MODELO CON SERVIDORES MÚLTIPLES

 

INTRODUCCIÓN

 

En muchas situaciones reales habrá mas de un servidor disponible para atender las llegadas.  El interés principal es la búsqueda del número de estaciones que permiten asegurar el servicio con el mínimo costo, imponiéndose ciertas restricciones bajo la forma de probabilidades que hay que sobrepasar o no.

Esto es típico de los supermercados y los bancos.  En estos ejemplos, existen líneas separadas para cada servidor formando un sistema de líneas múltiples y servidores múltiples (multicola – multicanal).

Si hay intercambio (clientes), el sistema puede analizarse como un grupo de sistemas de un servidor y una cola (monocola – monocanal).  Sin intercambio entre líneas, la descomposición no funcionara.  Para esta situación no se tiene una solución general.  Para ello se tendría que utilizar simulación.

Existe una solución general para un sistema de múltiples servidores que tiene una sola línea (monocola – multicanal).  Puede ocurrir, por ejemplo en una pastelería en que los clientes toman un número al entrar, en un departamento de reproducción que cuenta con varias copiadoras o en una peluquería.

Estudiaremos situaciones de espera en las cuales se efectúan llegadas y salidas (que son atendidas) en forma simultánea.  Limitamos nuestra atención a las líneas de espera donde los clientes son atendidos por S servidores en paralelo de manera que se pueda dar servicio a n clientes al mismo tiempo.  Todos los servidores ofrecen servicios iguales desde el punto de vista del tiempo que se requiere para atender a cada cliente.  A tales estructuras se les conoce como sistema de colas de canal múltiple.  En dichos sistemas, los servidores pueden ser idénticos, en el sentido de que proporcionan la misma clase con igual rapidez.

Los bancos y los supermercados, son buenos ejemplos de lo anterior.  Cada ventanilla y cada caja registradora son estaciones que proporcionan el mismo servicio.  Por ejemplo si todos los cajeros de un banco tienen la misma experiencia, pueden considerarse como idénticos.

 

CARACTERÍSTICAS DE UN SISTEMA DE COLAS

 

EL PROCESO DE LLEGADA

 

El proceso de llegada es la forma en que los clientes llegan a solicitar un servicio.  Lo más importante en este proceso es el tiempo entre llegadas, que es la cantidad de tiempo entre dos llegadas sucesivas.  Esto es importante porque mientras menor sea el intervalo de tiempo, implica que con más frecuencia llegan los clientes, lo cual hará que aumente la demanda de servidores.

Existen dos clases básicas de tiempo entre llegadas:

1.  Determinístico: en cual clientes sucesivos llegan en un mismo intervalo de tiempo, fijo y conocido.

2.  Probabilístico: en el cual el tiempo entre llegadas sucesivas es incierto y variable.  Los tiempos entre llegadas probabilísticos se describen mediante una distribución de probabilidad.

 

EL PROCESO DE COLAS Y PROCESO DE SERVICIO

 

El proceso de colas tiene que ver con la forma en que los clientes esperan para ser atendidos y el proceso de servicio define como son atendidos los clientes.

 

Monocola – Multicanal (en paralelo)

 

·                 Una fuente a partir de la cual fluyen los clientes.

·                 Una sola línea de espera o cola.

·                 Dos o más canales en paralelo constituyen el centro de servicio.

·                 Es la estructura más racional porque potencializa o concentra la capacidad de despacho del centro.

·                 Solo habrá canales desocupados cuando no haya cola.

·                 Responde al modelo “retire su número al ingresar”

·                 Asegura el proceso FIFO (first in, first out)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Multicola – Multicanal (independientes, con elección de cola)

 

·                 Una fuente a partir de la cual fluyen los clientes.

·                 Líneas independientes con opción a elección y cambio de cola.

·                 Canales independientes constituyen el centro de servicio.

·                 El cliente elige la cola entre los distintos servidores.

·                 Es menos eficiente que el anterior.

·                 Se compone de varios subsistemas monocola – monocanal.

·                 No asegura el proceso fifo.

·                 Son necesarios más servidores en caso de querer dar idéntico servicio al de monocola – multicanal.

·                 Cuando el cliente no pueda elegir en que fila insertarse, el sistema será ineficiente y por momentos inviables (canal elige a cliente)

·                 Tiene mayores tiempos de espera en la cola y en el sistema.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


MEDIDAS DE RENDIMIENTO PARA EVALUAR UN SISTEMA DE COLAS

 

Cualquier sistema de colas pasa por dos fases básicas.  Por ejemplo, considere la cantidad de tiempo que los clientes tienen que esperar en un banco durante el curso de un día. Cuando el banco abre en la mañana, no hay nadie en el sistema de modo que el primer cliente es atendido de manera inmediata.  Conforme van llegado más clientes, lentamente se va formando la cola y la cantidad de tiempo que tienen que esperar empieza a aumentar.  A medida que avanza el día, el sistema llega a una condición en la que el efecto de la falta inicial de clientes ha sido eliminado y el tiempo de espera de cada cliente ha alcanzado un nivel bastante estable.  La fase inicial, que conserva los efectos de las condiciones iniciales, se conoce como fase transitoria.  Las condiciones transitorias prevalecen cuando el comportamiento del sistema sigue dependiendo del tiempo.  Después de que los efectos de las condiciones iniciales son eliminados, el sistema entra en un estado estable.

Nuestro estudio se concentrará en el análisis de resultados de estado estable.  Esta conclusión está basada en la suposición de que la mayoría de los sistemas están diseñados normalmente para mantenerse en operación por largo tiempo (permanente).  Sin embargo, debemos agregar también que el análisis de estado transitorio es muy complejo en términos matemáticos y cualquier incursión en esa área nos llevará muy lejos.

Cuadro de texto: Para que un sistema (M/M/S):(FIFO/¥/¥) alcance una condición de estado estable, la tasa total promedio de servicio, s*m, debe ser estrictamente mayor que la tasa promedio de llegadas, l. Si éste no fuera el caso, la cola del sistema continuaría creciendo debido a que, en promedio y por unidad de tiempo, llegarían más clientes que los que pueden ser atendidos.
 

 

 

 

 

 

 

 


Las características para analizar un sistema de colas (M/M/S):(FIFO/¥/¥):

 

1.      Una población de clientes infinita.

2.      Un proceso de llegada en el que los clientes se presentan de acuerdo a un proceso de Poisson con una tasa promedio de l clientes por unidad de tiempo.

3.      Un proceso de colas que consiste en una sola fila de espera de capacidad infinita, con una disciplina de colas de primero en entrar, primero en salir (FIFO, First Input First Output).

4.      Un proceso de servicio que consiste en S servidores idénticos, cada uno de los cuales atiende a los clientes de acuerdo con una distribución exponencial, con una cantidad promedio, m de clientes por unidad de tiempo.

 

En condiciones de estado estable nos interesará determinar las siguientes medidas básicas de rendimiento:

 

S (canales): número de estaciones de atención o despacho que componen el centro de servicio del sistema.

m = número promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo en una estación. También recibe el nombre de velocidad de despacho.

l = número promedio de llegadas por unidad de tiempo. También recibe el nombre de velocidad de arribo.

k = Bulk Service, número de clientes atendidos simultáneamente por cada canal

Y = Factor de Uso. Es el cociente entre el factor de trafico y el producto del “número de estaciones” por el “Bulk service”. Para sistemas donde los tiempos de arribo y los tiempos de servicios son determínisticos toma el valor 1, en caso contrario toma un valor inferior a la unidad.

Y =  =   

 

Orientativamente un buen número es    0.75 < Y < 0.9


Para r ³ 1, no existe estado estable.  Para r < 1 las siguientes fórmulas:

 

Fórmulas para calcular las medidas de rendimiento de un sistema MonoCola Multicanal (M/M/S):(FIFO/¥/¥)

 

Medida de Rendimiento

 

Fórmula General

 

Probabilidad de que no haya clientes en el sistema

 

Número esperado de clientes en la cola (n ³ s)

 

Tiempo esperado en cola por cada cliente (n ³ s)

 

Tiempo promedio de espera en el sistema

 

Número promedio en el sistema

 

Probabilidad de que n clientes se encuentren en el sistema

 

Probabilidad de que haya n clientes en el sistema (n £ s)

 

Probabilidad de que haya n clientes en el sistema (n ³ s)

 

Tiempo de servicio por cliente

 

Intensidad o Factor de tráfico

=

 

Factor de Uso

 

 

 

 

 

 


 

Fórmulas para calcular las medidas de rendimiento de un sistema Multicola Multicanal (M/M/S):(FIFO/¥/¥)

 

Medida de Rendimiento

 

Fórmula General

 

Intensidad o Factor de tráfico

 

Número esperado de clientes en la cola (n ³ s)

 

Tiempo esperado en cola por cada cliente (n ³ s)

 

Tiempo promedio de espera en el sistema

 

Número promedio en el sistema

 

Probabilidad de que n clientes se encuentren en el sistema

 

Probabilidad de que haya n clientes en el sistema (n £ s)

 

Probabilidad de que haya n clientes en el sistema (n ³ s)

 

Tiempo de servicio por cliente

 

Probabilidad de que no haya clientes en el sistema

 

 

 


EJEMPLOS DE MONOCOLA – MONOCANAL Y MONOCOLA – MULTICANAL

 

Caso 1

 

En Rosario de la Frontera departamento perteneciente a la provincia de Salta tiene una estación para pesado de camiones para verificar que el peso de los vehículos cumple con las regulaciones preestablecidas.  Esta estación se muestra en la siguiente figura.  La administración desea analizar y entender el desempeño del sistema actual durante las horas pico, cuando llega a la báscula el mayor número de camiones suponiendo que el sistema puede desempeñarse bien durante este período, el servicio en cualquier otro momento será aún mejor.

El gerente de operaciones cumple con las condiciones presentadas de monocola – monocanal.  Su siguiente paso es estimar las tasas promedio de llegada y de servicio en dicha estación.  De los datos disponibles suponga que la gerencia determina que los valores son:

 

 

El valor de , es mayor que el de ,de modo que se puede llevar a cabo un análisis de estado estable para este sistema.


CÁLCULO DE LAS MEDIDAS DE RENDIMIENTO

 


Los investigadores han derivado formulas para calcular las diferentes medidas de rendimiento de un sistema de colas M/M/1, en términos de los parámetros m y l.  Estas formulas, de nueva cuenta, se expresan en términos de r, que es el cociente de l sobre m.  Para nuestro problema:

 

 

  1. Probabilidad de que ningún cliente esté en el sistema (P0):

 

Este valor indica que aproximadamente 9% del tiempo un camión que llega no tiene que esperar a que se le proporcione el servicio porque la estación de pesado está vacía.  Dicho de otra manera, aproximadamente 91% del tiempo un camión que llega tiene que esperar.

 

  1. Número esperado de camiones en la fila (Lq):

Dicho con palabras, en promedio, la estación de pesado puede esperar tener aproximadamente nueve camiones esperando a ser atendidos (sin incluir al que ya está en la báscula)

 

  1. Tiempo esperado de camiones en la cola (Wq):

 

 

Este valor indica que en promedio, un camión tiene que esperar 0.1515 horas, aproximadamente 9 minutos, en la fila antes de que empiece el proceso de pesado.

 

 

 

 

  1. Tiempo promedio de espera en el sistema (Ws):

 

Este valor indica que en promedio, un camión tiene que esperar 0.1666 horas, aproximadamente 10 minutos, desde que llega hasta que sale de la estación.

 

  1. Número promedio en el sistema (Ls):

Este valor indica que, en promedio, existe un total de 10 camiones esperando en la estación, ya sea en la báscula o en espera de ser atendidos.

 

  1. Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar:

 

Este valor indica que aproximadamente 91% de las veces un camión que llega tiene que esperar.

 

  1. Probabilidad de que haya n clientes en el sistema (Pn):

 

Al utilizar esta fórmula se obtienen las siguientes probabilidades:

 

 

n

 

 

Pn

 

0

0.0909

1

0.0826

2

3

.

.

.

0.0751

0.0683

.

.

.

 

 

Esta tabla proporciona la distribución de probabilidad para el número de camiones que hay en el sistema.  Los números que aparecen en la tabla se pueden utilizar para responder preguntas como: ¿cuál es la probabilidad de que no haya más de tres camiones en el sistema?  En este caso, la respuesta de 0.3169 se obtiene mediante la suma de las primeras cuatro probabilidades de la tabla, para n = 0, 1, 2, 3.

 

8.      Utilización (U):

 

 

 

     Este valor indica que aproximadamente 91% del tiempo las instalaciones de pesado están en uso (un camión está siendo pesado).  De manera equivalente aproximadamente 9% del tiempo la estación está sin funcionar, sin que haya camiones que estén pesando

 

Caso 2

 

Este sistema es distinto del anterior porque nos permite tener s servidores en lugar de uno.

En la propuesta anterior se podría construir una segunda báscula en la estación de pesado, como se muestra en la siguiente figura.  Esta propuesta tiene como resultado un sistema monocola – monocanal, es decir con dos servidores, dos básculas, y la siguiente estimación de llegada:

 

El valor de , es mayor que el de ,de modo que se puede llevar a cabo un análisis de estado estable para este sistema.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



CÁLCULO DE LAS MEDIDAS DE RENDIMIENTO

 

Los investigadores han derivado formulas para calcular las diferentes medidas de rendimiento de un sistema de colas M/M/s, en términos de los parámetros m y l.  Estas formulas, de nueva cuenta, se expresan en términos de r, que es el cociente de l sobre m.  Para nuestro problema:

 

 

 

1.       Probabilidad de que ningún cliente esté en el sistema (P0):

 

 

Este valor de p0 indica que aproximadamente 7% del tiempo, la estación de pesado está vacía.

 

2.       Número esperado de camiones en la fila (Lq):

 

 

Dicho con palabras, en promedio, la estación de pesado puede esperar tener aproximadamente seis camiones esperando a ser atendidos (sin incluir al que ya está en la báscula)

 

3.       Tiempo esperado de camiones en la cola (Wq):

 

Este valor indica que en promedio, un camión tiene que esperar 0.0817 horas, aproximadamente 5 minutos, en la fila antes de indicar el proceso de pesado.

 

4.       Tiempo promedio de espera en el sistema (Ws):

 

Este valor indica que en promedio, un camión tiene que esperar 0.10667 horas, aproximadamente 7 minutos, desde que llega hasta que sale de la estación.

 

5.       Número promedio en el sistema (L):

 

Este valor indica que, en promedio, se tiene entre siete y ocho camiones esperando en la estación, ya sea en la báscula o en espera de ser atendidos.

 

6.       Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar (Pn):

Este valor indica que aproximadamente 82% de las veces un camión que llega tiene que esperar o, de manera equivalente, aproximadamente 18% de las veces un camión que llega es pesado sin que tenga que esperar.

 

7.       Probabilidad de que haya n clientes en el sistema (Pn):

Si n £ s:

Al utilizar esta fórmula se obtienen las siguientes probabilidades:

 

 

n

 

 

Pn

 

0

0.06667

1

0.11667

2

.

0.10210

.

Si n ³ s


Al utilizar esta fórmula, se obtienen las siguientes probabilidades:

 

 

N

 

 

Pn

 

3

0.08932

4

0.07816

.

.

.

.

.

.

 

Estas tablas proporcionan la distribución de probabilidad para el número de camiones que hay en el sistema.  Las cantidades que aparecen en tales tablas se pueden utilizar para responder preguntas como: ¿cuál es la probabilidad de que al menos una báscula no esté funcionando?  Esta probabilidad es la misma que la probabilidad de que haya menos de dos camiones en el sistema.  Sumando las dos probabilidades de la tabla para n = 0 y 1, se obtiene la respuesta: 0.18334.

8.       Utilización (U):

 

 

 

 

Este valor indica que cada báscula está ocupada 87% del tiempo.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AUTOR

 

ALVAREZ, Silvia

GONZALEZ, Cynthia

E-mail: sil_alvarez@yupi.com

             cyn_gonzalez@uole.com

USCE - DASS

CONTINUAR