FUNCION DE GAUSS
COMO LIMITE DEL ESQUEMA DE LAS PRUEBAS REPETIDAS
El esquema de las pruebas repetidas puede reemplazarse por
la ley de Gauss, (Distribución Normal) cuando n sea grande. Cuando nos encontramos ante sucesos donde puede
considerarse constante la probabilidad favorable a cada suceso, podemos
reemplazar la matemática de la Distribución Binomial por la Distribución
Normal, siempre que n sea grande. Usar Gauss en vez de la
Binomial cuando el producto de tamaño de la muestra n por la probabilidad
del suceso p sea mayor que 5.
Podemos afirmar que la función de Gauss, utilizada como distribución estadística es la más conocida y utilizada. La ley de Gauss representa la distribución de los errores o desvíos accidentales.
La función de Poisson reemplaza a la de Gauss cuando se
trabaja analizando los llamados sucesos raros, que aparecen con frecuencia muy
pequeña en una población grande.
Analizamos primeramente la constante matemática e,
que conocemos por su aplicación de los logaritmos neperianos. Recordemos que
podemos escribir:
e = 0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +..........
1! 2! 3! 4! 5!
lo
que dá un valor de e = 2.718
aproximadamente. Si elevamos este número e a una potencia m, en forme de serie podemos escribir :
Esto lo podemos
expresar, aplicando el valor de los primeros factoriales :
Para que la
distribución pueda ser considerada como una distribución de probabilidad, la
suma de términos debe ser igual a 1. Por supuesto que cada término debe tener
un significado real y útil. El desarrollo de lo podemos utilizar como una distribución de
probabilidad. Para ello escribimos la siguiente expresión:
En efecto sabemos que:
luego
lo anterior representa una distribución de probabilidad (si m > 0).
En investigación Operativa, es sabido que esta distribución
describe en forma bastante aproximada
las probabilidades de sucesos aislados en un campo continuo. Para estos casos m es el valor esperado o media
aritmética del suceso. Lógicamente, ante un problema determinado, m pasa a ser una constante, condición
de estado permanente en teoría de colas. A partir de este momento, para
coincidir con la nomenclatura que utilizaremos en los últimos capítulos
llamaremos a m con la expresión l.
Distribuidos
al azar, la posición de cada uno 4es independiente de la posición de los otros.
La probabilidad la podemos indicar :
donde
l
es el valor esperado y n es el
número de veces que el suceso ocurre.
Si p
es muy pequeño no es aceptable utilizar la ley de Gauss como función
límite, para estos casos podemos utilizar como ley límite la función de
Poisson.
Como criterio podemos aceptar que la
aproximación con respecto a la binomial es buena si p es menor que 0.10 y np es
mayor que 5.
Poisson es una distribución que se
justifica por sus resultados.
Poisson
y Gauss son instrumentos básicos en diferentes trabajos estadísticos de
aplicación de empresas, como el caso de Control de Calidad y Recepción de Material
y Colas.
A
medida que el valor medio k aumenta, la distribución de Poisson tiende
a la Binomial y para valores aún mayores tiende a la Distribución Normal.
Poner el grafico
la mayor probabilidad de la variable n corresponde a n = l y n = l - 1
Si
halláramos los momentos de la función de Poisson, nos encontraríamos con
un resultado notable:
U2 = n = l
Si ambos valores son iguales o muy parecidos, generalemente
podremos aplicar las propiedades de Poisson a esa distribución.
Los modelos de colas suponen que las llegadas son
completamente aleatorias. Para explorar esto un poco más imagínese un pequeño intervalo
de tiempo, DT. Si las llegadas son completamente aleatorias, pero
estables entonces la probabilidad de una llegada en cualquier intervalo de
tiempo (Dt1) es la misma que para cualquier otro intervalo (Dt2).
Esta suposición es válida en una cantidad sorprendente de situaciones reales.
Es necesario conocer más sobre el patrón de llegada que solo su aleatoriedad, para poder obtener las características de operación de un sistema. Específicamente, ¿Cuál es la probabilidad de 0 llegadas, de 5 o de 10 en una hora?. En otras palabras, se necesita conocer la distribución de probabilidad de las llegadas por unidad de tiempo.
Aún cuando la derivación no se da aquí, puede demostrarse
que la distribución de probabilidad de las llegadas es Poisson cuando:
En donde A =
número promedio de llagadas por unidad de tiempo y n = número de intervalos (Dt) por unidad de
tiempo. Así, la suposición de llegadas completamente aleatorias conduce a la
suposición equivalente de distribución Poisson para la tasa de llegadas.
La
distribución Poisson es discreta como se muestra en la figura 1. Para tasa de
promedio de llegadas es asimétrica. Para tasas altas de llegadas se vuelve más
simétrica y de hecho se aproxima a una distribución Binomial.
Figura 1
Una suposición más que se usa en los modelos de colas es que las salidas son completamente aleatorias. Las salidas están
relacionadas con los tiempos de servicio, porque ocurren cuando terminan el
servicio. Entonces, representan los tiempos de terminación del servicio.
Estudiando estos, pueden deducirse los tiempos de servicio, suponiendo que el
servidor está siempre ocupado. De una manera exactamente igual que para las
llegadas, pude decirse:
En donde :
S = n° de servicios por unidad de tiempo y
n = n° de intervalos (Dt) por unidad de
tiempo.
Esto significa que el número de clientes servidos por unidad
de tiempo tiene distribución Poisson. Sin embargo, casi siempre es más
conveniente hablar del servicio en función de los tiempos de servicios. Cuanto
lleva servir a un cliente. Para esto se necesita la distribución del tiempo del
servicio. Nótese que el tiempo de servicio promedio está dado por:
De nuevo sin derivación, puede demostrarse que la suposición
conduce a una distribución exponencial negativa para los tiempos de servicio.
Esta es una distribución continua y se ilustra en la figura 2.
Figura 2
Las distribuciones Poisson y Exponencial están relacionados
en forma interesante. Cuando se habla sobre tasas de llegadas o tasas de
servicio, puede aplicarse la distribución
Poisson. Por otro lado, cuando se está considerando el tiempo de
llegadas o el tiempo servicios se aplica la Distribución Exponencial. Si bien
son equivalentes es importante distinguirlas claramente y no confundirlas.
Es aquella que describe la probabilidad de que se presenten un número dado de llegadas en un intervalo de dado de tiempo, cuando el tiempo entre llegadas sigue una distribución exponencial con parámetro l (n° promedio de llegadas por unidad de tiempo) y está dada por:
Es el proceso aleatorio en que el tiempo entre llegadas sucesivas sigue una distribución exponencial.
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
En cada caso que estudiamos mediante teoría de colas nos
interesa la probabilidad de obtener x éxitos en n ensayos o, en otras palabras x éxitos y n-x fracasos en n intentos.
En los problemas de distribución Binomial se parte de los
siguientes supuestos:
1. Hay dos resultados posibles para cada ensayo, llamados éxito
y fracaso
2. La probabilidad de un éxito es la misma para cada ensayo
3. Hay n ensayos,
donde n es una constante
4. Los n ensayos son
independientes
Donde la fórmula a
la cual responde distribución es la siguiente
Cuando n es grande
y p es pequeña, las probabilidades
binomiales son aproximadas a menudo por medio de la fórmula
Con (lambda) igual al
producto
. Antes de justificar
esta aproximación señalemos que
significa que existe una infinidad contable de posibilidades,
lo cual nos obliga modificar el tercer axioma de probabilidad.
Los otros postulados permanecen sin cambios. Para verificar
que P(S)=1 para esta fórmula, hacemos
uso del axioma 3’ y formulamos lo siguiente:
Dado que la serie infinita en la expresión de la derecha es
la serie de MacLaurin para el, de ello se desprende que
Demostremos ahora que cuando mientras que
permanece constante,
la fórmula de limitación de la distribución Binomial al que se da al inicio del
párrafo anterior. Sustituyamos primero
por p en la fórmula para la distribución
Binomial y simplifiquemos la expresión resultante así, obtenemos:
Si ahora convenimos en que n, determinamos que
que
y, en consecuencia, que la distribución Binomial se aproxima
Considérese la situación de espera en la cual el numero de llegadas y salidas (a las que se da servicio), durante un intervalo de tiempo es controlado por las siguientes condiciones.
Condición 1: la probabilidad de que un evento (llegada o salida) ocurra
entre los tiempos t y t + h depende únicamente de la longitud
de h, lo que significa que la
probabilidad no depende ni del número de eventos que ocurren hasta el tiempo t ni del valor especifico de t. (Técnicamente, decimos que la función
de probabilidad tiene incrementos independientes estacionarios.)
Condición 2:
la probabilidad de que ocurra un evento durante un intervalo de tiempo muy
pequeño h es positiva pero menor que
1.
Condición 3:
cuando mucho puede ocurrir un evento durante un intervalo de tiempo muy pequeño
h.
La implantación de
estas condiciones puede estudiarse deduciendo en términos matemáticos la
probabilidad de n eventos que ocurren
durante un intervalo de tiempo t. Sea
Pn (t) =
probabilidad de que ocurra n eventos
durante el tiempo t
La condición 1
especifica que tiene incrementos independientes estacionarios. Para n = 0, esta condición se traduce como
Par la condición 2,
tenemos 0 < < 1 para h muy
pequeña. Se puede demostrar que la solución a la ecuación es
donde n es una constante positiva.
A continuación
demostramos que a representa la tasa
de llegadas (salidas) por tiempo unitario cuando los eventos representan
llegadas (salidas). Sin embargo, en
este punto nos concentramos en probar el significado del resultado desde
el punto de vista de las tres condiciones que citamos.
Para h > 0 y suficientemente pequeña, se
tiene
Como la
condición 3 hace posible la incidencia de cuando mucho un evento, se deduce que
Este
resultado significa que la probabilidad de que ocurra un evento durante un
intervalo pequeño h es directamente
proporcional a h.
El
proceso que describe Pn
(t) es
completamente aleatorio en el sentido de que el intervalo de tiempo restante
hasta que ocurre el evento siguiente es completamente independiente del tiempo
que transcurrió desde la incidencia del evento inmediatamente anterior. Sea
F(t) = función densidad de probabilidad (F.D.P.) del
intervalo de tiempo t
entre la
incidencia de eventos sucesivos, t
> 0
F(t)
= función densidad acumulada (F.D.A.) de
t
En
función de un planteamiento de probabilidad, si T es el intervalo de tiempo desde la incidencia del último evento,
entonces se tiene
Traduciendo
esto en términos matemáticos, se observa que
Ya que es la F.D.P. de t y
, se tiene
o
mediante el uso de la definición de, se tiene
Al
diferenciar ambos con respecto a T,
se obtiene
que es
una distribución exponencial.
El
resultado genera dos conclusiones:
1.
Para el
proceso que describen las probabilidades , el tiempo entre la incidencia de eventos sucesivos debe
seguir una distribución exponencial.
2.
El valor
esperado de la distribución exponencial
unidad de tiempo
representa
el intervalo de tiempo promedio entre la incidencia sucesiva de eventos.
Por lo
tanto
debe
representar la tasa (por tiempo
unitario) a la cual se generan eventos. Esta es la razón que indicamos antes
por la que a representa la tasa de
llegadas (salidas) cuando los eventos generados representan llegadas (salidas).
3.
La
distribución exponencial tiene la propiedad única de que el tiempo hasta que
ocurre el evento siguiente es independiente del tiempo que transcurrió desde la
incidencia del ultimo evento. Este resultado equivale a decir que
donde t
es la variable aleatoria que describe el tiempo entre eventos y S es el tiempo
de incidencia del ultimo evento. Para demostrar que esta probabilidad es cierta
o verdadera para la distribución exponencial, considérese
Esta
propiedad suele denominarse olvido o
falta de memoria de la distribución exponencial. La propiedad del olvido
demuestra que el proceso que describe es completamente aleatorio, ya que
demuestra que el tiempo que ha pasado desde la ocurrencia del ultimo evento no
tiene efecto en el tiempo restante hasta que ocurra el evento siguiente.
Definimos
a como la probabilidad
de que ocurra n eventos durante el
intervalo de tiempo t y demostramos
que en las tres condiciones estipuladas
el tiempo entre eventos T >
0 sigue la distribución exponencial
, donde a es la tasa
a la cual se generan los eventos. Después demostramos como se puede deducir la
distribución
cuando los eventos
representan llegadas puras o salidas puras. La deducción demostrara que la
distribución de n durante t es de
Poisson. Este punto revela el resultado determinado de que mientras el tiempo entre llegadas (entre salidas) es
exponencial, el numero de llegadas (salidas) es de Poisson y viceversa.
Las
características operativas de los sistemas de colas están determinadas en gran
parte por dos propiedades estadísticas, a saber, la distribución de
probabilidad de los tiempos entre
llegadas y la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio.
Para
los sistemas de colas reales, estas distribuciones pueden tomar casi cualquier
forma, (La única restricción es que no pueden ocurrir valores negativos.) Sin
embargo, para formular un modelo de teoría de colas como una representación del
sistema real, es necesario especificar la forma supuesta de cada una de estas
distribuciones. Para que sea útil, la forma supuesta debe ser lo suficientemente realista, como para que
el modelo proporcione predicciones razonables y al mismo tiempo debe ser lo
suficientemente sencilla para que sea matemáticamente manejable. Con estas
consideraciones en mente, la distribución de probabilidad más importante en la
teoría de colas es la distribución exponencial.
Supóngase que una variable aleatoria T representa ya sea los tiempos entre
llegadas o los tiempos de servicio. (Se hará referencia a los eventos que
marcan el final de estos tiempos –de llegadas o de terminación de un
servicio- como eventos.)
Se
dice que T tiene una distribución exponencial con parámetro a si su función de
densidad de probabilidad es:
FT (t) =
como se muestra en la figura. En este caso, las probabilidades acumuladas son:
y el valor esperado y la variancia de T son:
¿Cuáles
son las implicaciones para el modelo de colas al suponer que T tiene una distribución exponencial?
Para
explorar esta pregunta se examinarán seis propiedades de esta distribución.
Propiedad 1: ft(T) es una función estrictamente
decreciente de t.
Una consecuencia de la propiedad 1 es que
fT(t)
a
0 t+
Función
de densidad de probabilidad para la distribución exponencial.
para cualesquiera
valores estrictamente positivos de Dt y t. (Esta es
una consecuencia del hecho de que estas
probabilidades son el área bajo la curva de fT(t) en el intervalo
indicado de longitud Dt, y la altura promedio de la curva es menor para la
segunda probabilidad que para la primera.) Por tanto, no sólo es posible sino
bastante probable que T tome un valor
pequeño cercano a cero. De hecho,
mientras que
De manera que es más probable que el
valor que tome T sea
"pequeño" [esto es, menor que la mitad de E(T)] que "cercano" a su valor esperado [es decir, no más
alejado que la mitad de E(T)], aun cuando el segundo intervalo tiene el doble
de amplitud que el primero. ¿Realmente es ésta una propiedad razonable para T en un modelo de colas? Si T representa los tiempos de
servicio como se dijo, la respuesta depende de la naturaleza general del
servicio en cuestión. Si el servicio requerido es en esencia idéntico para cada
cliente y el servidor realiza siempre la misma secuencia
de operaciones, los tiempos de servicio reales tienden a ser cercanos al tiempo
esperado de servicio.
Pueden ocurrir pequeñas desviaciones
de la media, pero por lo general se deben a variaciones menores en la
eficiencia del servidor. Un tiempo de servicio tan
pequeño que quede muy por debajo de la media es en realidad imposible, ya que
se necesita una cierta cantidad mínima de tiempo para realizar las operaciones
de servicio requeridas, aun cuando el servidor trabaje a la mayor velocidad, Es
claro que la distribución exponencial no proporciona una aproximación cercana a
la distribución de tiempos de servicio e este tipo. Por otro lado, considérese
el tipo de situación en la que las tareas específicas que tiene que realizar el
servidor difieren de un cliente a otro. La naturaleza general del servicio puede
ser la misma, pero la cantidad y tipo específico de servicio difieren. Por ejemplo, éste sería el caso del problema
de la sala de emergencia de un Hospital.
El doctor se enfrenta a una gran variedad de problemas médicos. En la mayor parte de los casos puede proporcionar el
tratamiento requerido con bastante rapidez, pero en ocasiones, el paciente
requiere un cuidado más extenso (de
igual manera, los supervisores de bancos y supermercados son servidores de este
tipo general, en donde el servicio que prestan
suele ser breve, pero en ocasiones se alarga.) Parece plausible una distribución exponencial para los tiempos de servicio
con este tipo de situación. Si T
representa los tiempos entre llegadas,
la propiedad 1 descarta las situaciones en la que los clientes que llegan al
sistema tienden a posponer su entrada si ven que otro cliente entra antes que
ellos. Por otro lado, es totalmente consistente con el fenómeno común de las
llegadas "aleatorias" que se describe
con las propiedades subsecuentes.
Propiedad 2: Perdida
de memoria. Esta propiedad se puede establecer matemáticamente como
Para
cualesquiera cantidades positivas de t
y Dt. En otras palabras, la distribución de
probabilidad del tiempo que falta
hasta que ocurra el evento (llegada o
terminación de servicio) siempre es la misma, sin importar cuánto tiempo (b,t)
haya pasado. En efecto, el proceso "olvida" su historia. Este sorprendente fenómeno ocurre con la
distribución exponencial debido a que
Para
los tiempos
entre llegadas esta propiedad describe la situación común en donde el
tiempo que transcurre hasta la siguiente llegada
está totalmente influenciado por cuándo ocurrió Ia
última llegada. Para los tiempos de
servicio,
esta
propiedad es más difícil de interpretar. No debe esperarse que se cumpla cuando el servidor tiene que realizar la misma
secuencia fija de operaciones para cada
cliente, porque entonces un servicio largo y tardado debe implicar que tal vez
queda muy poco por hacer. Por otro lado, en la
clase de situación en la que las operaciones de servicio requeridas difieren
entre los clientes, la afirmación matemática de la propiedad es bastante
realista. Para este caso, si ha pasado un tiempo de servicio considerable, la
única implicación puede ser que este cliente en particular requiera un servicio
más extenso que los demás.
Propiedad 3: El
mínimo de varias variables aleatorias exponenciales independientes tiene
una distribución exponencial.
Para
establecer esta propiedad matemáticamente, sean T1, T2, ..., Tn variables aleatorias exponenciales independientes con parámetros a1,a2, ...an, respectivamente. También sea U
la variable aleatoria cuyo valor es igual al mínimo de los valores que toman T1, T2,..., Tn es decir,
U = mínimo (T1, T2,
..., Tn ).
Si T; representa el tiempo que pasa hasta
que ocurre un tipo especial de evento, entonces U representa el tiempo que pasa hasta
que ocurre el primero de los n diferentes tipos de eventos. Ahora
nótese que para cualquier,
de
manera que sin duda U tiene
distribución exponencial con parámetro
Esta
propiedad tiene algunas implicaciones para los tiempos entre llegadas en los
modelos de colas. En particular, supóngase que existen varios (n) tipos diferentes de clientes, pero que
los tiempos entre llegadas
de cada tipo (tipo i) tienen distribución exponencial con
parámetro ai (i = 1, 2,
..., n). Por la propiedad 2, el tiempo que
falta a partir de un instante específico hasta la
llegada del siguiente cliente del tipo i
tendrá esta misma distribución. Por ello, sea T; este tiempo restante, medido
a partir del instante en que llega un cliente de cualquier tipo. La propiedad 3 dice
entonces que U, el tiempo entre
llegadas para el sistema de colas completo, tiene distribución exponencial con
parámetro a definido por la última
ecuación. Como resultado, se puede elegir ignorar la distinción entre los
clientes y seguir teniendo tiempos entre llegadas
exponenciales para el modelo de
colas. Estas implicaciones son todavía más
importantes para los tiempos de servicio en los modelos de
colas que tienen más de un servidor, de lo que son para los tiempos entre
llegadas. Por ejemplo, considérese la situación en la que todos los servidores
tienen la misma distribución exponencial de tiempo de servicio, con parámetro m. Para este caso, sea n
el número de servidores que en este
momento prestan servicio y sea T,
el tiempo que falta para que el
servidor
i (i = 1, 2... n) complete el servicio, que también tiene
distribución exponencial con parámetro ai = m. Se puede concluir que U, el tiempo hasta la siguiente terminación de servicio para
cualquier servidor, tiene una distribución exponencial con parámetro a =nm. En efecto, el sistema de colas en ese momento, actúa como un sistema un solo, servidor, en el
que los tiempos de servicio tienen una distribución exponencial con parámetro nm.
Propiedad 4: Relación con la
distribución Poisson
Supóngase que el
tiempo entre dos ocurrencias consecutivas de un tipo específico de evento
(esto es, llegadas o terminación de servicio por un servidor siempre ocupado)
tiene una distribución exponencial
con parámetro a. La propiedad 4 tiene que
ver con la implicación resultante sobre la distribución de probabilidad del número de veces que ocurre este evento
en un intervalo de tiempo dado. En particular, sea X(t) el número de ocurrencias en el tiempo i (t > 0), en donde
el tiempo 0 es el instante en el que
comienza la cuenta. La implicación es que:
para n =0,1,2,...;
es decir, X(t)
tiene una distribución Poisson con parámetro at. Por ejemplo, para n=0
que es justo la probabilidad obtenida a partir de la
distribución exponencial para que ocurra el
primer evento después de un tiempo t. La media de la distribución Poisson es
De manera que el número esperado de eventos por unidad de tiempo es a. Así, se dice que a es la
tasa media a la que ocurren los eventos. Cuando se cuentan los eventos de
manera continua, se dice que el proceso de conteo {X(t); t > 0} es un proceso Poisson con parámetro a (la tasa
media). Esta propiedad brinda información útil sobre la terminación de servicio
cuando los tiempos de servicio tienen una distribución exponencial con parámetro m, Esta información se obtiene al definir X(t) como el número de servicios
completos logrados por un servidor
siempre ocupado en un tiempo transcurrido t, en donde a = m. Para múltiples
servidores, X(t)
también se puede definir como el número de terminaciones de
servicio logradas por n servidores
siempre ocupados en un tiempo transcurrido t, en donde a = nm. Esta propiedad es útil en particular para describir el
comportamiento probabilístico de las
llegadas cuando los tiempos entre llegadas siguen una distribución
exponencial con parámetro l.
En
este caso, X(t) sería el número de llegadas en un tiempo transcurrido r, en donde a = k es la tasa media de
llegadas. Por tanto, las llegadas ocurren de acuerdo a un proceso de
entrada Poisson con parámetro l. También
se hace referencia a estos modelos de colas como que tienen llegadas Poisson.
Algunas
veces se dice que las llegadas ocurren
aleatoriamente y esto significa que suceden de acuerdo con un proceso de
entradas Poisson, Una interpretación intuitiva
de este fenómeno es que cada periodo de longitud fija tiene la misma oportunidad de tener una llegada
sin importar cuándo ocurrió la llegada anterior, como lo sugiere la siguiente
propiedad.
Propiedad 5: Para todos los valores positivos
Continuando
con la interpretación de T como el
tiempo que pasa desde el último evento de cierto tipo (llegada o terminación de
servicio) hasta el siguiente evento, y supóngase que ha transcurrido
un tiempo t sin que ocurra un evento. Se sabe por la propiedad 2 que la probabilidad de que
ocurra un evento dentro del siguiente intervalo de tiempo, de longitud fija Dt,
es una constante (que se identificará
en el siguiente párrafo), independiente de cuán grande o pequeño sea t. La propiedad 5 va más allá al
agregar que, cuando el valor de Dt
es pequeño, esta probabilidad constante se puede aproximar de manera muy
cercana por aDt.
Lo que es más, cuando se consideran distintos valores pequeños de Dt, esta probabilidad es, en esencia,
proporcional a Dt, con factor de proporcionalidad igual a a. De hecho, a es la tasa media a la cual ocurren los eventos (véase la propiedad 4), por lo que el número esperado de eventos en el
intervalo de longitud Dt
es exactamente aDt.
La única razón por la que la probabilidad de que ocurra un evento difiere de
este valor es la posibilidad de que ocurra
mas de un evento, lo cual tiene una probabilidad despreciable cuando Dt es pequeño.
Para
ver matemáticamente por que se cumple la propiedad 5, nótese que el valor
constante de la probabilidad (para un valor fijo de Dt > 0) es sencillamente
para
cualquier t ³ 0. Por esta razón, como la serie de expansión de ex para cualquier exponente X es
se
concluye
porque
la suma de términos se vuelve despreciable para valores de aDt
suficientemente pequeños.
Como
en los modelos de colas T se puede
representar ya sea por tiempos entre
llegadas o de servicio, esta
propiedad proporciona una aproximación conveniente de la probabilidad de que
ocurra el evento de interés en el siguiente intervalo de tiempo pequeño (Dt). También se puede hacer un análisis exacto basado en esta
aproximación, tomando los límites apropiados cuando
Propiedad 6: No afecta agregar o desagregar.
Esta
propiedad es importante para verificar que el proceso de entrada es
Poisson. Entonces, se describirá en estos términos, aunque también se
aplica directamente a la distribución exponencial (tiempos entre llegadas
exponenciales) debido a la propiedad 4.
Supóngase
que existen varios (n) tipos diferentes de clientes, en donde los
clientes de cada tipo (tipo i) llegan
de acuerdo a un proceso de llegadas
Poisson con parámetro li
(i = l, 2, ..., n). Suponiendo
que se trata de procesos Poisson
independientes, la propiedad dice que el proceso de entrada agregado (llegada diodos los clientes sin importar de qué tipo son) también debe ser Poisson, con parámetro (tasa de
llegada) l= l1 + l2 +... +ln .En otras palabras, si se tiene un
proceso Poisson no afecta agregar.
Esta
parte de la propiedad se concluye directamente de las propiedades 3 y 4, Esta
última implica que los tiempos entre
llegadas para los clientes de tipo i
tienen una distribución exponencial con parámetro li;. Para esta situación idéntica, ya se analizó en la
propiedad 3 que esto implica que los tiempos entre llegadas para (todos los clientes también deben tener una
distribución exponencial, con parámetro l= l1 + l2 +... +ln.) Si se usa la propiedad 4 de nuevo
implica que el proceso de entrada agregado es Poisson.
La segunda parte de la propiedad 6 (“no
afecta desagregar”) se refiere al caso contrario, en el que se sabe que el
proceso de entrada agregado es
Poisson con parámetro 2; el cuestionamiento ahora es sobre la naturaleza del
proceso de entrada agregado para los
tipos de clientes individuales. Si se supone que cada cliente que llega tiene
una probabilidad fija p; de
pertenecer al tipo i (i = 1, 2, ..., n), con
Ia
propiedad dice que el proceso de entrada para los clientes tipo i también debe
ser Poisson con parámetro R;. En otras
palabras, si se tiene un proceso Poisson,
no afecta desagregar.
Como
ejemplo de la utilidad de esta segunda parte de la propiedad, considérese la
siguiente situación. Los clientes sin hacer distinciones, llegan de acuerdo a
un proceso Poisson con parámetro l. Cada cliente que llega tiene una
probabilidad fija p de desistir (irse sin entrar al sistema de
colas), de manera que la probabilidad de entrar al sistema es (1 – p). Así, se tienen dos tipos de
clientes, aquellos que desisten y aquellos que entran al sistema, La propiedad
dice que cada tipo llega de acuerdo a
un proceso Poisson, con parámetros pl y (1 – p) l, respectivamente.
Por
lo tanto, al usar el último proceso Poisson, los modelos de colas que suponen
llegadas Poisson todavía se pueden usar para analizar el funcionamiento del
sistema de colas para aquellos clientes que entran al sistema.
El primero de estos resultados era de esperar, porque en
nuestra justificación de la aproximación de Poisson a la distribución binomial
concedimos que
l.=n p.
Para la variancia podemos formular que
, lo que aproxima a
.
e-mail: mailto:pgarluna@arnet.com.ar
UNSTA