Comportamientos Transitorios
Para
cualquier tipo de cola sabemos que hay periodos de trabajo en los que hay
clientes a los que atender, y otros, periodos de ocio, en los que, por el
contrario, no hay clientes. Estos periodos alternan y la duración de cada uno
de ellos es una variable aleatoria, como lo es el número de usuarios servidos
durante uno de los periodos de trabajo.
En todos los modelos se ha supuesto que la tasa media de
servicio es siempre constante, sin importar cuántos clientes se encuentran en
el sistema. Desafortunadamente, en los sistemas de colas reales ocurre con
frecuencia que esta tasa no es constante, en especial cuando los servidores son
personas. Cuando se tiene una gran cantidad de trabajo atrasado (es decir, una
cola larga), es muy probable que el servidor tienda a trabajar más rápido que
cuando el trabajo por hacer es reducido o no existe. Este aumento en la tasa de
servicio puede ser el resultado del aumento en el esfuerzo que realiza el
servidor cuando se encuentra bajo la presión de una larga cola. También puede
ser el resultado parcial de un compromiso en la calidad del servicio o de ayuda
recibida en ciertas fases del servicio.
FORMULACIÓN
PARA EL CASO DE UN SERVIDOR (S = 1)
Sea
para n = 1, 2, ...,
en
donde n = número de clientes
en el sistema.
µn
=
tasa media de servicio cuando hay n
clientes en el sistema.
1/µ1 = tiempo de servicio “ normal ” esperado: tiempo esperado para
servir a un cliente cuando es el único en el sistema.
c =
“coeficiente de presión”: constante positiva que indica el grado en el que la
tasa de servicio del sistema resulta afectada por el estado del sistema.
Entonces, si
se selecciona por ejemplo, c = 1, la hipótesis dice que la
tasa media de servicio es directamente proporcional a n; c = 1/2 implica que
la tasa media de servicio es proporcional a la raíz cuadrada de n,
y así sucesivamente. Los modelos de colas anteriores de esta sección suponen de
manera implícita que c = 0.
Ahora supóngase que el sistema de colas tiene una entrada
Poisson con λn = λ,
(para n = 0, 1, 2, ...) y tiempos de servicio exponencial con µn
como se acaba de dar. Este caso es pues, un caso especial del proceso de
nacimiento y muerte, donde
para
n =1,2,........,
Una condición
de estado estable siempre se puede alcanzar cuando c > 0.
Desafortunadamente, no se dispone de expresiones analíticas para las sumatorias
involucradas, pero existen tablas con valores casi exactos de p0. y L para varios valores de c
y /
1,
que se obtienen sumando en una computadora un número finito de términos.
Un sistema de colas puede
reaccionar a una cola larga con una disminución en la tasa de llegadas en lugar
de un incremento en la tasa de servicio. (Por ejemplo, la tasa de llegadas
puede disminuir si se envían algunos de los clientes que requieren el servicio
a otra instalación.) En el modelo correspondiente para describir la tasa media
de llegadas para este caso se define
, para n =0,1,2,...,
En donde b
es una constante cuya interpretación es análoga a la de c. Los valores de Lqn para el proceso de nacimiento y muerte
con estas (y con
=
para n = 1, 2, ....) son idénticos a los que se muestran (sustituyendo por
por
) para el modelo de tasas de servicio dependientes del
estado del sistema cuando c = b y
/
1, =
/
, de manera que
los resultados de estado estable son los mismos.
También se
puede usar un modelo más general que combina estos dos patrones cuando tanto la
tasa media de llegadas como la de servicio dependen del estado del sistema. En
este caso, sea
para n = 1,
2, ...,
,
para n = 0, 1, 2, ....
Una
vez más, los valores Lqn
del proceso de nacimiento y muerte con estos parámetros son idénticos a los que
se obtuvieron para el modelo de tasas de servicio dependientes del estado del
sistema cuando c = a + b y /
1, =
/
, por lo que de
hecho, los resultados de estado estable tabulados, se pueden aplicar a este
modelo más general.
FORMULACIÓN
PARA EL CASO DE VARIOS SERVIDORES (s > 1)
Para
generalizar este modelo combinado para el caso de más de un servidor, parecería
natural que y
variaran con el
número de clientes por servidor (n/s) esencialmente de la misma forma
como varían para el caso de un
servidor. Entonces, sea
, si
si
, si
si
Por consiguiente, el proceso de nacimiento y muerte con
estos parámetros tiene
para
n = 1,2, ...,n
para n
= s, s + 1,…
en donde c = a + b.
La formula para
Siendo , existe cuando
<
, y encontramos la forma de expresarlo,
.
A continuación se indicará un
método que permite hallar la distribución de la duración de un periodo de
trabajo en el caso de una cola M/M/l. Un problema de tipo general es el de calcular cuánto tiempo es
necesario, bajo las condiciones iniciales, para que una cola llegue a adquirir
un determinado tamaño, previamente supuesto. Este, que puede ser un problema
real, surge, por ejemplo, al estudiar_
«las horas pico» de una gran ciudad, o al tratar de determinar el tamaño
óptimo para un restaurante. El método que describiremos para la solución de estos
problemas es debido a una serie de autores: Clarke, Ledermann, Reuter, Bailey y
Champernowne), y se basa en una aplicación de las ecuaciones del proceso de
nacimiento y muerte.
La
fórmula para Pn (t),
con μ = 1 y condiciones iniciales n = a
para t = 0 es:
donde es la función de
Bessel modificada de primera clase.
·
DORNA, Diego (diego_dorna@hotmail.com)
·
BOERO, Luis
·
FERRO, Carlos
·
MASTRANDREA, Cristian
·
RODRIGUEZ PAEZ, Jorge
·
RUIZ, Soledad
·
PAZ, Juan
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