ESTRUCTURA
SISTEMICA DE LA TEORIA DE ESPERA
RESEÑA HISTÓRICA
La Teoría de Colas es una rama de la matemática aplicada que tiene su origen en un trabajo llevado a cabo en 1910 por A.K. ERLANG sobre un problema de congestión en el tráfico telefónico. En los últimos años se han llevado a cabo muchos trabajos de investigación sobre esta teoría, especialmente en el campo del cálculo operacional, y actualmente se continúa avanzando extraordinariamente.
La idea fundamental de esta teoría es la congestión debida a
una interrupción por el flujo normal y la espera asociada. Usualmente el flujo
es discreto, por ejemplo las llegadas y salidas de individuos a una caja
registradora; pero puede ser continuo, como el flujo de un fluido desde el interior
al exterior de un depósito. Una situación de este tipo se presenta en el
estudio del tráfico telefónico. Las llamadas constituyen el flujo, que es
interrumpido, en la oficina central de teléfono por los operadores, al tratar
de comunicarse con los destinatarios. Durante una hora pico, los que
tratan de llamar sufren demoras, ya que
los operadores son incapaces de atender las llamadas con la misma rapidez que
se producen. El problema que originalmente trató ERLANG en su trabajo de 1910
se refería al cálculo de demora en caso de que solo existiese un operador, y en
1917 los resultados obtenidos se extendieron al caso que hubiesen varios
operadores. Los trabajos continuaron la trayectoria marcada por ERLANG siendo
más interesantes los publicados por MOLINA en 1927 y FRY en 1928.
Un período de investigación dedicado al aspecto matemático del problema comenzó en 1930 con un trabajo de POLLACZEK. A éste le siguieron los de KOLMOROGOV en 1931 y los de KHINTCHINE en 1932 y 1933. Luego hubo un período de inactividad, que se prolongó hasta la última guerra. Desde entonces se estudió con vista a resolver problemas industriales.
Las situaciones en las que se han aplicado la teoría de
colas son las siguientes, por ejemplo:
1.
Congestionamiento del
tráfico automotor.
2.
Servicios de máquinas
trituradoras.
3.
Estudio del tráfico
aéreo en un aeropuerto.
4.
Problemas de
almacenamiento.
5.
Estudio de la
producción.
6.
Control de
inventarios.
7.
Capacidad de la sala
de espera de un hospital.
8.
El
número de médicos que deben atender en la guardia de un hospital, variando ese número en
tiempo y en espacio.
9.
El número de camas
que debe tener un pabellón gineco-obstétrico de un hospital.
10. El número de cajas que deben operar en un banco o en un
supermercado, en función de la hora y el día de la semana.
11. El número de camiones que deben distribuir productos
perecederos en una región.
12. La secuenciación automática de encendido de semáforos a lo
largo de una avenida.
13. El número de operadores que atienden llamadas de larga distancia
durante un turno.
14. El número de grupos de mantenimiento de algunas líneas
aéreas.
Las líneas de espera son fenómenos estocásticos
(probabilísticos) para los que estableceremos las ecuaciones de estado, las
cuales son utilizadas para el cálculo de diversas magnitudes medias o
promedios, y que están generalizadas
por las ecuaciones llamadas de nacimiento
y muerte que permiten describir
casos muy numerosos ya sea en régimen transitorio ó régimen permanente.
UN ACERCAMIENTO A LA TEORÍA DE COLAS
Muchas industrias de servicio tienen un Sistema de colas, en el que
los “productos” (o clientes) llegan a una estación esperan en una “fila” (o cola), obtienen
algún tipo de servicio y luego salen del sistema.
El tener que esperar en una cola es una experiencia
cotidiana que normalmente se considera desagradable. Esperar un ascensor, ser
servido en un restaurante o en una cola de un banco es una confrontación con la
pérdida de tiempo. No es fácil “esperar sabiamente ”en la cola de un
supermercado. Si la espera es demasiado larga, las personas se vuelven
irritables e inquietas; los temperamentos se ofuscan. Por supuesto, “demasiado
larga” es relativo. Por ejemplo, la espera puede hacerse más prolongada si se
está sentado (como en un restaurante) que si se está parado (como en un
supermercado). Aún así, la paciencia tiene limites. Finalmente, la gente se va
a otra parte.
Aunque sea desagradable esperar, es fácil observar que el
proporcionar suficiente capacidad de servicio para eliminar la espera sería muy
costoso.
Piense cuantas cajeras serían necesarias en un banco ó
cuantas cajas en un comercio, para eliminar toda las colas; aún si esto fuera
posible, todavía se tendría que esperar mientras se proporciona el servicio. Es
claro que se necesita algún tipo de balance para que el tiempo no sea muy largo
y el costo de servicio no sea muy alto.
Los modelos de sistemas de colas se pueden usar para
responder preguntas como las siguientes:
1.
¿Qué fracción de
tiempo está ocioso cada servidor?
2.
¿Cuál es el número
esperado de clientes presentes en la cola?
3.
¿Cuál es el tiempo
promedio que un cliente espera en una cola?
4.
¿Cuál es la
distribución de probabilidad del número de clientes presentes en una cola?
5.
¿Cuál es la
distribución de probabilidad del tiempo de espera de un cliente?
6.
Si un gerente de
banco desea asegurar que sólo el 1% de los clientes tenga que esperar más de 5
minutos su turno, ¿cuántas ventanillas debe habilitar?
El problema del administrador es determinar qué capacidad o tasa
de servicio proporciona el balance apropiado. Este sería un problema sencillo,
si cada cliente llegara de acuerdo a un horario fijo y si el tiempo de servicio
también fuera fijo. Como en una línea de ensamble, se podría balancear con
exactitud la capacidad de servicio con las llegadas. Cualquier capacidad extra
sería un desperdicio, menos capacidad significaría que algunas llegadas no se
atenderían. Sin embargo, en muchas situaciones ni el tiempo de llegada ni el
tiempo de servicio son predecibles. El administrador de un restaurante McDonald
sabrá que la mayoría de los clientes llegan alrededor de las horas de comida,
pero no sabe con exactitud en que momento llegarán. De igual manera, el tiempo
para servir una orden variará. Los sistemas de líneas de espera son
probabilísticos o aleatorios.
Con experiencia y sentido común, muchos administradores
encuentran un equilibrio entre los costos de espera y de servicio sin elaborar
ningún cálculo. Por ejemplo, el
administrador de un supermercado actúa intuitivamente para agregar personal en
las cajas cuando las colas se hacen muy largas. El administrador de un
restaurante planea tener más mozos alrededor de las horas de comida, guiándose
por la experiencia. No obstante, hay ocasiones en las que la intuición necesita
ayuda, como cuando va de por medio una inversión sustancial de capital o cuando
el balance apropiado no es evidente.
CUALIFICACIÓN Y
CUANTIFICACIÓN DE UNA COLA DE ESPERA
La situación ideal es cuando los servidores están
esperando temporalmente a los clientes
y estos sólo esperan servicio momentáneamente.
Este es un caso típico de un “sistema balanceado” que tiende a un
sistema estable o en equilibrio. En resumen, lo que algunas veces se denomina
crítico para un problema de cola (o línea de espera) es una decisión de
compromiso: comparando el costo de suministrar un nivel de servicio (por
ejemplo, 10 líneas telefónicas, 15 reparadores, 4 pistas de aterrizajes, 8
cajeros, y así sucesivamente) con el costo de espera (cliente insatisfecho,
líneas de producción detenidas, pérdida de ingresos, etc.). El análisis
cuantitativo con frecuencia es útil en estas situaciones.
La teoría de líneas de espera tiene los siguientes objetivos:
La cuantificación de una línea de espera se puede hacer a
través de un análisis matemático o de un proceso de simulación. El primer enfoque, de poder aplicarse,
produce resultados óptimos. Sin embargo, requiere de suposiciones muy estrictas
en cuanto a la naturaleza de las llegadas de clientes, el tipo de servicio, el
número de servidores y la estructura del sistema. El proceso de simulación tiene una aplicación más general que el de
análisis matemático, ya que prácticamente se lo puede utilizar para cualquier
sistema. Su desventaja es que no produce valores óptimos y es mucho más
costoso.
Cuando la seguridad o cualquier otra necesidad imponen un servicio rápido para reducir la espera por debajo de un valor previamente fijado, se puede prever la importancia de los medios que se van a poner en acción, así como su costo.
En general, en el caso de los fenómenos de espera se
considera como función económica tanto el costo derivado de la espera de los
clientes en la cola como al de las estaciones de servicio subaprovechadas, o
sea la esperanza matemática de los gastos provocados en las dos secciones del
sistema.
Como “S”
es el número de estaciones en paralelo que conforman el centro de
servicios, “M” el de los potenciales clientes que pueden acudir al
sistema en búsqueda de servicio y, “n” es el número medio de clientes contenidos
en el sistema, la esperanza matemática de la fila de espera (cola media “Lq”) resulta de:
La esperanza o media de inactividad del centro de servicios:
Definimos como:
C1($/cliente) = Costo
de esperar en cola (por unidad de tiempo) antes de obtener servicio en
algún canal.
C2($/canal) = Improductividad
del centro (por unidad de tiempo) por cuanto en algún momento permanecerá
inactivo.
La esperanza del Costo
Total Esperado referido para la unidad de tiempo será:
Donde r (adimensional):
es el factor de corrección para casos diferentes a Poisson / Exponencial.
Aún cuando el posible uso de la teoría de líneas de espera es muy amplio, dos tipos principales de situaciones originan aplicaciones económicas exitosas. El primero se ocupa del caso en que una organización controla un número lo suficientemente grande de instalaciones de servicio semejantes o idénticas, tales como surtidores de combustibles, cajas en un banco, conmutadores telefónicos, operadores de máquinas o cuadrillas de reparación para telares y máquinas tejedoras en una fábrica textil, etc. Aún cuando la teoría de líneas de espera puede ofrecer sólo pequeños incentivos económicos para cada instalación en sí misma, el agrupamiento de pequeñas ganancias individuales hace que tales aplicaciones sean valiosas desde el punto de vista económico. El segundo tipo de aplicación se ocupa de la planeación y el diseño de instalaciones únicas, que impliquen grandes inversiones de capital, tales como la adquisición y operación de instalaciones portuarias o de una instalación de computadoras. En particular, el diseño de sistemas de comunicación y computación es un área donde se realiza un amplio uso de la teoría de líneas de espera, en este caso los objetos son mensajes o fragmentos de información.
En contraste con la mayoría de las otras herramientas de investigación de operaciones, los modelos de líneas de espera no tienen patrón general de optimización.
LOS PROBLEMAS ADMINISTRATIVOS
RELACIONADOS CON SISTEMAS DE COLAS
Estos tipos de problema se clasifican en dos grandes grupos
básicos:
1.
Problemas de análisis:
Si esta interesado en saber si un sistema dado está funcionando
satisfactoriamente. Necesita responder una o más de las siguientes preguntas:
A.
¿Cuál es el tiempo
promedio que un cliente tiene que esperar en la fila antes de ser atendido?
B.
¿Qué fracción del tiempo
ocupan los servidores en atender un cliente o en procesar un producto?
C.
¿Cuáles son los
números promedio y máximo de clientes que esperan en la fila?
Basándose en estas preguntas, los gerentes tomarán
decisiones como de emplear o no a más gente, una estación de trabajo adicional
para mejorar el nivel de servicio, o si es necesario o no aumentar el tamaño
del área de espera.
2.
Problemas de diseño: Si
desea diseñar las características de un sistema que logre un objetivo general.
Esto puede implicar el planteamiento de preguntas como las siguientes:
A.
¿Cuántas personas o
estaciones deben emplearse para proporcionar un servicio aceptable?
B.
¿Deberán los clientes
esperar en una sola fila (como se hace en muchos bancos) o en diferentes filas
(como en el caso de los supermercados) ?
C.
¿Deberá haber una
estación de trabajo separada que maneje las cuestiones “Especiales” (como el
caso del acceso a primera clase en la ventanilla de una aerolínea) ?
D.
¿Qué tanto espacio se
necesita para que los clientes o los productos puedan esperar?. Por ejemplo, en
un sistema de reservaciones por teléfono. ¿Qué tan grande debe ser la capacidad
de retención?. Esto es ¿Cuántas llamadas telefónicas se deben mantener en
espera antes de que la siguiente obtenga la señal de ocupado?
Las decisiones de diseño se toman mediante la evaluación de
los méritos de las diferentes alternativas, respondiendo a las preguntas de
análisis del grupo 1 y luego seleccionando la alternativa que cumpla con los
objetivos administrativos.
Esta teoría es ahora una herramienta de valor en negocios
debido a que muchos de sus problemas pueden categorizarse, como problemas de
congestión llegada – partida.
En el Sistema de colas el termino “cliente” se usa para referirse a, por ejemplo:
A.
Gente esperando a que
se desocupe alguna línea telefónica.
B.
Máquinas que deban
ser reparadas .
C.
Aviones esperando
autorización para aterrizar.
D.
Gente esperando en la
cola de un cajero de un supermercado; etc.
El término instalaciones de “servicio” se utiliza en sistemas de cola para referirse a, por
ejemplo:
A.
Líneas telefónicas .
B.
Talleres de
reparación.
C.
Pistas de un
aeropuerto.
D.
Cajas de pago; etc.
Los servicios de cola pretenden a menudo una tasa variable de llegada y una tasa variable de servicio.
Los ejemplos de tasa
variable de llegada podrían ser los siguientes:
A.
La demanda (tasa de
llegada ) a una central telefónica es de 60 por minuto.
B.
La máquina se
descompone (o llegan a una instalación de reparación) a una tasa de 3 por
semana o 15 por mes.
C.
Los aviones llegan
(solicitan pista) entre 6:00 PM y 7:00 PM a una tasa de 1 por minuto.
D.
Los clientes llegan a
una caja de pago a una tasa de 25 por hora.
Los ejemplos de tasa
de servicio podrían ser los siguientes:
A.
Los sistemas
telefónicos entre dos ciudades pueden manejar 90 llamadas por minuto.
B.
Una instalación de
reparación puede, en promedio, reparar máquinas a una tasa de 4 por día (o 4 en
8 horas).
C.
Una pista de
aeropuerto puede manejar (aterrizar) dos aviones por minuto o uno cada 30
segundos.
D.
En promedio una
ventanilla de pago puede procesar un cliente cada 4 minutos.
ESTRUCTURA
BÁSICA DE UNA LÍNEA DE ESPERA
La estructura física de líneas de espera consiste en tres componentes:
1.
Una o varias fuentes
de llegadas (clientes),
2.
Líneas de espera (colas)
y
3.
Una instalación de
servicio consistente en una o varias partes (servidores).
Ejemplos De
Sistemas De Colas |
|||
Situación
|
Llegada
|
Cola |
Mecanismo de
Servicio |
Aeropuerto |
Aviones |
Aviones en espera para aterrizar |
Pista |
Aeropuerto |
Pasajeros |
Sala de espera |
Avión |
Departamento de bomberos |
Alarma de incendio |
Incendios |
Departamento de bomberos |
Compañía telefónica |
Números marcados |
Llamadas |
Conmutador |
Lavado de autos |
Autos |
Autos sucios |
Mecanismo de lavado |
La corte |
Casos |
Casos atrasados |
Juez |
Panadería |
Clientes |
Clientes con números |
Vendedor |
Oficina de correo |
Cartas |
Buzón |
Carteros |
Fábrica |
Subensamble |
Inventario en proceso |
Estación de trabajo |
Hospital |
Pacientes |
Personas enfermas |
Hospital |
Nótese que las llegadas son homogéneas o vienen de la misma
población. Esta es una limitación importante de la Teoría de colas. Cuando una
instalación de servicio, como un aeropuerto, maneja diferentes tipos de llegadas,
éstas se deben tratar por separado. Un ejemplo seria: un sistema para los
pasajeros y otro para los aviones en el aeropuerto. Por supuesto, los dos se
relacionan, pero la teoría de colas sólo los puede tratar por separado y en
forma independiente. Si se quisiera analizarlos juntos, se tendría que usar
simulación.
El proceso básico supuesto por la mayor parte de los modelos
de colas es el siguiente. Los clientes
que requieren un servicio se generan
a través del tiempo en una fuente de
entrada. Estos clientes entran al
sistema y se unen a una cola. En determinado momento se
selecciona un miembro de la cola, para proporcionarle el servicio, mediante
alguna regla conocida como disciplina de
cola (o disciplina de servicio).
Después, en un mecanismo de servicio
se lleva a cabo el servicio requerido por el cliente luego de lo cual el cliente sale del Sistema de
colas. Los clientes que se forman en una cola lo hacen en un área de espera.
CARACTERÍSTICAS DE UN SISTEMA DE COLAS
FUENTE
DE ENTRADA (POBLACIÓN POTENCIAL)
Una característica de la fuente de entrada es su tamaño. El tamaño es el número total de clientes que pueden requerir servicio en
determinado momento, es decir, el número total de clientes potenciales
distintos.
Puede suponerse que el tamaño es infinito o finito (de
modo que también se dice que la fuente de entrada es ilimitada o limitada).
Como los cálculos son mucho más sencillos para el caso infinito, esta suposición
se hace muy seguido cuando el tamaño real sea un número fijo relativamente
grande, y deberá tomarse como una suposición implícita en cualquier modelo que
no establezca otra cosa. El caso finito es más difícil analíticamente, pues el
número de clientes en la cola afecta el número potencial de clientes fuera del
sistema en cualquier momento; pero debe hacerse esta suposición finita si la
tasa de llegada de clientes nuevos que se generan en la fuente de entrada queda
afectada en forma significativa por el número de clientes en el sistema de
líneas de espera. También se debe especificar el patrón estadístico mediante el
cual se generan los clientes a través del tiempo. La suposición normal es que
se generan de acuerdo a un proceso Poisson, es decir, el número de clientes que
llegan hasta un tiempo específico tiene una distribución Poisson, este caso
corresponde a aquel cuyas llegadas al sistema ocurren de manera aleatoria pero
con cierta tasa media fija y sin importar cuántos clientes están en el sistema
(por lo que el tamaño de la fuente de
entrada es infinito). Una suposición
equivalente es que la distribución de probabilidad del tiempo que transcurre
entre dos llegadas consecutivas es exponencial.
NÚMERO DE CLIENTES QUE PUEDEN
ESPERAR EN LA COLA.
El número de clientes que pueden esperar en la cola puede
ser finito o infinito. El número de teléfonos al que da servicio un conmutador
telefónico es un ejemplo de una fuente inagotable (infinita), mientras que el
número de máquinas en una sección de una fábrica es un ejemplo de fuente
limitada (finita). En el primer caso, la tasa de llegada difícilmente se verá
afectada por el número de teléfonos ocupados en cualquier momento, de manera
que es posible considerar que los tiempos entre llegadas forman un proceso de renovación. Sin embargo, en
el segundo caso cada máquina que requiere la atención de un operador, es decir,
que entra al sistema de líneas de espera, puede reducir en forma significativa
la tasa de llegada, y cada máquina que ha recibido servicio, esto es, que sale
del sistema, puede aumentar una vez más de manera significativa la tasa de
llegada.
Los clientes pueden esperar, en una cola o en varias, en las cuales pueden tener la opción de cambiarse o no. Por ejemplo, en algunos bancos los clientes deben hacer una sola cola, pero en otros, pueden escoger la cola en donde formarse. Si hay varias colas en una instalación, es importante conocer si se permite a los clientes cambiar de cola o no. En la mayor parte de los sistemas con colas múltiples se permite el cambio, pero no se lo recomienda, por ejemplo en una casilla para peaje. Cuando hay varias colas con frecuencia los clientes se forman en la más corta. Desafortunadamente en muchos casos, como en un supermercado, es difícil definir la cola más corta.
Es el tiempo transcurrido entre la llegada de un cliente y
el inmediatamente anterior. Este intervalo de tiempo puede ser una constante (determinístico) o una variable aleatoria (probabilístico) cuya distribución de
probabilidad se puede conocer o no. El enfoque de análisis matemático de las
líneas de espera, está muy bien desarrollado, cuando la distribución de llegada
es Poisson.
Cuando
las llegadas no son independientes (sería el caso de un grupo de pacientes que llegan a un centro de emergencia,
cuando éstos sufrieron el mismo accidente) se utiliza el enfoque de la
simulación.
TIEMPO DE SERVICIO
En
general cada cliente que ingresa al sistema de atención no siempre lo hace en
búsqueda de un servicio similar al que motivó el ingreso de los otros clientes
que lo preceden o lo suceden.
El
tiempo de servicio puede ser una constante
o una variable, puede ser además
aleatoria, dependiente o independiente,
cuya distribución de probabilidad se puede o no conocer.
El enfoque matemático ha proporcionado resultados a las
líneas de espera cuando el tiempo de servicio, tiene una distribución
exponencial negativa o una distribución de ERLANG. Para
otras distribuciones, se utiliza el enfoque de simulación.
Se dice que el tiempo de servicio es dependiente, cuando
varía (se alarga o se acorta) por factores de presión del sistema (por ejemplo,
las quejas de la gente que espera), y es independiente cuando la duración del
servicio no se afecta por este tipo de presiones.
Otra característica del proceso de colas es la disciplina de colas, es decir, la forma en que los clientes que esperan son seleccionados para ser atendidos. A continuación presentaremos algunas de las formas más comunes.
ü
Primero en entrar, primero en salir (FIFO): los clientes son atendidos en el orden en que van llegando
a la fila. Los clientes de un banco y de un supermercado, por ejemplo, son
atendidos de esta manera.
ü
Ultimo en entrar, primero en salir (LIFO): el cliente que ha llegado más recientemente es el primero
en ser atendido. Un ejemplo de esta disciplina se da en un proceso de
producción en el que los productos llegan a una estación de trabajo y son
apilados uno encima de otro. El trabajador elige, para su procesamiento, el
producto que está en la cima de la pila, que fue el último que llegó para ser
procesado o para brindarle un servicio.
ü
Selección de prioridad:
a cada cliente que llega se le da una prioridad y se elige según ésta para
brindarle el servicio. Un ejemplo de esta disciplina son los pacientes que
llegan a la sala de urgencias de un hospital. Mientras más severo sea el caso,
mayor será la prioridad del cliente.
ü
Disciplina SIRO (servicio en orden aleatorio): a veces, el orden en el que llegan los clientes no tiene
efecto alguno sobre el orden en el que se les sirve. Este sería el caso si el
siguiente cliente en ser atendido se selecciona al azar de entre los que están
esperando para ser atendidos.
El número de
servidores o canales puede ser uno o más.
El estado de un sistema puede ser estable o transitorio. Por ejemplo: considere la cantidad de tiempo que
los clientes tienen que esperar en un banco durante el día. Cuando el banco
abre a la mañana no hay nadie en el sistema, de modo que el primer cliente es
atendido de inmediato. Conforme van llegando más clientes, lentamente se va
formando la cola y la cantidad de tiempo que tienen que esperar empieza a
aumentar. A medida que avanza el día, el sistema llega a una condición en la
que el efecto de la falta inicial de clientes ha sido eliminado y el tiempo de
espera de cada cliente ha alcanzado un nivel estable. La fase inicial conserva
los efectos de las condiciones iniciales,
a estos lo llamamos fase
transitoria. Después que los
efectos de las condiciones iniciales fueron eliminados, el sistema entra en un
estado estable, que lo hace independiente
del tiempo.
Aquí se cubre sólo la condición estable, y específicamente
aquellos casos donde en un período determinado sólo puede ocurrir una entrada al sistema (nacimiento) y una salida del mismo (muerte). De ahí
que matemáticamente se conozca a estos procesos estables como procesos de nacimiento y muerte.
Es
la forma en que los productos o los clientes abandonan un Sistema de colas.
Pueden ser de los siguientes dos tipos:
1. Los
elementos abandonan completamente el sistema después de ser atendidos en un
solo centro o estación de trabajo, lo que tiene como resultado un sistema de
colas de un paso. Por ejemplo, como se muestra en la figura, los clientes de un
banco esperan en una sola fila, son atendidos por uno de los tres cajeros y
después abandonan el sistema.
2. Los
productos, una vez que son procesados en una estación de trabajo, son
trasladados a alguna otra para someterlos a otro tipo de proceso, lo que tiene
como resultado una red de colas ó Cascada. Por ejemplo, los productos que se
muestran en la figura primero son procesados en la estación de trabajo A y
después enviados a la estación B o C. Los productos terminados en ambas
estaciones, B y C, luego son procesados en la estación D, antes de abandonar el
sistema.
Cuando los problemas de colas tienen tiempos aleatorios
entre llegadas o tiempos aleatorios de servicio, o ambos, ocurrirán colas con
longitudes aleatorias. Si no hay unidades esperando la mayor parte del tiempo,
entonces los servidores tenderán a estar ociosos durante una gran parte del
tiempo. Si existen costos asociados con canales ociosos de servicio, entonces
esto es indeseable. Por otra parte, si los servidores están ocupados y existen
colas la mayor parte del tiempo, con frecuencia los clientes tendrán que
esperar antes de recibir servicio. Si los tiempos de espera son prolongados,
también puede dar como resultado costos
tangibles o intangibles tales como demoras de producción (mecánicos esperando partes
o herramientas, máquinas paradas), deterioro de ciertos atributos de las
llegadas (camiones de cemento o barcos con frutas en espera de descarga,
pacientes en espera de cirugía) o pérdida de reputación (los clientes se
impacientan). El objetivo en los modelos de colas es diseñar una prestación
tal, que la suma de todos los costos asociados con la operación del sistema se
minimice.
Los
bancos casi siempre tienen más de un cajero, cada uno con una línea de espera
separada. Con frecuencia los aeropuertos tienen más de una pista de aterrizaje.
El correo maneja las cartas en base a prioridades: simple, expreso,
certificado, etc. Las fábricas generalmente tienen una serie de estaciones de
trabajo, no sólo una. Permitiendo que varíen el número de colas y el número de
servidores, pueden hacerse los diagramas de los tipos de sistemas de la
siguiente forma.
1.
Una cola-un
servidor. Existe una
fuente a partir de la cual fluyen los clientes, una línea de espera (cola) y
existe además un único centro de servicio. Por ejemplo en una boletería de un
cine en donde se venden boletos de acuerdo a cómo llegan los espectadores.
2.
Mono Cola -
Multicanal. Existe una
fuente a partir de la cual fluyen los clientes, una sola línea de espera, dos o
más canales en paralelos constituyen el centro de servicio, asegura el proceso
“Primero en entrar, primero en salir ”. Por
ejemplo en una peluquería con 5 sillones (5 peluqueros) que prestan sus
servicios siguiendo una política de atender a los clientes en el orden con que
llegan al establecimiento (no se aceptan reservaciones).
3.
Multi Cola –
Multicanal – Con opción de Cambio. Existe
una fuente a partir de la cual surgen
los clientes, colas independientes con opción a elección y cambio, canales
independientes constituyen el centro de servicio; no asegura el proceso
“Primero en entrar primero en salir”. Un ejemplo es el caso de un banco, donde
existen 18 cajas y los clientes se forman en la cola que más les convenga, con
la opción de cambiarse de una cola a otra.
4.
Multi Cola –
Multicanal – Con opción de Cambio. Es
el caso de cualquier trámite burocrático, por ejemplo, la oficina de préstamos
a corto plazo donde existen 5 ventanillas de recepción de documentos, de
acuerdo a la inicial del apellido paterno (A-E, F-J, K-O, P-T, U-Z).
5.
Una
cola-servidores múltiples en cascada.
Por ejemplo en una embotelladora, las botellas usadas se esterilizan, después
pasan al llenado del líquido, tapado, etiquetado y empaquetado. Se cuenta con
una sola esterilizadora, una sola máquina de llenado, una tapadora, una
etiquetadora y una empaquetadora.
6.
Colas
múltiples-servidores múltiples en sistema mixto. Existe una fuente a partir de la cual surgen los clientes,
líneas en paralelo sin opción a cambio de cola, canales de despacho en paralelo
– serie constituyendo el centro de servicio.
Un caso sería el mismo ejemplo anterior, pero con más de una unidad de
las diferentes máquinas que se mencionaron.
En la figura se muestran estas
variantes.
(1)
Monocola –
Monocanal.
(2)
Monocola –
Multicanal (en paralelo).
(3)
Multi Cola –
Multicanal – Con opción de Cambio.
(4)
Multi Cola –
Multicanal – Con opción de Cambio.
(5)
Una
cola-servidores múltiples en cascada.
Como ya se ha sugerido, la teoría de colas se aplica a muchos tipos diferentes de situaciones. El tipo que más prevalece es el siguiente: una sola línea de espera (que puede estar vacía en ciertos momentos) se forma frente a una instalación de servicio, dentro de la cual se encuentran uno o más servidores. Cada cliente generado por una fuente de entrada recibe el servicio de uno de los servidores.
En
muchos casos los servidores pueden ser
una máquina o una parte del equipo, con esta misma línea de ideas, los clientes
en la cola no tienen que ser personas. Por ejemplo: pueden ser unidades que esperan
ser procesadas en una cierta máquina. No es necesario que de hecho se forme
físicamente una línea de espera delante de una estructura física que constituye
la instalación de servicio; es decir, los miembros de la cola pueden estar
dispersos en un área mientras esperan que el servidor venga a ellos, como las
máquinas que esperan reparación.
Se designa por l al número promedio de llegadas al sistema por unidad de
tiempo (minuto, hora, día, etc.) y por m, al número promedio de servicios del sistema por unidad de
tiempo. El cociente l/m, denotado por r, representa el factor
de tráfico. Si r > 1, llegan más clientes al sistema por unidad de tiempo
de los que se les puede dar servicio y, por lo tanto, se forma una línea de
espera en crecimiento sin limite. El factor r > 1 indica la
necesidad de añadir al sistema más servidores, S, hasta que se logre que el factor de utilización (o de uso) del sistema
con servidores múltiples, sea menor a uno, es decir:
Esto quiere decir, que el sistema de servidores múltiples
podrá dar servicio, por unidad de tiempo, a todas las llegadas en este
intervalo de tiempo.
Cuando una persona llega a formarse en una cola, se
pregunta: ¿Cuánto tiempo tengo que esperar hasta que me proporcionen servicio
(Wq)? ¿Cuánto tiempo tengo que esperar hasta que salga del sistema
(Ws)? ¿Cuánta gente está esperando en la cola (Lq)?
¿Cuánta gente se encuentra en el sistema (Ls)?
Gráficamente, se tiene:
q
Suponga que se dirige al cine, donde estrenan una película
ganadora de 13 premios Oscar, y se
pregunta, mientras conduce su automóvil, ¿cuál será la probabilidad que se
encuentren n personas (n ³ 0) en el sistema (1 comprando el boleto, y n-1 formados) en
el momento t de formarme en la cola
(Pn (t))?. De lo anterior se deduce que p0 (t)
es la probabilidad que al llegar usted a la ventanilla del cine en el
momento t no haya nadie formado, ni
comprando boletos.
En forma resumida se tiene la siguiente notación:
l :
Número promedio de llegadas al sistema por unidad de tiempo.
m : Número promedio
de servicios por unidad de tiempo.
:
Factor de tráfico con un servidor.
S : Número de
servidores en el sistema.
Ws : Tiempo Total de
permanencia del cliente dentro del sistema, conformado por el tiempo de espera
en fila más el de atención.
Lq : Valor esperado del número de clientes formados en la cola.
Ls : Número de clientes en el sistema esperando en la cola y recibiendo un servicio.
p0
(t) : Probabilidad de
que en el momento t de arribo a la
cola, el sistema se encuentre vacío.
Pn : Probabilidad de que exactamente n clientes se encuentren en el sistema. S recibiendo servicio, en el caso de S (S ³ 1) servidores,
y n-S formados en la cola.
ts : Tiempo de servicio por cliente. Es el valor inverso a la
velocidad de despacho:
ta : Tiempo de llegada o de arribo por cliente. Es el valor
inverso a la velocidad de arribo:
Y : Factor de uso, es el cociente entre el factor de
trafico y el producto del “número de estaciones”, S, por el “Bulk service”, k.
Para sistemas donde los tiempos de arribo y los tiempos de servicio son
determínisticos toma el valor 1, en caso contrario toma un valor inferior a la
unidad.
Orientativamente, un buen número es 0.75 < Y
< 0.8.
AUTOR
COPPOLA,
Adriana Carolina
E-mail:
petaloacc@yahoo.com
UTN – FRT