FORMULAS DE KENDALL - POLLACZEK
A / B / C
David G. Kendall, basado en la teoría de cola demostró, que se puede reducir el tiempo de espera en cola, modificando la modalidad de los tiempos de servicio.
Para esto
considera las distribuciones Poissonianas o Exponeciales (M), Generales (G) y
Deterministicas o Constantes (D), con lo cual, y haciendo referencia a las
formulaciones matemáticas de Pollaczk – Khinchine, deduce que cualquier cosa que podamos hacer para reducir
variabilidad en los tiempos de proceso actuará directamente para reducir los
tiempos de espera. Es decir que si se logra pasar de distribuciones variables
(M/M/1) a distribuciones constantes (D/D/1), los tiempos de espera en una cola
podrían reducirse hasta cuatro veces respecto de los tiempos que manejan procesos con distribuciones
variables
Esto puede llevarse a cabo a través de cálculos tanto del número medio de unidades en el sistema, del numero de unidades en la línea y del tiempo de espera, todos ellos formulados de acuerdo con su teoría.
Si
las llegadas son poissonianas, en tanto que la distribución del tiempo de
servicio Q es arbitraria, se utilizará la fórmula siguiente,
debida a Kendall:
Ec. 1
Esta fórmula
muestra que el número medio LS de unidades en el sistema, aumenta con la varianza de Q, para valores dados de l y de m.
Si se tienen l y m dadas, el número medio mínimo de unidades en ese
sistema, cuando sQ = 0, es decir, cuando el tiempo de
servicio es constante, será:
Ec.
2
Finalmente, si s2Q = 1/m2 (distribución exponencial), se
encuentra nuevamente
(Ec. 1):
Ec.
3
El modelo M/D/S
supone una variación cero en los tiempos de servicio (s = 0), mientras que la distribución exponencial de
tiempos de servicio supone una variación muy grande (s = 1/m). Entre estos dos casos extremos hay un intervalo (0
< s < 1/m), en el que caen la mayor parte de las distribuciones
de tiempo de servicio reales. Otro tipo de distribución teórica de tiempos de
servicio que concuerda con este espacio intermedio, es la distribución Erlang
(llamada así en honor del fundador de la teoría de colas), cuya media y
distribución estándar son:
media = 1/m
desviación estándar =
en donde f
es el parámetro que especifica el grado de variabilidad de los tiempos de
servicio con relación a la media. Por lo general se hace referencia a f como el “parámetro de forma”.
Tanto la
distribución “exponencial” como la “constante” son casos especiales de la
distribución Erlang con f = 1 y f = ¥, respectivamente.
Ahora considérese
el modelo M/E/1, que es justo el caso especial del modelo M/G/1, en el cual los
tiempos de servicio tienen una distribución Erlang con parámetro de forma = f.
Aplicando la
fórmula de la Ec. 1 con s2 = 1 / fm2
se llega a:
Ec. 4
Observamos en la
fórmula de Kendall (Ec.1), que si la tasa media de las llegadas l se aproxima a la tasa media del servicio m, es decir, , la longitud de la línea de espera crece más allá de todo
límite. Vemos pues, que para una distribución dada de duraciones de servicio,
la longitud de la línea puede reducirse mediante una disminución de la
intensidad de tráfico r = l/m. Se debe admitir que esta cantidad
constituye la esencia misma del problema. Cuando r aumenta, 1 - r disminuye, lo que quiere decir, que la
solución de un problema de líneas de espera, exige un dilema entre el costo de
la reducción del número medio de unidades en el sistema, y el costo asociado de
las instalaciones y del personal que constituyen el servicio.
Si las llegadas
son poissonianas, pero la distribución del tiempo de servicio Q arbitrario, se utilizará la fórmula siguiente:
Ec.
5
Si el tiempo de
servicio es constante, es decir, sQ = 0, entonces el número medio de
unidades en cola será:
Ec.
6
Si s2Q = 1/m2 (distribución exponencial), se
encuentra:
Ec.
7
Se notará la propiedad:
Ec.
8 ; válida en el presente caso; en efecto:
Ec.
9
Ec. 10
Una magnitud importante que hay que calcular es el tiempo medio de
espera en la línea. Cualquiera que sea la naturaleza de la distribución de las
llegadas y del servicio, en régimen permanente no puede salir como media más
unidades que las que entran y recíprocamente. El tiempo medio de espera está
regulado por la tasa de las llegadas.
Si llamamos Wq al tiempo de espera en la línea, se tiene:
Ec.
11
Llamamos WS al tiempo medio de espera en el sistema:
Ec. 12
En el caso de
llegadas poissonianas y de un intervalo de tiempo de servicio que tenga una
distribución arbitraria de varianza s2Q:
Ec.
13
Ec.
14
Sí sQ = 0 (tiempo de servicio constante), entonces:
Ec.
15
Ec. 16
Si s2Q = 1/m2 (distribución exponencial), se
encuentra:
Ec.
17
Observemos que:
Ec.
18
Ec.
19
De Ec. 18 y Ec. 19, encontramos que:
Ec.
20
que representa el tiempo medio de servicio.
Ec. 21
donde
es el tiempo medio de
servicio.
Si hacemos:
s2Q = 1/m2
y
encontramos
naturalmente la Ec. 18.
Ec.
22
Ec.
23
Ec. 24
proporciona
una útil medida de la eficacia del sistema, puesto que expresa la razón del
tiempo medio que ha de esperar un usuario hasta que comienza a ser atendido, a
la media del tiempo de servicio. Se presentan 2 casos especiales importantes:
1)
Para un tiempo de
servicio medio dado, Wq es
mínimo cuando s = 0, es
decir, lo que se llama un tiempo determinístico de servicio. En este caso:
Ec. 25
2)
Si el tiempo de
servicio corresponde a una distribución poissoniana, es decir, en el caso de
una cola M/M/1, sQ2 = 1/m2,
tenemos:
Ec. 26
Por tanto, para 2 colas M/M/1 y M/D/1, que tengan el mismo tiempo medio de servicio, tendremos:
Ec. 27
Un resultado análogo, obtenido comparando variables poissonianas con llegadas determinísticas, es el debido a Lindley. Que se expresa por:
Ec. 28
este
valor se corresponde al de coef r = 0,5, obtenido del nomograma
de sostenes paralelos cuando el sistema es M/D/S o D/M/S, y puede ser
interpretado de la siguiente manera: en un sistema de colas en el que las
llegadas siguen una distribución determinística, los usuarios tienen que
esperar aproximadamente sólo la mitad
del tiempo que cuando las llegadas al sistema siguen una distribución
poissoniana. Lo que indica también, que hay una probabilidad favorable a la
primera, en la relación 2:1, de que no se formen colas. Vemos entonces, que la
llegada de usuarios a intervalos determinísticos mejora de manera notable los
servicios. Para una serie de valores de m (con l = 1), Lindley realizó diversos cálculos sobre:
a.
La probabilidad de no
tener que esperar cola, P0
b.
El tiempo medio de
espera en cola, Wq
c.
La varianza del
tiempo de espera, sQ2
en
el caso de las colas D/M/1, M/M/1 Y D/E/1, M/E/1. Adviértase que Wq y sQ2 crecen rápidamente
cuando m ® 1.
Todos estos resultados están representados gráficamente en las dos figuras
siguientes.
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Observamos que, cualesquiera que sean las distribuciones de las llegadas, si el tiempo de servicio sigue una distribución exponencial, también la sigue el tiempo de espera.
De manera similar podemos analizar un sistema D/D/S, en el
cual, el tiempo de espera en cola es aproximadamente cuatro veces menor que el tiempo de espera para un sistema M/M/S, (r = 0,25 según del Nomograma de Sostenes Paralelos).
Esto nos lleva a afirmar que las condiciones ideales de un
fenómeno de espera se logran cuando el sistema es totalmente determinístico,
tanto en los tiempos de arribo como los de servicio.
NOMOGRAMA DE SOSTENES PARALELOS. COEFICIENTE (r)
En los apartados anteriores hemos visto como los tiempos de espera y servicio mejoran cuando la distribución es determinística, haciendo comparaciones desde distribuciones de probabilidad poissonianas (variables o aleatorias) a distribuciones determinísticas (constantes) mediante formulación de Lindley y en correspondencia con el coeficiente"r",
En este apartado se explicará la obtención de dicho coeficiente mediante el desarrollo y aplicación del Nomograma de Sostenes Paralelos . Entiéndase que en este proceso Kendall trata de demostrar las ventajas que en una línea de espera pueden darse mediante la reducción del tiempo en cola por medio del uso de distribuciones con arribos y servicios determinísticos (D/D/1), siendo que hasta ahora los modelos estudiados siguen una distribución poisson (M/M/1), lo cual condiciona sobre manera el desempeño de un sistema de cola o línea de espera.
Se ha visto que distribuciones poissonianas de llegada y de tiempo de servicio exponenciales negativas, originan ecuaciones relativamente simples de equilibrio para las probabilidades de estado estable. Sin embargo, existen muchas situaciones de la vida real donde tanto la distribución de tiempo entre llegadas como la de tiempo de servicios son apreciablemente diferentes del exponencial.
Aún cuando se han realizado notables avances para describir el comportamiento probabilístico de sistemas de líneas de espera con distribuciones arbitrarias, se han obtenido expresiones relativamente simples para las características de operación sólo para sistemas M/G/1.
Como se dijo anteriormente, en la
vida real tanto los tiempos entre llegadas como los tiempos de servicio
responden a distribuciones tales como:
-
Poisson
-
Normal
-
Determinístico
Y, según sea el caso, el valor de la varianza de la
distribución que regula el ingreso de clientes al sistema n(l) y el valor de la varianza de la distribución que regula la
velocidad de despacho n(m), asumen los
siguientes valores:
(Poisson) (Normal) (Determinístico) (Poisson) (Normal) (Determinístico)
Esto lo podemos ver representado en el siguiente Nomograma de sostenes paralelos:
En el sostén izquierdo (A) se ubica la característica de los tiempos que regulan los arribos entre dos clientes sucesivos. Donde:
y su valor varía entre:
El sostén derecho (B) presenta la misma estructura conceptual que el anterior, con la diferencia que:
y su valor está comprendido entre:
Estos cocientes pueden unirse en la siguiente fórmula,
que nos permitirá obtener un valor numérico (coef r) comprendido entre:
0,25 £ r £ 1
Este valor nos
permitirá resolver casos donde las condiciones de ingreso/egreso de clientes al
sistema, sean diferentes a la Poisson/Exponencial. Por ejemplo, el tiempo de
espera en cola real será igual al producto del tiempo de espera en cola poisson
por el valor de coef r.
En el caso de:
-
Ingreso Poisson y servicio
Exponencial:
A = 1 y B = 1. Por lo tanto se
unen entre sí los puntos de valor unitario, dando como resultado un valor de r
= 1.
-
Ingreso (servicio) Poisson y servicio (ingreso) Normal:
A = 1 y B = 0, o A = 0 y B = 1. Se unen entre sí los puntos de las diagonales del cuadrado.
Esas diagonales se interceptan en r = 0,50.
El
tiempo de espera en cola será la mitad
del que proporciona el modelo M/M/S.
-
Ingreso constante y servicio
constante. Sistema totalmente determinístico
A = 0 y B = 0. Se unen entre
sí los puntos de valor cero resultando r =
0,25.
El tiempo de
espera en cola será un cuarto del
que proporciona el modelo M/M/S.
Líder: WALTHER VIRLA,
Flavia María
e-mail: flawalther@arqa.com
Integrantes:
CAGGIO, Marcos
SALAZAR CARONA, Alejandro
Facultad
Regional Tucumán – Universidad Tecnológica Nacional
Curso:
4º 1º - Turno: tarde