APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE COLAS.
La teoría de
colas ha gozado de un lugar sobresaliente entre las técnicas analíticas
modernas de la investigación de operaciones; no concierne a la teoría de colas
alcanzar la meta de la investigación de operaciones: la toma de decisiones óptimas, más bien lo que hace es obtener información sobre el comportamiento del sistema de colas e
intentar a partir de la misma encontrar el mejor
diseño para un sistema de colas.
Este capítulo
presenta la aplicación de la teoría
de colas en el contexto más amplio de un estudio completo de investigación de
operaciones.
COSTOS DE LOS SISTEMAS DE COLAS.
Un sistema de
colas puede dividirse en sus dos componentes de mayor importancia, la cola y la
instalación del servicio. Las llegadas
son las unidades que entran en el sistema para recibir el servicio. Siempre se
unen primero a la cola; si no hay línea de espera se dice que la cola está
vacía. De la cola, las llegadas van a la instalación de servicio de acuerdo con
la disciplina de la cola, es decir,
de acuerdo con la regla para decir cuál de las llegadas se sirve después. El primero que llega, primero que se le
proporciona servicio FCFS (FIFO), es una regla , pero se podría servir con
prioridades o siguiendo alguna otra regla. Una vez que se completa el servicio,
las llegadas se convierten en salidas.
Ambas
componentes del sistema tienen costos asociados que deben considerarse.
COSTOS DE ESPERA.
Esperar
significa que algún recurso está inactivo cuando podría usarse en forma más
productiva (o agradable) en otra parte. Representa un costo de oportunidad.
Cuando los
clientes esperan en una línea de banco, el costo de espera es indirecto. Es
cierto que no se hace ningún pago
cuando el cliente disgustado se va de la cola porque es muy larga. Los
clientes se quejan quitando tiempo a los empleados. Dejan de venir, causando
que se pierda oportunidades de ganancias.
El servir con
prontitud puede proporcionar una forma de competencia en los negocios. La
sociedad de hoy está muy consciente del tiempo, esto hace que la evaluación
apropiada del tiempo de espera sea más importante.
Cuando el costo unitario de espera
es medible, los cálculos son directos. Partiendo de la nómina y de otros datos
contables puede encontrarse el costo por hora. Como el costo de espera casi
siempre es proporcional al tiempo de espera, el costo total de espera puede
expresarse como el costo de espera por hora multiplicado por la longitud
promedio de la línea:
Costo total de espera = C1.Lq
donde :
C1 = costo de
espera en pesos por llegada por unidad de tiempo y
Lq = número promedio en la cola.
Con frecuencia
es difícil dar una cantidad de pesos para el costo de espera de los clientes
que están en una línea. Ciertamente el comportamiento humano tiene muchas
variaciones. Matemáticamente es aún más complicado: ¿es lineal el costo de
espera? ¿Cuesta lo mismo el primer minuto que el segundo? ¿O el tercero? ¿O se
incrementa el costo por minuto conforme aumenta la espera?
Existen dos
formas de manejar el costo intangible del tiempo de espera de los clientes. Una
es pedir a las personas con conocimientos que estimen el valor promedio del
tiempo de un cliente, tomando en cuenta los factores sicológicos y competitivos
de la situación. Después casi siempre se supone linealidad (es más fácil) y se
usa la fórmula anterior para encontrar el costo de espera total. El segundo
método tiene un enfoque indirecto que establece un tiempo máximo de espera para
el cliente promedio, éste usa después para determinar la capacidad de servicio.
Con este punto de vista, por supuesto,
todavía existe el costo de espera pero no se usa en forma explícita.
COSTO DE SERVICIO.
Determinar el
costo de servicio es más sencillo, en concepto, que determinar el costo de
espera. En la mayoría de las aplicaciones se tratará de comparar varias
instalaciones de servicio: dos cajeras en un banco contra tres, por ejemplo. En
estos casos sólo se necesitan los costos comparativos o diferenciales. Por
ejemplo, si se quiere cuántas cajas de autobanco deben tener personal, sólo se
necesitan los costos de personal. Por otra parte, si la pregunta es cuántas de
estas cajas se deben construir, entonces se necesitan los costos de construcción y los de operación de cada ventanilla.
Casi siempre los datos necesarios son evidentes para una situación dada.
SISTEMAS DE COSTO MÍNIMO.
Tan indeseable
como puede ser la espera, puede ser menos costoso que proporcionar un servicio
más rápido. Desde un punto de vista global, se quiere el sistema que comparado
con los demás, tenga el costo total más pequeño, incluyendo el costo de
servicio y el costo de espera. Para tasas bajas de servicio, se experimentan
largas colas y costos de espera muy altos. Conforme aumenta el servicio, hay un
ahorro sustancial en el costo de espera, aunque los costos de servicio
aumenten, ya que el costo total del sistema disminuye. Sin embargo, finalmente
se llega a un punto de disminución en el rendimiento. Más allá del punto de costo mínimo, el aumento en el
servicio cuesta más que los ahorros consecuentes en el costo de espera.
Entonces, el objetivo es encontrar el Sistema
de costo mínimo.
ASPECTO ECONÓMICO DE
LOS FENÓMENOS DE ESPERA
EXPOSICIÓN GENERAL.
Toda función
económica de un fenómeno de organización se selecciona en forma arbitraria y
debe responder a las intenciones de aquel que tiene que decidir. En general, en
el caso de los fenómenos de espera se considera como función económica el costo
total de la espera de los clientes y de las estaciones, más exactamente, la
llamada esperanza matemática de los gastos provocados por la espera de los
clientes y de las estaciones.
Si S es el número de estaciones en
paralelo, m el de los clientes (que
pueden ser infinito), el número medio de clientes en espera en línea es:
El número medio de estaciones inactiva es:
Dándose un
intervalo de tiempo T durante el cual
nos proponemos calcular el costo total medio G de la espera, el tiempo medio
perdido por los clientes tiene como expresión:
Y aquel
del servicio
Sean C1 ($/cliente) el costo de una unidad de
tiempo de un cliente, C2 ($/canal) el
de una unidad de tiempo de una estación; así, el costo total será:
La variable es
generalmente S pero se podría, en
algunos casos, tener el control de m.
EL PROCESO DE DECISIÓN EN LAS LÍNEAS DE
ESPERA
La dificultad
estriba en la determinación explícita de los costos de espera, no tanto así los
costos del sistema. Éstos últimos sólo son la erogación monetaria (fija y
variable) correspondiente a la operación y mantenimiento del sistema.
En
realidad, dada la característica aleatoria de una línea de espera, se debe
hablar de valores esperados de costo y no del costo en sí. Por lo tanto, si g(n) representa el costo esperado de
demora de n clientes y Pn es la probabilidad de que existan n
personas en el sistema en un período de tiempo determinado, el valor esperado del costo de demora,
E{g(n)}, es:
La forma de g(n) puede ser lineal o no lineal
(exponencial, etc.).
Los problemas
de decisión de líneas de espera pueden ser de tres tipos:
Tipo 1.
Dada una función de costo de espera (o el costo
esperado), una función de costo de servicio del sistema. Los parámetros l y m, se desea encontrar el número
óptimo de servidores, S, que
minimizan el costo total esperado.
Tipo
2.
Dada una función marginal de servicio
por unidad de tiempo para m fija, el valor de l y un rango
permisible de variación de m, se desea encontrar el número de servidores, S, y el valor de m,
que minimizan el costo total. En otras palabras: calcular la mejor eficiencia
del sistema (rapidez con el menor número de servidores posibles), ajustando m y S. Este sería el caso de sistemas
referentes a trabajos de carga y descarga en muelles, trabajos de mantenimiento
o de supervisión, vigilancia o inspección.
Tipo 3.
Dado un costo
marginal de servicio por unidad de tiempo, un costo fijo de servicio por unidad
de servicio por unidad de tiempo, un valor de l y m, se desea
encontrar el número de estaciones de servicio y el número de servidores por
estación, que minimizan el costo total. Este sería el caso de encontrar, por
ejemplo, el número de baños para hombres y mujeres en un aeropuerto y, dentro
de cada baño, calcular el número de toilets y lavabos. Los baños serían las
estaciones de servicio y los toilets de cada baño serían los servidores dentro
de cada estación de servicio.
El proceso de decisiones requiere
una evaluación cuantitativa de la línea de espera y una estimación de la
forma explícita de las funciones de costo asociadas a la espera y a la
operación y mantenimiento del sistema. Esta última estimación (la de costos)
es, en la vida real, difícil y laboriosa de determinar.
MODELOS DE DECISIÓN.
Se mencionó que las
tres variables decisión comunes al diseñar sistemas de colas son s (número de servidores), m (tasa media de
servicio por servidor) y l (tasa media de llegadas a cada instalación de servicio).
Ahora se formularán modelos que permitan tomar algunas de estas decisiones.
Las
situaciones del tipo de sistemas de colas que requieren la toma de decisiones
surgen en muy diversas áreas, por lo que no es posible presentar un
procedimiento para la toma de decisiones que se pueda aplicar a todas estas
situaciones. Esta sección se limita a dar un panorama conceptual amplio del enfoque general a un grupo predominante de
problemas de líneas de espera.
Gran parte de
los problemas que surgen en la práctica incluyen la toma de una o más de las
siguientes decisiones:
1.
Número de servidores en cada estación.
2.
Eficiencia de los servidores.
3.
Número de instalaciones de servicio.
Cuando se
formulan estos problemas en términos de un modelo, las variables de decisión
correspondientes por lo general son s
(número de servidores por cada instalación), m
(tasa media de servicio por servidor ocupado) y l
(tasa media de llegada en cada instalación). El número de instalaciones de
servicio se relaciona directamente con l,
ya que, si se supone una distribución uniforme de la carga de trabajo entre las
instalaciones, l
es igual a la tasa media total de todas las instalaciones dividida por el
número de ellas.
Todas las
decisiones específicas que aquí se presentan se relacionan con la cuestión
general del nivel apropiado de servicio
que se debe proporcionar en un sistema de colas. Las decisiones respecto a la capacidad de servicio que se ha de
proporcionar, por lo general, se basan principalmente en dos factores:
1.
El
costo en el que incurre al dar el servicio. La siguiente gráfica representa el
costo del servicio como una función del nivel de servicio.
2. La
espera por ese servicio. La gráfica a continuación describe el tiempo de espera
esperado como una función del nivel de servicio.
Estas
figuras se pueden obtener utilizando la ecuación adecuada de teoría de colas.
El problema se
resuelve así: al seleccionar el punto sobre la curva que dé el mejor balance
entre el retraso promedio al solicitar un servicio y el costo de
proporcionarlo.
Sólo después
de establecer la seriedad relativa entre los retrasos y los costos de servicio
se puede tomar una decisión inteligente sobre el balance apropiado de estos dos factores. Para
obtenerlo es preciso responder a preguntas tales como: ¿en qué medida el gasto
en el servicio es equivalente (en cuanto a su efecto negativo) al retraso de un
cliente durante una unidad de tiempo? Para comparar los costos de servicio y
los tiempos de espera, es necesario adoptar (en forma explícita o implícita)
una medida común de su impacto. La elección natural de esta medida es el costo,
por lo que se vuelve necesario estimar el costo de espera. Es razonable suponer que este costo de
espera es proporcional a la espera total, será suficiente obtener una estimación de costo de espera por unidad
de tiempo por cliente.
Cualquier
comparación entre el tiempo de espera y los costos de servicio debe
inevitablemente llegar a la estimación del costo equivalente a la espera.
Parece evidente que el análisis profundo que se necesita para obtener una
estimación explícita debe proporcionar una base más sólida, además el usar una
mejor estimación permite utilizar el
análisis matemático riguroso para identificar con exactitud la decisión que
minimiza el costo esperado total estimado.
Una vez que
queda clara la conveniencia de una estimación explícita del costo de espera, el
siguiente paso es encontrar la forma de obtener esta estimación. Dada la
diversidad de situaciones de líneas de espera, no se puede aplicar en general
un proceso de estimación, pero se presentarán las consideraciones básicas que
abarcan varios tipos de situaciones.
Una gran
categoría es aquella en la que los clientes son externos a la organización que proporciona el servicio. Es necesario
subdividirla a esta clase en términos de si el servicio se proporciona con el
fin de obtener ganancias o si se
tiene una base no lucrativa. En el caso de las organizaciones lucrativas; desde el punto de vista del tomador
de decisiones, el costo de espera quizá
consista principalmente en la pérdida de
ganancias por la venta perdida.
Esta pérdida puede ocurrir de inmediato (porque el cliente se desespera y se
vaya) y/o en el futuro (porque el cliente se va tan irritado que no regresa).
Es bastante difícil de estimar y puede ser necesario retomar otros criterios,
como una distribución de probabilidad tolerable para los tiempos de espera.
Una situación
puede ser más manejable si los clientes son internos a la organización que
proporciona el servicio (como en los sistemas
de servicio interno industrial). Por ejemplo, los clientes pueden ser
máquinas o empleados de una empresa. Es posible identificar de manera directa
algunos o todos los costos asociados con el tiempo perdido de estos clientes.
Para ilustrar el razonamiento que
sustenta esto (y para hacer una advertencia contra un obstáculo
frecuente) se considera el caso en que los clientes son operadores de máquinas.
A primera vista es fácil sacar la conclusión de que el costo que afecta a la
empresa es si uno de estos empleados espera en la cola, es su salario
correspondiente al tiempo que espera; pero esta conclusión implica que la
reducción neta en los ingresos de la empresa debido a que un operador espere en
una cola es igual a su salario. No hay razón para que esto se cumpla en
general. De hecho, el empleado recibirá
el mismo salario independientemente de la espera, pero lo que en realidad se
pierde es la contribución a las ganancias de la empresa que hubiera hecho el
operador de no haber esperado. Por lo tanto, cuando un operador está
desocupado porque está esperando en una cola, lo que se está perdiendo es la
salida productiva que ayudaría a pagar los gastos fijos de la empresa además
del salario del operador. En suma, en lugar de poner atención nada más a un recurso económico que espera
físicamente en una cola, se debe intentar encontrar el valor de todos los
recursos económicos que se quedan inútiles como consecuencia de esta espera.
Este enfoque con frecuencia conduce a la necesidad de evaluar la pérdida de la ganancia debido a toda la productividad perdida.
Dado que se ha
establecido el costo de espera explícitamente, en términos conceptuales, el
resto del análisis es directo. El objetivo es determinar el nivel de servicio
que minimiza el costo esperado de servicio y el costo esperado por la espera de
ese servicio. La representación matemática del objetivo es:
Minimizar (CTE)
= (C1*Lq*r) + (C2*&)
Donde:
- (CTE) denota el costo
de espera;
- (C1*Lq*r)
denota el costo de servicio; y
- (C2*&) denota el costo
total.
Se
deduce que el Costo Total Esperado Optimo (CTEo) se corresponde con aquel punto
para el cual el centro de atención dispone de un adecuado número de canales de
atención (Se), tal que:
C1 * Lq
*r =
C2 * &
Si,
C1 * Lq *r < C2 * &, el costo improductivo de los
canales es superior al de espera en fila; en tal caso se mantendrá S como
número de canales a utilizar.
Si, C1 * Lq
*r > C2 * &, se deberá
adicionar otros servidores (en general uno más)
reduciéndose
así la extensión de la cola y su costo.
CARACTERÍSTICAS CLAVE DE LOS MODELOS
DE COLAS.
En resumen,
para evaluar un sistema de colas en el que Usted controla el número de
servidores o su tasa de servicio, se necesitan las siguientes estimaciones de
costo y medidas de rendimiento:
ü
El costo por servidor por unidad de tiempo (Cs).
ü
El costo por unidad de tiempo por cliente esperando en el
sistema (CWs).
ü
El número promedio de clientes en el sistema (Ls).
Por cada
alternativa que implique S servidores, calcule el siguiente costo total por
unidad de tiempo:
Costo total
por unidad de tiempo con S servidores
=
= (costo de los servidores) + (costo de
espera) =
= {(costo por
servidor por unidad de tiempo) * (número de servidores)} +
+ {(costo por cliente por unidad de tiempo)
* (número esperado de clientes en el sistema)} =
Por último,
seleccione la alternativa que ofrezca el costo total mínimo por unidad de
tiempo.
MODELO PARA OPTIMIZAR UN SISTEMA DE
COLAS.
A los
problemas en los que un tomador de decisiones debe escoger entre sistemas
alternativos de cola se les llama problemas
para optimizar sistemas colas. Es este problema, la meta de la empresa es
minimizar la suma del costo horario de servicio y del costo horario esperado
debido a los tiempos de inactividad de los mecánicos. En los problemas de
optimización de colas, el componente del costo debido a clientes que esperan en
la cola se llama costo de demora. Así, la empresa desea minimizar:
En general, el
cálculo del costo horario de servicio es sencillo. El modo más fácil de
calcular el costo horario de demora es tomando nota de que:
.
AUTOR
ALEGRE, María de Guadalupe.
E-mail: guadalupe_77@uolmail.com.ar
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