Considere un
sistema de dos colas infinitas en serie,
en donde cada instalación de servicio tiene un solo servidor. Todos los tiempos
de servicio son independientes y tienen una distribución exponencial con media
de 3 minutos en la instalación 1 y 4 minutos en la instalación 2. La
instalación 1 tiene un proceso de entradas Poisson con tasa media de 10 por
hora.
(a) Encuentre la
distribución de estado estable para el número de clientes en la instalación 1 y
después en la instalación 2. Luego, muestre la forma de solución de producto para la distribución conjunta del número de las respectivas instalaciones.
(b) ¿ Cuál es la
probabilidad de que ambos servidores
estén desocupados?.
(c) Encuentre el
número total esperado de clientes en
el sistema y el tiempo de espera total
esperado (incluyendo servicio) para un cliente.
Estudie el sistema siguiente y después
identifique todas las situaciones de líneas de espera relacionadas. Para cada
situación, defina los clientes, lo servidores, la disciplina de servicio, el
tiempo de servicio, la longitud máxima de la fila y, finalmente, la fuente.
En un taller
se reciben la solicitudes de trabajo para procesarlas. Después de que se
reciben el jefe de taller decide si es un trabajo normal o un trabajo urgente.
Algunas de estas solicitudes requieren el uso de un tiempo de máquina del cual
se tiene varias. Los pedidos restantes se procesan en una línea de producción
de dos etapas, de las cuales solamente hay dos. En cada uno de los dos grupos,
se asigna especialmente una instalación para manejar los trabajos urgentes. Los
trabajos que llegan en cualquier instalación se procesan según su orden de
llegada, los trabajos terminados se remiten desde una zona terminal de
transporte que tiene una capacidad limitada.
Las
herramientas afiladas para las diferentes máquinas se toman de un cajón de
herramientas donde los operadores cambian las herramientas viejas por nuevas.
Cuando una máquina se descompone, se llama a un mecánico de la estación de
servicio para que la repare. Las máquinas que trabajan con los pedidos urgentes
siempre reciben prioridad tanto al recibir nuevas herramientas como al recibir
el servicio de reparación.
Una empresa
minera debe preocuparse del precio del transporte de los materiales pesados
extraídos, y en ese precio de transporte una parte importante comprende los
gastos de carga en el puerto. Se trata de buscar los medios de carga que
permitan hacer mínimo el conjunto de los costos siguiente.
a)
anualidades de amortización y cargas de explotación de las
instalaciones para realizar la carga;
b)
gastos del personal empleado para la carga;
c)
tasa de fletes, corregida por el exceso sobre el tiempo de
permanencia en puerto (tiempo de estancia del navío en puerto, fijado en cada
puerto), o por lo contrario, bonificaciones por el tiempo ganado.
La selección
puede hacerse, por lo que se refiere a a),
entre dos instalaciones posibles: 4000 y 6000 toneladas por hora; y para b), entre tres equipos si el régimen de
trabajo en el puerto es continuo, o entre dos equipos, si el régimen de trabajo
es discontinuo. El descanso semanal puede ser o no ser aplicado. Hay que prever
aumentos considerables en costo debido a horas de trabajo suplementarias. Para c), la tasa se determina agregando al
costo de transporte durante la travesía, el perdido durante la estancia en
puerto.
La estancia en
puerto es aleatoria, ya que depende de la importancia del volumen de la carga,
de la velocidad de carga y de la congestión del puerto. La ley de probabilidad
del servicio es difícil de evaluar; volveremos a este asunto más tarde.
Las llegadas
de los barcos al puerto en busca de carga, son poissonianas, pero la tasa de
esas llegadas varía con la estación (llegadas más frecuente durante e verano
que durante el invierno).
La duración del servicio 1/m es el
tiempo de carga en el caso de servicio continuo en el muelle. Si el servicio no
fuera continuo, sino interrumpido, por periodos durante los cuales no se
trabaja (las noches, por ejemplo) puede haber un tiempo de interrupción durante
las operaciones de carga. La duración total del servicio comprende, pues:
-
la
duración del servicio propiamente dicho,
-
el
tiempo de espera durante la carga,
-
el
tiempo de espera para dejar libre el muelle.
Se ha
verificado que la duración total del servicio s podía ser calculada correctamente mediante la fórmula:
33.1
s = so + k L/v;
en donde so es el conjunto
de los tiempos muertos (maniobras de acercamiento, aparejo, etc.);
L es el
desplazamiento bruto del barco considerado;
V es la
velocidad de carga.
Si se conoce pues la distribución
estadística, según su desplazamiento bruto, de los barcos que llegan a cargar
en el puerto considerado, se puede deducir la de las duraciones de servicio en
cada uno de los casos ( v= 4000
ton/h; v= 6000 ton/h).
Si l es la tasa media de las llegadas, y m la del
servicio, la intensidad de tráfico y =l /m será denominada tasa de ocupación de la
estación en el muelle. Llamaremos tasa de no ocupación, la cantidad
complementaria 1 - y.
CÁLCULO DE LAS
LÍNEAS DE ESPERA EN EL CASO DE UN TRABAJO CONTINUO CON TRES TURNOS
He aquí, como
un ejemplo, los resultados obtenidos en el caso de tres turnos y de 32 llegadas
de barcos por mes y bajo la hipótesis verificada de pesados estacionarios y
permanentes. Como es lo normal, las líneas de espera son menores importantes
para una instalación de 6000 ton por hora que para una instalación de 4000 ton
por hora. El muelle estará ocupado el 36% del tiempo, en tanto, que en
el otro caso, será 42% [p(>0) = 1
– Po]
n Numero de unidades en el sistema |
Estado del Muelle |
Probabilidad pn |
|
Instalación 4000 t/h |
Instalación 6000 t/h |
||
0 |
Barcos en
muelle o esperando |
0.580 |
0.640 |
1 |
1 << <<.0 <<
<< |
0.303 |
0.277 |
2 |
1 << <<.1 <<
<< |
0.087 |
0.067 |
3 |
1 << <<.2 <<
<< |
0.022 |
0.013 |
4 |
1 << <<.3 <<
<< |
0.006 |
0.002 |
5 |
1 << <<.4 <<
<< |
0.002 |
0.000 |
6 |
1 << <<.5 <<
<< |
0.000 |
0.000 |
Mediante
tablas semejantes ala que antecede para tasas de llegadas diferentes, es
posible determinar la probabilidad de una duración de estancia diferente (
espera + duración de servicio) inferior a 24 horas, comprendidas entre 24 y 48
horas, 48 y 72 horas, etc.
En el caso de
32 barcos por mes, se obtiene la tabla 33.2 que permite calcular los aumentos
por sobrepasar el tiempo de permanencia permitido, teniendo en cuenta el costo
que implica un día de espera después de una franquicia de 24 horas.
Duración de la estancia |
Instalación 4000 T/H |
Instalación 6000 T/H |
0 < T 24 h |
0.942 |
0.982 |
24 h < T 48 h |
0.056 |
0.018 |
48 h < T 72 h |
0.002 |
0.000 |
72 h < T |
0.000 |
0.000 |
CÁLCULO DE LAS
LÍNEAS DE ESPERA EN EL CASO DE UN TRABAJO CONTRA TURNOS Y DESCANSO SEMANARIO.
La teoría
clásica, que ha sido aplicada en el caso del trabajo continuo, debe ser
acondicionada para hacer frente a la hipótesis del trabajo discontinuo. Tomemos
el caso en donde la única discontinuidad en el trabajo lo representa el domingo; en ese caso, el
domingo es un día en el cual, ningún barco puede ser cargado no tampoco salir
de puerto. Por consiguiente, el lunes por la mañana habrá un exceso de trabajo
que será absorbido poco apoco en el transcurso de la semana. Habrá que estudiar
el fenómeno con régimen transitorio y considerar las probabilidades pn(t),
y de allí n(t). Encontraremos
evidentemente, que n(t) es mas
elevada al principio de la semana; las Tablas 33.3 y 33.4 hachas para los casos
de interrupción de 24 o 36 hs, muestran la evolución de pn(t) para
épocas separadas por 9h 30 min., las unas de las otras, a partir del lunes a
las 7 de la mañana; esto, para una velocidad de carga de 4999 ton por hora.
Dela misma se han establecido las probabilidades pn(t) relativas a
una velocidad de 6000 ton por hora.
Tabla
33.3
Interrupción
de 24 Horas
Pn(t) N |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
Fin de
Semana |
0 |
0.199 |
0.339 |
0.426 |
0.480 |
0.514 |
0.536 |
0.550 |
0.560 |
0.567 |
|
0.580 |
1 |
0.317 |
0.310 |
0.305 |
0.303 |
0.303 |
0.303 |
0.303 |
0.303 |
0.303 |
... |
0.303 |
2 |
0.255 |
0.192 |
0.154 |
0.132 |
0.117 |
0.108 |
0.102 |
0.098 |
0.095 |
... |
0.087 |
3 |
0.140 |
0.097 |
0.070 |
0.054 |
0.043 |
0.036 |
0.031 |
0.028 |
0.026 |
... |
0.022 |
4 |
0.060 |
0.041 |
0.029 |
0.022 |
0.016 |
0.012 |
0.010 |
0.008 |
0.007 |
... |
0.006 |
5 |
0.021 |
0.015 |
0.011 |
0.007 |
0.005 |
0.004 |
0.003 |
0.002 |
0.002 |
... |
0.002 |
6 |
0.006 |
0.005 |
0.004 |
0.002 |
0.002 |
0.001 |
0.001 |
|
|
... |
0.000 |
7 |
0.002 |
0.001 |
0.001 |
|
|
|
|
|
|
... |
0.000 |
Tabla
33.4
Interrupción
de 32 Horas
Pn(t) N |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
Fin de
Semana |
0 |
0.140 |
0.27 |
0.367 |
0.434 |
0.481 |
0.514 |
0.535 |
0.550 |
0.560 |
|
0.580 |
1 |
0.273 |
0.289 |
0.294 |
0.297 |
0.300 |
0.301 |
0.301 |
0.301 |
0.302 |
... |
0.303 |
2 |
0.266 |
0.213 |
0.173 |
0.147 |
0.129 |
0.116 |
|
|
|
... |
0.087 |
3 |
0.176 |
0.125 |
0.092 |
0.070 |
0.054 |
0.042 |
|
|
|
... |
0.022 |
4 |
0.088 |
0.061 |
0.044 |
0.031 |
0.022 |
0.017 |
|
|
|
... |
0.006 |
5 |
0.036 |
0.025 |
0.018 |
0.014 |
0.010 |
0.007 |
|
|
|
... |
0.002 |
6 |
0.013 |
0.010 |
0.008 |
0.005 |
0.004 |
0.003 |
|
|
|
... |
0.000 |
7 |
0.005 |
0.044 |
0.003 |
0.001 |
0.001 |
0.000 |
|
|
|
... |
0.000 |
Tabla
33.5
N |
Pn |
||||
V= 4000 t/h |
V= 6000 t/h |
||||
|
Alto de 24 Hs. |
Alto de 32 Hs. |
Alto de 24 Hs. |
Alto de 32 Hs. |
|
0 |
0.502 |
0.461 |
0.569 |
0.497 |
|
1 |
0.305 |
0.296 |
0.286 |
0.282 |
|
2 |
0.122 |
0.128 |
0.096 |
0.110 |
|
3 |
0.046 |
0.070 |
0.032 |
0.044 |
|
4 |
0.017 |
0.027 |
0.011 |
0.019 |
|
5 |
0.006 |
0.011 |
0.003 |
0.006 |
|
6 |
0.002 |
0.005 |
0.001 |
0.002 |
|
7 |
0.000 |
0.000 |
0.000 |
0.000 |
|
Tabla
33.5 bis
Duración de la estancia |
Instalación 4000 T/H |
Instalación 6000 T/H |
0 < T 24 h |
0.808 |
0.894 |
24 h < T 48 h |
0.174 |
0.103 |
48 h < T 72 h |
0.017 |
0.003 |
72 h < T |
0.001 |
0.000 |
Así pues se trata de un fenómeno
periódico cuyo periodo es la semana. Se han calculado las probabilidades medias
pn (Tabla 33.5). Se podrá notar, que p(>0) pasa de 0.42 en
servicio continuo, a 0.498 con alto de 24 horas, y a 0.539 con alto de 32
horas; esto, para v= 4000 n/h. Para v =6000 ton/h se pasa de 0.3 a 0.431 y
a 0.503. A partir de esos datos, se ha extraído la Tabla 33.5 bis, parecida a
la 33.2, también par 32 barcos, pero según la hipótesis de un alto de 24 horas.
Se concluye, que el descanso semanario es muy costoso, siendo perfectible el
pagar horas extras, inclusive con una tasa de 50%.
Suponiendo
siempre que la llegada de los barcos se efectúa con una densidad constante,
tanto durante la noche como durante el día, el trabajo con dos turnos introduce
obligadamente una acumulación relativa durante la mañana, debido a la llegada
durante la noche de barcos que tendrán que esperar al primer turno. Poco a
poco, esta congestión tiende a desaparecer cada mañana y así todos los días.
Por tanto, habrá que considerar las probabilidades transitorias pn(t)
durante el día; calcularemos enseguida las probabilidades de estancia de 0 a 24
horas, de 24 a 48 horas, etc. Los cálculos han sido en este caso mucho más
complejos, habiendo
TABLA 33.6
Para v = 4 000
ton/h
|
Pn (t) |
|||
n |
Al
principio del
1º Turno |
Al
principio del
2º Turno |
Al
final del 2º
Turno |
Media Diaria |
0 |
0,432 |
0,508 |
0,539 |
0,497 |
1 |
0,341 |
0,313 |
0,306 |
0,318 |
2 |
0,151 |
0,121 |
0,108 |
0,126 |
3 |
0,052 |
0,04 |
0,033 |
0,041 |
4 |
0,017 |
0,013 |
0,01 |
0,013 |
5 |
0,005 |
0,004 |
0,003 |
0,004 |
6 |
0,002 |
0,001 |
0,001 |
0,001 |
TABLA 33.7
Para
v = 6 000 ton/h
|
Pn (t) |
|||
n |
Al
principio del
1º Turno |
Al
principio del
2º Turno |
Al
final del 2º
Turno |
Media Diaria |
0 |
0,413 |
0,529 |
0,579 |
0,507 |
1 |
0,345 |
0,301 |
0,288 |
0,311 |
2 |
0,159 |
0,114 |
0,092 |
0,122 |
3 |
0,057 |
0,038 |
0,028 |
0,041 |
4 |
0,018 |
0,013 |
0,009 |
0,013 |
5 |
0,006 |
0,004 |
0,003 |
0,004 |
6 |
0,002 |
0,001 |
0,001 |
0,002 |
requerido el empleo de calculadoras electrónicas. Los resultados
obtenidos se condensan en las tablas siguientes:
Se nota que p0 pasa, de la
mañana a la tarde, de 0.43 a 0.54, y que la tasa media de ocupación es de 50.3%
para v= 4000 ton/h; y para v=6000 ton/h, p0 pasa de
0.41 a 0.58; el alto nocturno es entonces mas largo.
A
partir de esos elementos, se calculo la Tabla
33.8.
TABLA 33.8
Duración
de la estancia |
v=4 000 ton/h |
v=6 000 ton/h |
0<T<24 h |
0,815 |
0,818 |
24 h<T<48 h |
0,166 |
0,163 |
48 h<T<72 h |
0,017 |
0,019 |
72 h<T |
0,001 |
0 |
Los gastos
totales de personal, de equipo y de tiempo de estancia de los barcos se
calculan fácilmente: los dos primeros se conocen, y el relativo al tiempo de
estancia se evalúa a partir de las probabilidades que acaban de ser
proporcionadas. La determinación ha sido hecha para varias cadencias medias de
llegadas mensuales de barcos.
A partir de la
repartición de los números medios de barcos según el mes, se calculó, para
diversos niveles de producción anual, el costo de explotación anual para v=4000 ton/h, y para v= 6000 ton/h.
a)
Selección de la
cadencia de carga
Por
debajo de 5000000 de ton de carga, la instalación de 4000 ton/h es la más
ventajosa; alrededor de los 5 millones de ton, es la instalación de 6000 ton/h
la más aconsejable. Se puede además actualizar los costos para el periodo de
producción.
b)
Selección del régimen de trabajo
El régimen con
dos turnos es preferible, cualquiera que sea la velocidad de descarga que se
escoja, si el numero de barcos es inferior o igual a 25; el régimen o sistema
de trabajo con tres turnos es el que debe elegirse cuando el numero de barcos
es mayor de 25.
Se pusieron en
evidencia los resultados siguientes:
Para una
instalación de 4000 ton/h, es a partir de 4300000 ton que se tiene interés en
pasar del sistema de dos turnos al de tres turnos. Para una instalación de 6000
ton/h eso será conveniente a partir de las 4500000 ton. Si no se observara esta
regla, se perdería, para una producción de 6000000 ton, una cantidad de 46
millones de francos por año, para una instalación de 4000 ton/h; y para una
instalación de 6000 ton/h, la pérdida sería de 52 millones de francos.
a)
Las diferencias entre el costo total de explotación para
instalaciones de 4000 a 6000 ton/h son poco importantes.
b) La
sensibilidad es muy importante, por otra parte, en lo que se refiere al régimen
o sistema de trabajo. Habrá que evitar interrupciones nocturnas y semanales.
c) Si se
cambiasen los diferentes costos unitarios, habrá que volver a hacer nuevas
curvas; estas se pueden obtener en forma bastante sencilla partiendo de las
precedentes, mediante una construcción geométrica simple. El conjunto de los
sistemas de curvas permiten hacer frente a numerosas situaciones reales y
proporciona preciosas informaciones.
La
empresa minera recibió los consejos siguientes:
1. Escoger una
instalación de 600 ton/h si la producción debe sobrepasar a los 6 millones de
ton después de algunos años de haber iniciado sus labores;
2. Adoptar un
trabajo sin interrupciones lo que plantea un problema social;
3. Iniciar
actividades con un régimen de dos turnos y pasar a tres turnos una vez que la
producción sobrepase ampliamente 4000000 ton;
4. Revisar
posteriormente estas conclusiones teniendo en consideración la evolución de los
parámetros.
Un estudio de
este tipo permitió ver claro, orientar y determinar los umbrales; constituye un
notable ejemplo de preparación racional de las decisiones.
Considere un
sistema de líneas de espera de un solo servidor con una cola finita que puede
manejar un máximo de dos clientes excluyendo
el que está en servicio. El servidor puede proporcionar servicio en grupo a dos clientes a la vez, en donde el tiempo de
servicio tiene una distribución exponencial con una media de una unidad de
tiempo independientemente del número que está atendiendo. Cuando la cola no
está llena, los clientes llegan en forma individual de acuerdo a un proceso
Poisson con una tasa media de uno por unidad de tiempo.
(a) Suponga que el
servidor debe servir a dos clientes al mismo tiempo. Así, aunque el servidor
esté desocupado cuando hay sólo un cliente al sistema, tiene que esperar a que
llegue otro antes de comenzar el servicio. Formule el modelo de colas como una cadena de Markov de tiempo continuo definiendo los estados y después construyendo el
diagrama de tasas. Proporcione las ecuaciones de balance, pero no resuelva.
(b) Ahora suponga
que el tamaño del grupo es dos solo
si hay dos clientes en el sistema cuando el servidor termina el servicio
anterior. Así, si el servidor está desocupado cuando hay nada más un cliente en
el sistema deberá atender a este único cliente y cualquier llegada siguiente
deberá esperar en la cola hasta que el servidor termine con este cliente.
Formule el modelo de colas que resulta como una cadena de Markov de tiempo continuo definiendo los estados y
después construyendo el diagrama de tasas. Proporcione las ecuaciones de
balance, pero no resuelva.
Un taller de
máquinas ha almacenado 10 piezas de una parte de repuesto para la reparación de
una máquina. Los reabastecimientos del inventario de 10 piezas cada uno se
realizan cada 7 días. La descompostura de la máquina de Poisson ocurre tres
veces por semana en promedio. Determine la probabilidad de que la máquina
permanecerá descompuesta debido a que no se disponga de partes durante 2 días y
durante 5 días.
La única
ventanilla de un banco que proporciona servicio a los clientes en sus
respectivos automóviles opera con las siguientes características. La llegada
del cliente tiene una distribución de Poisson con un valor medios de 8 por
hora. El tiempo de servicio tiene una distribución exponencial con valor medio
de 4 minutos. El espacio frente a las ventanillas tiene una capacidad para un
máximo de 4 automóviles, incluyendo al carro que se le está proporcionando el
servicio.
(a) ¿ Cuál es la
probabilidad que un automovilista maneje directamente a la ventanilla sin
formar cola?
(b) ¿ Cuál es la
probabilidad que un automovilista tenga que esperar en la cola?
(c) ¿ Cuál es el
tiempo promedio de espera antes de que se proporcione servicio a un
automovilista?
El
supermercado ABC está tratando de determinar la tasa de servicio que necesita
en las horas pico. ¿Qué tasa de servicio es necesaria si se supone una línea,
un servidor, llegadas Poisson, tiempos de servicios exponenciales y una tasa
promedio de llegadas de 80 clientes por hora y:
a)
La espera promedio (incluyendo servicio) no debe exceder 2.4
minutos?
b)
La espera promedio (en la cola) no debe exceder 2.4 minutos?
MONO
COLA MONOCANAL OTRAS (SERVIDOR, TIEMPOS
DE SERVICIO CONSTANTES)
Un modelo de
un servidor con llegadas Poisson y tiempos de servicios constantes tiene una
tasa de llegadas de 30 por hora y una tasa de servicio de 40 por hora.
Encuéntrese la longitud de línea y el tiempo de espera promedio tanto en la
cola como en el sistema. ¿Cuál es la utilización del sistema?
Dos mecánicos
están atendiendo 5 máquinas en un taller. Cada máquina se descompone según una
distribución de Poisson con media de 3 por hora. El tiempo de reparación por
cada máquina es exponencial con media de 15 minutos.
(a) Encuentre la
probabilidad de que los dos mecánicos estén ociosos y la de que uno de ellos
esté ocupado.
(b) ¿Cuál es el
número esperado de máquinas inactivas que no se les está dando servicio?.
A la piscina del CENARD llega un
promedio de 10 personas por hora tratando de entrenar.
Los tiempos
entre llegadas son exponenciales. El CENARD tiene tres carriles espaciales para
entrenamiento. Si un nadador esta en carril, nada al lado derecho del carril.
Si hay dos nadadores en un mismo carril, cada uno de ellos usa uno de los lados
del carril. Siempre entran los nadadores a los carriles que tienen el menor numero
de ocupantes. Si se ocupan los tres carriles cada uno con dos nadadores, el
nadador que llega se disgusta y se va a correr.
1.
¿Qué fracción de tiempo habrá tres personas entrenando?.
2.
En promedio, ¿cuántas personas están nadando en la piscina?.
3.
¿Cuántos carriles debe asignar el CENARD para entrenamiento
para estar segura que cuando mucho se disguste el 5% de los nadadores y se
vayan a correr?
El servicio
Nacional de Impuestos (SNI) está planeando abrir una oficina sucursal para
ayudar a los ciudadanos a llenar sus declaraciones. Se quiere determinar cuanto
personal consultor debe haber en la oficina. De la experiencia anterior, el SNI
sabe que el tiempo de servicio varía exponencialmente con un promedio de 15
minutos. Se espera que la sucursal reciba un promedio de 10 causantes por hora,
aunque esto varía en forma Poisson. La oficina tendrá una pequeña sala de
espera en donde las personas pueden esperar a que se desocupe el siguiente
consultor. El SNI desea que no haya más de tres personas en promedio esperando.
¿Cuántos consultores de impuestos se necesitan?
SERVIDORES MÚLTIPLES
Como vicepresidente de Texas
Airways, se la ha pedido que atienda la queja de los pasajeros en el aeropuerto
de Dallas están perdiendo mucho tiempo en la ventanilla de registro y que la
fila es demasiado larga. Para saber más acerca de este problema, usted ha
desarrollado un modelo de colas para estudiar el sistema existente, que
actualmente consiste e una sola fila de espera y cuatro agentes que registran a
los pasajeros.
Después de
hacer un análisis preliminar de los datos, usted descubre que los pasajeros
llegan durante las horas mas concurridas de acuerdo con un proceso de Poisson,
con una tasa de 132 por hora. Cada agente de boletos requiere un promedio de
1.75 minutos para registrar a un pasajero, pero el tiempo que tarda con este es
aleatorio y sigue una distribución exponencial. Prepare un informe
administrativo que vaya en las siguientes directivas:
1.
Para las horas de mas influencia, determine el numero promedio de pasajeros que esperan
en fila y en cuanto tiempo(en minutos) invierten tanto en la fila esperando a
ser atendidos, como en el proceso de registro completo.
2.
Como consecuencia de los resultados obtenidos en al
directiva_1, usted decide analizar el problema junto con los agentes de
registro para averiguar que es lo que esta ocasionando los retrasos. Algunos
pasajeros, dicen los agentes, solamente necesitan registrarse y se retiran
rápidamente. Otros necesitan mas tiempo, compran el boleto verifican el horario
del vuelo, etc. Basándose en este análisis, se sugiere que el servicio podrían
manejarse si se tienen dos filas separadas: una (con un solo agente) dedicada a
los pasajeros con problemas especiales que lleva tiempo resolver y la otra (con
tres agentes) exclusivamente para los pasajeros que se registran. Para examinar
esta idea, se analizaron con mas detalles los datos y se llego a la conclusión
de que un promedio de 12 de los 132 pasajeros llegan cada hora a solicitar un
trato especial. Su tiempo de atención no es exponencial, sino que requiere un
promedio de tres minutos con una desviación estándar de un minuto. Los
restantes 120 pasajeros que llegan cada hora requieren un promedio de 80 segundos para registrarse,
y este tiempo es aleatorio con una distribución exponencial. Para estas dos
colas determine las mismas estadísticas que en la directiva_1 para los
pasajeros que necesiten atención especial y para aquellos que solamente
necesiten registrarse. Suponga que las llegadas a cada una de las colas todavía
siguen un proceso de Poisson con tasas de llegadas adecuadas.
3.
El señor Carlos Moreno, gerente del mostrador de registro de
Texas Airways en al aeropuerto de Dallas comenta que se podría mejorar mas el
servicio debido a que muchas personas
que se registran son pasajeros habituales que no llevan equipaje. Tal
vez, sugiere, podría ser ventajoso dividir la recién propuesta fila de registro
en dos colas: una para los pasajeros con equipaje y otra para los pasajeros sin
equipaje. Un análisis de datos revela que del promedio de los 120 pasajeros que
llegan a registrarse por hora, 45% de ellos tiene equipaje y requieren un
promedio de 96 segundos cada uno para ser atendido; este tiempo es aleatorio y
sigue una distribución exponencial. El 55% restante no llevan equipaje y pueden
ser atendidos en un tiempo promedio de 48 segundos; este tiempo también es aleatorio y sigue una
distribución exponencial. Suponiendo que las llegadas en las dos colas siguen
un proceso de Poisson con tasas de llegada adecuadas, explique porque en este
contexto usted No Debería considerar
tener un agente de registro para los pasajeros con equipaje y dos para los
pasajeros sin equipaje, si tiene dos filas separadas para los pasajeros que se
registran. En vez de ello Debería considerar
tener dos agentes de registro para los pasajeros con equipaje y uno para los
pasajeros que no llevan equipaje.
4.
¿Cuales son las estadísticas de tiempo de espera para los
pasajeros que llevan equipaje y los que no en el sistema propuesto de la
directiva_3 ?. ¿Quiénes, en promedio, esperan mas en la fila los pasajeros con
equipaje o las pasajeros que no llevan equipaje?.
5.
Suponga que el presidente de la compañía desea que los
pasajeros que se registran inviertan, en promedio, menos de cinco minutos
esperando en la fila para poder registrarse. ¿ Que sistema escogería usted, el
que se propone en la directiva_2 o el la directiva_3?.
La Ace
Machining tiene un departamento de herramientas a donde acuden los operarios en
busca de alguna herramienta especial. Los operarios solicitan el servicio a una
tasa promedio de 20 veces por hora. Se requiere un promedio de 4 minutos para
procesar la solicitud de un operario. La paga de los operarios es de $8 por
hora y la de los empleados del departamento de herramientas, de $3 por hora. Si
aumentando el número de empleados se lograra reducir en forma proporcional el
tiempo de servicio, ¿cuántos empleados deberían contratarse para el
departamento de herramientas? (supóngase llegadas Poisson y tiempo de servicios
exponenciales).
En una línea
de producción suponga que existe k estaciones en serie. Considere que
los trabajos llegan a la estación 1 desde una fuente infinita según una distribución
de Poisson con tasa media l por unidad de
tiempo. La salida de la estación i se utiliza como entrada para la
estación i + 1. debido a que existen artículos defectuosos en cada
estación, el porcentaje de artículos en buen estado de la estación i
es igual a 100ai, siendo 0 £ ai £ 1. El
porcentaje restante 100(1 – ai) representa
los defectuosos en la estación i. Suponga que la distribución de
tiempo de servicio de la estación i es exponencial con tasa media mi por unidad de
tiempo.
(a) Obtenga una
expresión general para determinar el espacio de almacenamiento asociado a cada
estación i de manera que todos los
artículos que llegan (no defectuosos) puedan acomodarse b% de tiempo.
(b) Sea l = 20
artículos por hora y mi = 30
artículos por hora para todas las estaciones. El porcentaje de defectuosos en
cada estación puede suponerse constante e igual a 10%. Dé una respuesta
numérica para el inciso (a) dado que k = 5 y b =95%.
(c) Utilizando los
datos del inciso (b) anterior, ¿cuál es el número esperado de artículos defectuosos
de todas las estaciones durante un intervalo de tiempo de T horas?.
MODELO DE
SIMULACIÓN
Simulación de una operación de transporte de
combustible . Números aleatorio y estadística descriptiva .
La compañía transportadora de combustible West
Coast (WCOT) posee oleoductos que
proceden de varias puertas . Mantiene el combustible en un campo de
almacenamiento (campo rural) hasta que necesita. La mayor parte de combustible
de WCOT se despacha por un oleoducto hasta una gran refinería en California.
Se conjetura que en promedio , el ingreso diario al campo rural de WCOT es de
40.000 o de 60.000 barriles con una probabilidad de 1/3 y 2/3 respectivamente.
La demanda , D, de combustible en la refinería de California también es
incierta entre un día y otro. La WCOT ha estimado la probabilidad de
distribución de D en la siguiente forma
:
Uso /día Probabilidad
25.001_35.000 0.1
35.001_45.000 0.2
45.001_55.000 0.3
55.001_65.000 0.4
1.0
a)
¿Cuál es el valor esperado de
barriles diarios enviados a California? (suponga que dentro de cualquier rango
utilizado, la demanda se promedia por su media ; por ejemplo para 25.000_35.000 es de 30.000).
b)
Simule estas actividades (recibir
y despachar combustible )por 20 días (utilice una tabla de números aleatorios
).
c)
¿Indica su modelo de producción
que west coast debe aumentar su capacidad de almacenamiento? Si es así ¿ que
capacidad adicional debería construirse? Si no ¿qué se puede concluir de los
resultados de su simulación?.
La empresa New York Taxi Cab company mantiene
instalaciones de servicio para realizar reparaciones mayores y dar servicio a
sus vehículos. Datos históricos muestran que
(a) Los taxis tienen descomposturas mayores de acuerdo con un proceso de
Poisson a una tasa promedio de 2 cada 24 horas , incluyendo los fines de semana
y (b) La cantidad de tiempo requerido por un mecánico para reparar un taxi
sigue un distribución exponencial con un promedio de 16.8 horas. Sin embargo, la administración puede estar segura
que los mecánicos se presentan a trabajar solo el 80% del tiempo , debido a
enfermedades y vacaciones. El departamento de contabilidad ha indicado que (i)
el costo por hora de un mecánico , incluyendo salario, prestaciones e
impuestos, es de $24, y que (ii) un taxi promedio obtiene un beneficio neto
de $100 en 24 horas. Utilice su
computadora para determinar si la compañía deberá tener dos o tres mecánicos
trabajando todos los periodos. Para cada uno de los dos sistemas que evaluara ,
especifique los valores de c,µ,c(w),c(s)
y el costo total por unidad de tiempo. (Nota: para poder aproximar
este escenario mediante un sistema de colas
M/M/c , aumente el tiempo de servicio adecuadamente , de tal forma que
se pueda tomar en cuenta la ausencia de mecánicos)
Utilice su computadora para responder las siguientes
peguntas de sensibilidad para el problema
de California GAS &
Electric Company del ejercicio
a)
¿Cuántas llamadas por hora puede
hacer antes de que el tiempo promedio que un cliente invierte en el teléfono
exceda los 20 min.?
b)
¿Cuánto tiempo podría llevarse una
llamada promedio para obtener respuesta
antes de que haya un promedio de dos llamadas esperando a ser atendidas?
c)
¿Cuántas llamadas más sería
necesario contestar cada hora antes de que la probabilidad de que haya dos
llamadas en el sistema disminuya a
0.125?
·
PEDRANA, Eric
·
VARAS, Sebastián
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