretados para aportar claridad sobre nuestros problemas
ejemplo.
1. LAS COLAS M/D/C * Y M/G/C *
Para éstos modelos los resúmenes de
estadísticas reportados son los mismos que los que aparecen en la Fig. 2 y el
análisis de costo es como el de la Figura 3. Sin embargo a usted no se le da la
posibilidad de recibir un tercer tipo de salida ya que las fórmulas no están
disponibles para una completa distribución de probabilidad. Si de los tiempos
de servicio solo conocemos su promedio y desviación estándar, no contamos con
información suficiente para establecer más que medidas promedio de ejecución.
2. LA COLA M/M/C/K *
Existen diversas características
especiales de este modelo debido a la posibilidad de negar el servicio a un
cliente y perder de este modo un pedido. Primero, en el resumen de estadística,
los tiempos estimado no aparecen porque el tiempo en el sistema para un cliente
perdido no está bien definido. En su lugar, lo que se reporta es la
probabilidad de servicio negado. Esto es la fracción de los clientes que
arriban y que se pierden.
El análisis de costos mostrado en la
figura 6 para el Escenario 3 muestra el costo adicional que está incluido en
este modelo. Como ya lo hemos discutido en la sección 5.
DISCUSIÓN DE LOS PROBLEMAS EJEMPLO
Para aquellos que pudieran estar
interesados en como surge todo, y que quieran demostrar como usar el módulo
Storm eficientemente concluimos con algunas notas sobre los escenarios ejemplo.
1. ESCENARIO 1
Hemos visto como el análisis inicial
indicaba que se debía adquirir una máquina adicional y porqué. Podrían haberle
quedado algunas dudas con respecto a la sensatez de esta conclusión con los
números utilizados. Primero el costo de espera se asumió en $1.000 por cliente
por semana, pero, ¿Qué se hace si esto no fuera tan exacto? Solo debe volver al
editor de pantalla, ingresar un valor diferente y resolver nuevamente el
problema. Esto se hace rápidamente. Usted encontrará, aún en el caso que
redujera el costo a $500 que la recomendación sería la misma: compre otra
prensa taladradora.
Supongamos que la tasa de arribo decae.
El hecho de cambiar los valores de 38 a 36 pedidos por semana, resultará en
cambios dramáticos. Mientras la utilización se mantiene bastante alta, la
longitud promedio de cola baja de 17.6 a 7.7 trabajos, y el tiempo promedio en
el sistema se reduce a la mitad. Aún así se considera necesario la compra de
una tercera máquina. Solo si los arribos semanales cayeran a 34, solo dos
maquinarias justificarían el costo.
Así, existe considerablemente mayor
sensibilidad hacia las tasas de arribo que hasta los costos de espera, pero la
recomendación de agregar una máquina se mantiene bajo un amplio rango de
condiciones.
ESCENAR. 3 : M
/ M / C / K *
COST ANALYSIS PER UNIT TIME
Current System Optimal System *
Number of
servers | 2 | 3 |
Cost per
server | 4600.0000
|4600.0000 |
Cost of
service | 9200.0000 | 13800.0000|
Mean number in
system | 5.5735 |
2.5539 |
Waiting
cost/customer | 1000.0000 |1000.0000 |
Cost of
waiting | 5573.5100| 2553.8800|
Prob of service
denial| 0.0585 |1.5213E-03 |
Arrival
rate | 38.0000 | 38.0000 |
Cost per lost
customer| 5000.0000 |5000.0000 |
Cost of lost
customers| 11119.5300| 289.0500
---------- ----------
TOTAL COST 25893.0400 16642.9300
*Optimization is over number of servers
Figura
6: Análisis de costo
para una sala de espera limitada.
2. ESCENARIO 2
En este caso, usted trata con los
efectos de cambiar la variabilidad de los tiempos de trabajo. Reduciendo la
desviación estándar de 0.05 a 0.025, la longitud promedio de cola cae de 17.6 a
11.0. Aún si reducimos la varianza a 0 (cero), una meta inalcanzable, la
longitud de cola sólo cae a 8.8. A lo largo de todo el proceso la conclusión
sigue siendo la misma: tres prensas taladradoras son mejores que dos. De este
modo la variación del tiempo de procesamiento no es un factor significativo.
3. ESCENARIO 3
Usted desea investigar la estrategia de
limitar el número de pedidos que acepta en cualquier momento. Si la política
actual de jamás rechazar un trabajo (Escenario 1) es reemplazada por una
longitud máxima de cola de 10 pedidos el número promedio en el sistema va de
19.5 a 5.6 aunque el porcentaje de clientes que se retira es solo alrededor del
6%. Estos números pueden encontrarse en la Figura 6. La Figura 7 muestra la
distribución de probabilidad donde puede ver cómo el truncamiento de la cola
produce que le gráfico se corte abruptamente en el estado máximo (12).
ESCENAR. 3 : M / M / C / K *
PROBABILITY
DISTRIBUTION OF NUMBER IN SYSTEM
Number
Prob 0 0.1 0.2 0.3
0.4 0.5 0.6
0.7 0.8 0.9
1
+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+
0 0.0542|*** |
1 0.1029|*****+-- |
2 0.0977|*****-------- |
3 0.0929|*****------------ |
4 0.0882|****+----------------- |
5 0.0838|****+--------------------- |
6 0.0796|****-------------------------- |
7 0.0756|****------------------------------ |
8
0.0719|****--------------------------------- |
9
0.0683|***+------------------------------------- |
10
0.0648|***+---------------------------------------- |
11 0.0616|***+------------------------------------------- |
12
0.0585|***----------------------------------------------|
+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+
con longitud de cola limitada.
Permitiendo más de 20 trabajos en
espera, solo perderá el 2% de los pedidos, y el estado promedio del sistema
todavía es de solo 9.1 trabajos. Así, pareciera posible reducir
significativamente el tráfico sin perder demasiados pedidos.
A lo largo de todo esto, las
consideraciones económicas continúan favoreciendo la idea de una tercer
máquina. A usted le queda una última preocupación, cuán real es el análisis de
un estimado de $ 5000 asignado al costo de la pérdida de un pedido. Otra rápida
serie de corridas demuestran que con una sala de espera para 10 trabajos esta
figura de costo puede oscilar, desde $ 1000 a $ 7000 sin cambiar el número de
tres servidores. Si este número se incrementa a $ 8000 se deberá agregar
incluso otro servidor.
Autores:
WEHBE, Isabel
Leticia
E-mail: johweb@mail.com
U.T.N. – F.R.T.