CLIENTES LIMITADOS

 

MODELOS DE COLAS CON UNA POBLACIÓN DE CLIENTES LIMITADOS(M /M /S /N)

 

Este sistema presenta las siguientes características:

M = Los tiempos entre llegadas son probabilísticas y siguen una distribución exponencial. 

M = Denota que los tiempos de servicio son probabilísticos y siguen una distribución exponencial. 

S = Representa la cantidad de estaciones o canales de servicio que existen en el sistema(servidores).

N = Representa el número máximo de clientes que pueden estar en el sistema en cualquier momento, es decir en servicio o en espera en la fila.

 

En los modelos anteriores suponen una población infinita de clientes, pero esto no siempre es así. Consideremos el caso que haya un número finito de clientes, o unidades que requieran atención, es decir que nosotros conocemos con precisión el número de los clientes.


Por ejemplo:

Cuadro de texto: T

 

 


En la gráfica podemos observar un sistema que consiste en un depósito R, que contienen unidades o “clientes” que requieren atención, una línea de espera T( a la cual ingresan cuando requieren servicio) y un conjunto de S canales de servicio.

Son ejemplos de este modelo:

·        Personal de mantenimiento que proporciona servicio de reparación a un laboratorio de computación, formado por cincuenta computadoras. En este caso las cincuenta computadoras son los clientes y los miembros del personal de reparación son los servidores.

·        Una compañía da mantenimiento a los ascensores de treinta edificios de oficinas. Los treinta edificios son clientes y el personal de reparación son los servidores.

En estos ejemplos la población de clientes es bastante limitada, por lo que obtener medidas de rendimiento utilizando la suposición de una población de clientes infinita puede producir resultados no válidos como ser sobredimensionar la cantidad de servidores necesarios.

Esto es debido a que la suposición de una población o clientes finitos afecta el proceso de llegada. Para poblaciones infinitas las tasas de llegada permanecen igual sin importar cuantos clientes hayan llegado, pero con una población finita la tasa de llegadas disminuye conforme aumenta el número de clientes en el sistema, ya que existen algunos que aun no ingresaron al sistema. Es decir la tasa cambia según sea el número de clientes en el sistema.

Por ejemplo, las maquinas de una fabrica constituyen una población finita de clientes. Si todas las máquinas se encuentran en operación, es decir fuera del sistema, la tasa de llegadas estará a su nivel mas alto, pero si todas ellas se encuentran en el sistema la tasa de llegadas bajara a cero.

Para poder determinar cual será esta tasa debemos considerar la tasa de llegada de cada miembro en particular, es decir con qué frecuencia llegan los clientes al sistema.

Cuando n miembros( de los N) están dentro del sistema y N - n clientes están fuera, la distribución del tiempo que falta para la próxima llegada al sistema, es la distribución de los tiempos restantes para los N – n miembros. Esta distribución debe ser exponencial con parámetro l = (N – n)* l.

Si tenemos cincuenta computadoras y l = 0.5 a cada una de ellas le corresponde una probabilidad de 0.01. entonces si tenemos en el sistema treinta maquinas, la probabilidad del tiempo que falta para que lleguen las veinte restantes es de 0.2.

Cuando l = 0  para n = N, cualquier sistema que se ajuste a este modelo alcanzará en algún momento la condición de estado estable.

 

 

MODELO M/M/1/N (CASO DE UN SERVIDOR S = 1)

 

 

 

 


MODELO M/M/S/N (CASO PARA VARIOS SERVIDORES S > 1)

 

 

FORMULAS A UTILIZAR CON POBLACIONES FINITAS

 

 

           

Estas formulas son las que utiliza el software Win QSB, que se emplea actualmente para la resolución de problemas de colas. El siguiente ejemplo será desarrollado empleando este software.

 

Ejemplo:

Una fábrica cuenta con 7 mecánicos, los cuales atienden a 100 maquinas. Cada maquina falla 1 vez cada 4 horas. El tiempo de reparación por cada maquina es exponencial con media de 15 minutos.

O sea que el tamaño de la población es n = 100, la cantidad de servidores S = 7, la velocidad de arribo l = ¼ fallas por hora por máquina, la velocidad de despacho m = 4 máquinas por hora.

Si cargamos estos datos en el software obtendremos la siguiente tabla que muestra el análisis de las medidas de rendimiento.

 

 

En esta tabla podemos resaltar los valores importantes como ser, el aprovechamiento de los servidores(83%), número esperado de clientes en la cola(2), número esperado de clientes en el sistema(8), probabilidad de que un cliente tenga que esperar(52.53%), tiempo esperado en cola(0.07805) y tiempo esperado en el sistema(0.3285).

Si hubiéramos considerado una población infinita habríamos estado sobre dimensionando los coeficientes en el sistema. Por ejemplo el número esperado de maquinas fuera de operación sería de 13 máquinas  aproximadamente en lugar de los 8 planteados anteriormente.

Esto se debe a que con una población infinita la tasa de llegadas se fija en 25 máquinas por hora, independientemente de cuantas máquinas estén en reparación en cualquier momento. Pero si consideramos una población finita de 100 máquinas, y estas se encuentran trabajando la tasa de fallas es también de 25 por hora(l * n). Pero si por ejemplo 10 máquinas fallan(90 máquinas se encuentran operando) la tasa baja a 22.5.

A continuación se muestra una tabla con el análisis económico

 

 

Sistema Actual

Sistema Óptimo

Número de servidores

7

8

Costo por servidores

$ 50

$ 50

Costo de servicio

$ 350

$ 400

Número medio en el sistema

7.5895

6.5145

Costo de espera del cliente

$ 100

$ 100

Costo de Espera

$ 758.85

$ 651.45

 

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Costo Total

$ 1108.85

$ 1051.45

 

Los costos para cada servidor y por espera son los mismos para clientes finitos que para clientes infinitos, pero es en el costo total del sistema en el cual se ve reflejada la diferencia.

El costo total del sistema para clientes finitos es menor que el costo que tendríamos por utilizar un sistema con clientes infinitos, además se propone un modelo óptimo para este sistema en el cual se sugiere que se contrate un operario mas, con el cual observamos que disminuye aun más el costo total por hora del sistema. Esta cantidad es menor que los 9 que se obtienen cuando se supone una población infinita, debido a que menos máquinas sufren fallos.

 

 

AUTORES

 

·          NOMURA, Noakisa (fernandanom@ciudad.com.ar)

·          SANTILLAN, Verónica

·          VIEYRA, Vanesa

- UCSE -

 

 

 

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