MODELOS DE COLAS CON UNA POBLACIÓN DE
CLIENTES LIMITADOS(M /M /S /N)
Este sistema presenta las
siguientes características:
M = Los tiempos entre llegadas son probabilísticas y
siguen una distribución exponencial.
M = Denota que los tiempos de servicio son
probabilísticos y siguen una distribución exponencial.
S = Representa la cantidad de estaciones o canales de
servicio que existen en el sistema(servidores).
N = Representa el número máximo de clientes que
pueden estar en el sistema en cualquier momento, es decir en servicio o en
espera en la fila.
En los
modelos anteriores suponen una población infinita de clientes, pero esto no
siempre es así. Consideremos el caso que haya un número finito de clientes, o
unidades que requieran atención, es decir que nosotros conocemos con precisión
el número de los clientes.
Por ejemplo:
En la
gráfica podemos observar un sistema que consiste en un depósito R, que contienen unidades o “clientes”
que requieren atención, una línea de espera T( a la cual ingresan cuando requieren servicio) y un conjunto de S canales de servicio.
Son ejemplos de este modelo:
·
Personal de mantenimiento que proporciona servicio de reparación a un
laboratorio de computación, formado por cincuenta computadoras. En este caso
las cincuenta computadoras son los clientes y los miembros del personal de
reparación son los servidores.
·
Una compañía da mantenimiento a los ascensores de treinta edificios de
oficinas. Los treinta edificios son clientes y el personal de reparación son
los servidores.
En
estos ejemplos la población de clientes es bastante limitada, por lo que
obtener medidas de rendimiento utilizando la suposición de una población de
clientes infinita puede producir resultados no válidos como ser
sobredimensionar la cantidad de servidores necesarios.
Esto es
debido a que la suposición de una población o clientes finitos afecta el
proceso de llegada. Para poblaciones infinitas las tasas de llegada permanecen
igual sin importar cuantos clientes hayan llegado, pero con una población
finita la tasa de llegadas disminuye conforme aumenta el número de clientes en
el sistema, ya que existen algunos que aun no ingresaron al sistema. Es decir
la tasa cambia según sea el número de clientes en el sistema.
Por
ejemplo, las maquinas de una fabrica constituyen una población finita de
clientes. Si todas las máquinas se encuentran en operación, es decir fuera del
sistema, la tasa de llegadas estará a su nivel mas alto, pero si todas ellas se
encuentran en el sistema la tasa de llegadas bajara a cero.
Para
poder determinar cual será esta tasa debemos considerar la tasa de llegada de
cada miembro en particular, es decir con qué frecuencia llegan los clientes al
sistema.
Cuando n miembros( de los N) están dentro del sistema y N
- n clientes están fuera, la distribución del tiempo que falta para la
próxima llegada al sistema, es la distribución de los tiempos restantes para
los N – n miembros. Esta distribución debe ser exponencial con parámetro l = (N –
n)* l.
Si
tenemos cincuenta computadoras y l = 0.5 a cada una de ellas le corresponde
una probabilidad de 0.01. entonces si tenemos en el sistema treinta maquinas,
la probabilidad del tiempo que falta para que lleguen las veinte restantes es
de 0.2.
Cuando l = 0 para n
= N, cualquier sistema que se ajuste a este modelo alcanzará en algún momento la condición de estado
estable.
MODELO M/M/1/N (CASO DE UN SERVIDOR S
= 1)
MODELO M/M/S/N (CASO PARA VARIOS
SERVIDORES S > 1)
Estas
formulas son las que utiliza el software Win QSB, que se emplea actualmente
para la resolución de problemas de colas. El siguiente ejemplo será
desarrollado empleando este software.
Ejemplo:
Una
fábrica cuenta con 7 mecánicos, los cuales atienden a 100 maquinas. Cada
maquina falla 1 vez cada 4 horas. El tiempo de reparación por cada maquina es
exponencial con media de 15 minutos.
O sea
que el tamaño de la población es n =
100, la cantidad de servidores S =
7, la velocidad de arribo l = ¼
fallas por hora por máquina, la velocidad de despacho m = 4 máquinas por hora.
Si
cargamos estos datos en el software obtendremos la siguiente tabla que muestra
el análisis de las medidas de rendimiento.
En esta tabla podemos resaltar los valores importantes como
ser, el aprovechamiento de los servidores(83%), número esperado de clientes en
la cola(2), número esperado de clientes en el sistema(8), probabilidad de que
un cliente tenga que esperar(52.53%), tiempo esperado en cola(0.07805) y tiempo
esperado en el sistema(0.3285).
Si hubiéramos considerado una población infinita habríamos
estado sobre dimensionando los coeficientes en el sistema. Por ejemplo el
número esperado de maquinas fuera de operación sería de 13 máquinas aproximadamente en lugar de los 8 planteados
anteriormente.
|
Sistema Actual
|
Sistema Óptimo
|
Número de servidores |
7 |
8 |
Costo por servidores |
$ 50 |
$ 50 |
Costo de servicio
|
$ 350 |
$ 400 |
Número medio en el sistema |
7.5895 |
6.5145 |
Costo de espera del cliente |
$ 100 |
$ 100 |
Costo de Espera |
$ 758.85 |
$ 651.45 |
|
------------ |
------------- |
Costo Total |
$ 1108.85 |
$ 1051.45 |
Los
costos para cada servidor y por espera son los mismos para clientes finitos que
para clientes infinitos, pero es en el costo total del sistema en el cual se ve
reflejada la diferencia.
El
costo total del sistema para clientes finitos es menor que el costo que
tendríamos por utilizar un sistema con clientes infinitos, además se propone un
modelo óptimo para este sistema en el cual se sugiere que se contrate un
operario mas, con el cual observamos que disminuye aun más el costo total por
hora del sistema. Esta cantidad es menor que los 9 que se obtienen cuando se
supone una población infinita, debido a que menos máquinas sufren fallos.
·
SANTILLAN, Verónica
·
VIEYRA, Vanesa
- UCSE -