ANÁLISIS DE COLAS. STORM

 

Las colas o filas de espera son parte, en muchas situaciones, de la vida moderna. Los clientes en los bancos o supermercados, los autos en los puestos de peaje y hasta una tarea misma esperando ser procesada en un negocio, todas estas situaciones se encuentran con la “DEMORA” y deben esperar su turno cuando el sistema se congestiona. En adelante, nos referiremos a las entidades o instituciones en busca de un servicio como: ”Clientes” (cuando estos sean de hecho gente, trabajos, vehículos, etcétera) y “Servidor” será entonces aquello que provea dicho servicio.

 

 

ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE COLAS

 

El estudio matemático de las colas ha sido muy extenso y se han desarrollado muchas fórmulas que nos han ayudado a calcular las características de las filas de espera. Dicho análisis debe estar basado en una clara visualización de la estructura del sistema y como interactúan sus partes. El modelo general de la línea de espera de una estación simple, está formado por los siguientes componentes:

 

1.  LA POBLACIÓN DE ENTRADA

La fuente de entrada o “población” es la colonia formada por todos los potenciales usuarios que pudieran acercarse en busca de un servicio. A menudo asumimos que el tamaño de esta población es efectivamente infinito (por ejemplo, la gente que arriba a un teatro o a un cine), y ésta es la situación más fácil de analizar.

 

Sin embargo, puede ser poco realista asumir una fuente infinita si el número de usuarios no es muy grande, como por ejemplo en una tienda de reparación dedicada solo a un limitado número de máquinas. En este caso, tendremos que ingresar el tamaño preciso de la población.

 

2.  EL PROCESO DE LOS ARRIBOS

La forma en que se van sucediendo los arribos puede, de algún modo,  ser descripta matemáticamente. Esto se da generalmente como una distribución de la probabilidad del tiempo entre los sucesivos arribos, o una distribución del tiempo entre los arribos. Una actitud muy común es suponer que los arribos de una población infinita son completamente accidentales, lo cual conduce a una distribución exponencial para el tiempo entre los arribos. A esto llamamos Proceso de Arribo “Dañino”.

 

Si la población de salida es finita, la suposición análoga es que cada usuario, cuando no está en el sistema (es decir, no está ni esperando ni recibiendo el servicio), solicita (exige) al sistema en tiempos completamente diversos, independientemente de los otros usuarios y con los mismos valores dados.

 

3.  LA COLA DE ESPERA

La cola que forman los clientes que están esperando puede a veces ser considerada como una situación con capacidad efectivamente infinita o bien estar limitada a una sala de espera con capacidad finita; en este último caso, cualquier arribo que encuentra la sala de espera colmada, se considerará como una admisión negada y un servicio rechazado.

 

Incidentalmente no deben tomarse los términos: Arribo, Sala de Espera y Cola de Espera tan literalmente. Los clientes pueden ser muchas piezas de maquinarias derramadas en el piso en el momento en que el servidor está siendo reparado. En este caso son los servidores los que arriban a los clientes y no se forman colas. Sin embargo, se aplican los mismos conceptos y fórmulas.

 

4.  LA DISCIPLINA DE SERVICIO

La secuencia en la que los clientes en espera son elegidos para brindarles el servicio puede ser controlada en algunas situaciones. Debemos asumir que el orden del servicio es: el primero que llega es el primero en ser atendido.

 

5.  EL NÚMERO DE SERVIDORES

Cualquier número de servidores puede ser especificado. Cuando la estación tiene más de un solo servidor, los servidores múltiples serán considerados idénticos y en paralelo, lo cual significa que un cliente busca el servicio de solo uno de ellos; cualquiera de éstos lo hará.

 

6.  LA DISTRIBUCIÓN DEL TIEMPO DE SERVICIO

El tiempo requerido para brindar un servicio generalmente varía amplia e impredeciblemente entre un cliente y el próximo. Esta incertidumbre se captura especificando una distribución de probabilidad para los tiempos de  servicio. De nuevo, una suposición común es la de la distribución exponencial. En el extremo opuesto a este, el más impredecible de los tipos de servicio es el constante; ambos nos conducen a modelos que pueden ser analizados más en detalle. Resultados limitados también pueden obtenerse si no se da ninguna distribución pero en su lugar, tanto el significado como la desviación estándar de los tiempos de servicio son especificados.

 

NOTAS CONVENCIONALES

 

Los varios componentes de un sistema de colas pueden ser puestos en forma conjunta de varias formas. El siguiente apunte – de gran aceptación – será  de gran utilidad al momento de especificar a cual combinación nos estamos refiriendo. Escribimos una serie de letras separada por la barra de fracción, así: a / b / c / d / e. Los cinco símbolos tienen el siguiente significado:

a.   La primera posición se usa para indicar el tipo de proceso de arribo. La única anotación que el STORM permite es:

M – Un proceso  de entrada “Markovian”, lo cual simplemente  significa entradas que son generadas por arribos completamente aleatorios.

Estos pueden ser desde una fuente infinita, en cuyo caso la tasa promedio de arribos (número de arribos por unidad de tiempo) debe ser especificada; o de una población finita la cual requerirá que Ud. ingrese la tasa promedio con la cual arriba cada cliente.

b.   El segundo símbolo denota la distribución de los tiempos de servicio. El STORM ofrece tres opciones:

M – Un tiempo de servicio con distribución exponencial (una vez más M representa Markovian). Esto es asumido comúnmente tanto en la teoría como en la práctica y da,  en cierto sentido, los tiempos más aleatorios o impredecibles.

D – Tiempos de procesamiento determinísticos o constantes, el extremo opuesto al exponencial. Esto puede ocurrir en ambientes de manufacturas en donde las máquinas tiene ciclos fijos de tiempo.

G – Distribución de probabilidad general o inespecífica. Ciertos resultados pueden ser obtenidos sin hacer ninguna suposición acerca de la forma  de la distribución, pero usando solamente el significado y la desviación estándar del tiempo de servicio.

Sin importar cual de estas opciones se elijan, usted tendrá que ingresar el tiempo de servicio promedio. Esto será suficiente para determinar completamente el proceso de servicio tanto en el caso el tiempo exponencial como determinístico. Para el caso general, Ud. también debe ingresar la desviación estándar de los tiempos de servicio.

c.   En el tercer lote, la letra representa el número de servidores paralelos idénticos que forman la estación.

d.   Los dos últimos símbolos a menudo se omiten. En la cuarta posición indicamos la máxima cantidad de clientes que pueden estar en el sistema (esto es, tanto siendo atendidos como esperando). El mismo deja de funcionar cuando hay un límite en el número de clientes que esperan en la fila, esto es, cuando la sala de espera tiene una capacidad infinita.

e.   El quinto indicador especifica el tamaño de la población de entrada. Cuando esto se omite, se asume que el valor es infinito. Si la fuente está limitada a k clientes, escribimos a / b / c / k / k, esto implica que la capacidad está limitada a k. Esto podemos hacerlo aún si la capacidad de la sala de espera es ilimitada, ya que nunca necesitaremos un espacio para más que k.

 

OPERACIÓN DE ESTADO CONSTANTE

 

Cuando comienza un complejo y aleatorio proceso como lo es una cola de espera, al igual que cuando un almacén abre por primera vez en el día sus puertas, existe un periodo de tiempo durante el cual las condiciones del sistema están influenciadas por el estado inicial. Esta fase transitoria es reemplazada en forma gradual por un estado constante o permanente en el cual surge un patrón estable; aún cuando todavía se observen  fluctuaciones aleatorias.

Los reportes de salida del módulo de “Análisis de cola” están basados en la suposición de que el sistema esta operando en estado constante. Entre otras cosas, esto implica que la tasa promedio de arribo, el tiempo promedio de servicio, y todas las otras entradas que luego deberá especificar son constantes en el tiempo.

 

A menos que usted esté interesado en un modelo con limitaciones propias en el cual la sala de espera o la entrada de una población es finita, deberá ser cauteloso para registrar una tasa de arribo inferior a la mayor tasa de salida (el cual es el número de servidores multiplicado por uno sobre el promedio de tiempo de servicio). Si los clientes arriban más rápido que éste, es decir, más de lo que pueden ser manipulados, la cola seguirá creciendo progresivamente y nunca alcanzará el estado constante. Esto es, por supuesto, un resultado teórico.

 

En la práctica algunas cosas pueden suceder: quizás la tasa de  arribo disminuya al retirarse algunos potenciales clientes, o bien la tasa de salida se incremente ya sea debido a un servicio más rápido o bien a que se habilitaron cajeros adicionales.

 

Suceda lo que suceda, las suposiciones del modelo ya no serán validas. Así, todas las fórmulas que usaremos estarán basadas en un comportamiento constante, y no se permitirá usar valores comparativos que violen dicha suposición.

 

REPORTE DE LAS MEDIDAS DE EJECUCIÓN

 

Por cada sistema de cola de espera que usted resuelva, todas o algunas de las siguientes medidas de ejecución serán reportadas. En todos los casos, se asume que el sistema esta en estado constante:

·    La utilización del servidor (The Server Utilization): la fracción o porcentaje (como lo reportamos) de tiempo que cada servidor esté ocupado.

·    La longitud media de cola (The Mean Queue Length): el número esperado de clientes en cola.

·    El número medio dentro del sistema (The Mean Number in System): el número esperado de clientes ya sea en cola o siendo atendidos.

·    La probabilidad de bloqueo (The Blocking Probability): la probabilidad de que un cliente que arriba encuentre todo el servidor ocupado y se vea forzado a esperar por el servicio. De igual modo, la fracción de clientes que debe esperar a ser atendidos.

·   El tiempo medio en cola (The Mean Queueing time): el tiempo estimado que un cliente demora en la línea de espera ante de empezar el servicio.

·   El tiempo medio en el sistema (The Mean Time in System): el tiempo estimado que un cliente demora tanto en esperar el servicio como recibirlo.

·    Las probabilidades de estado (The State Probabilities): la probabilidad de distribución del número en el sistema. Que es, la probabilidad de que haya exactamente (n) usuarios en la cola o recibiendo servicio en cualquier tiempo; para n=0, 1, ...

·   La probabilidad de negación del servicio (The Probability of Service Denial): la probabilidad de que un cliente que arriba, encontrando el lugar de servicio completo, se retire; o  de igual modo, la fracción de clientes a los que se les niega el servicio. Si la sala de espera tuviera una capacidad infinita, esta probabilidad es obviamente cero y no será reportada.

 

Todos estos resultados se obtienen mediante evaluación directa de fórmulas estándar. Las cuales no presentaremos aquí; la mayoría son complejas y generalmente las podemos encontrar en cualquier texto.

 

ANÁLISIS DE COSTOS

 

El STORM provee la capacidad para ejecutar un simple análisis de costo, cuyo objetivo es determinar el número de servidores necesarios para la estación de trabajo: quizás, el número de ascensores a instalar en un nuevo hotel o el número de puestos de peaje a habilitar de acuerdo al personal. La decisión estará basada en un enfrentamiento entre dos costos básicos. El costo de la provisión de servidores adicionales versus el costo atribuido al servicio demorado o denegado.

 

Asumimos que los costos de servicios demorados es una cantidad dada por clientes por unidad de tiempo consumidos en el sistema. Mientras, por un lado, resulta usualmente fácil determinar el costo de un servidor, el costo de hacer esperar un cliente es en cierta medida intangible y muchas veces difícil de estimar. Basta decir claramente que el costo de espera existe y en casos extremos puede llegar a ser completamente significante. Estos deben ser estimados de algún modo para que un sistema de cola sea inteligentemente designado y controlado.

 

Colocaremos ambos costos bajo el mismo patrón convirtiendo los costos por unidad de tiempo. Si el costo de un servidor todavía no está de ésta forma (como sería el salario de un cobrador adicional de un banco), cualquier gasto extra (como el primer plazo o el pago al contado de una torre) deberá ser analizado anualmente (para más detalle ver el capítulo de Análisis de Inversión) y convertida a la misma unidad de tiempo que se está usando para los costos de espera.

 

Si definimos:

 

C1 = Costo de demora por cliente por unidad de tiempo.

C2 = Costo por unidad de tiempo de para la provisión de cada servidor adicional.

Lq   = Número promedio en la cola.

S    = Número de servidores.

 = Improductividad del Servicio

 

entonces el Costo Total por unidad de tiempo para una estación es:

 

Lq*C1 + (S-r) C2

 

y como S crece, la capacidad adicional del servicio aumentará y Lq disminuirá. El STORM explorará estos cambios y, para los costos que proporciona, reportará el número de servidores que minimizan el Costo Total.

 

Un análisis extendido es realizado para el modelo de cola que implica una cantidad finita de sala de espera. Aquí cambiamos el costo de servidores en contraste con el costo de negocios perdidos para clientes despachados, mas el costo de espera para estos clientes quienes son admitidos. Definiendo:

 

    Cr = Costo de servicio rechazado a un cliente.

    ta = Tiempo de arribo.

    pd = probabilidad de que un cliente sea rechazado de un servicio.

 

el Costo Total ahora será:

 

    Ls*C1 + (S-r) C2 + pd*ta*Cr

 

    El análisis de costo es una opción importante que puede ser omitido. Si desea conducir un estudio descriptivo de un sistema de cola sin consideración de costos, simplemente no introduzca ningún dato de costo.

 

 

ANÁLISIS DE MODELOS DE COLA

 

Los componentes del modelo de cola pueden ser combinados en varias formas para reflejar varias y diversas situaciones que pueden encontrarse. El STORM le proporciona la siguiente selección de modelos a escoger. Todos estos le permiten especificar cualquier número S de idénticas estaciones de trabajo paralelas con un límite de hasta 100 servidores en el Storm profesional y hasta 10 para la versión personal.

 

1. ENTRADA POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIAL (M/M/C)*

Este probablemente sea el más simple de los sistemas de colas para analizar. El mismo toma arribos aleatorios desde una población infinita (el proceso de entrada de Poisson), sin limite de espacio en la sala de espera y con tiempos de servicio distribuidos exponencialmente.

 

 

 

 

2. ENTRADA POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO CONSTANTES (M/D/C)*

 

Aún con arribos completamente aleatorios, este modelo supone tiempos fijos de servicio, el mismo para todos los trabajos. En el caso del servidor múltiple (S >1) las formulas exactas no están disponibles para las medidas de interés, y el Storm utiliza la aproximación de Molina´s para la estación de servidor único se usan las mismas fórmulas.  Para la estación de servidor único se usan las mismas fórmulas.

 

3. ENTRADAS POISSON Y TIEMPO DE SERVICIO ARBITRARIO (M/G/C)*

 

Otra vez, asumiendo arribos aleatorios y longitud de cola ilimitada,  suponemos que no conocemos nada de la distribución de los tiempos de servicio más allá de su media y su desviación estándar. Al igual que antes, sólo en el caso de un solo servidor la expresión podremos disponer de fórmulas exactas.

 

Para S >1, el Storm usa las formulas de aproximación de  Lee y Longton; vea Scochastic Models in Operation Research, Volumen I, por Daniel Heyman  y Matthe Sobel (McGraw Hill, 1982) para discutir al respecto. Estas expresiones son exactas para casos especiales de M/M/c y M/G/1, y son especialmente buenas en situaciones de trafico pesado (es decir, cuando la tasa de arribo es casi tan grande como la tasa máxima de salida), solo las medidas de valor media están disponibles para este modelo; las probabilidades de estado no pueden determinarse con tan poca información.

4. ENTRADA POISSON, TIEMPO DE SERVICIO EXPONENCIAL Y LONGITUD FINITA DE COLA  (M/M/C/K)*

 

Ahora asumimos que el mayor numero de clientes que pueden ingresar al  sistema esta limitado por un número  finito de clientes k>=S, así la capacidad de la sala de espera es k-S. Puesto  que asumimos una población infinita de entrada, los clientes continuaran arribando a pesar de que el sistema este lleno, a algunos clientes se les negará el servicio y deberán regresar. Esto  nos lleva a considerar algunas características especiales en los informes de salida de este modelo.

 

El tiempo promedio tanto en cola como en el sistema, que en todos los otros modelos sí se reporta, en éste caso no porque no están claramente definidos. ¿Qué tiempo le  atribuiremos nosotros a un cliente que nunca entra en el sistema? Por otro lado, una estadística adicional sólo se informa para este modelo: la probabilidad del servicio negado. Por supuesto que  esta probabilidad es cero cuando la capacidad de espera es ilimitada.

 

También es diferente el  análisis de costo de este modelo. Como lo discutimos en la sección 5. A este análisis debemos agregarle el significativo costo de los clientes que no son simplemente demorados pero que de hecho perdemos.

 

5.  FUENTE DE ENTRADA FINITA Y TIEMPO DE SERVICIO EXPONENCIAL (M/M/C/K/K)*

 

En lugar de una entrada Poisson, asumimos que un número fijo y finito de clientes usan la estación de servicio. Así, la tasa a la cual se espera que los clientes arriben es una función del número ya existente en el sistema: cuanto más de ellos estén presentes, menos van a decidir buscar servicio.

 

Asumiendo que cada cliente establece sus demandas independiente y aleatoriamente al sistema, y que los tiempos de servicio están exponencialmente distribuidos, todas las medidas de performance listadas en la sección 4 son informadas por el STORM. Se entiende que la población de entrada tiene un tamaño k  >= S;  de lo contrario uno se libraría del exceso de servidores.

 

 

PROBLEMAS  EJEMPLOS

 

Para ilustrar varios modelos disponibles, describiremos una situación en la cual las alternativas posibles dan lugar a varios escenarios. La columna en la figura 1  muestra el editor de pantalla después del ingreso de datos para estos escenarios. Ud. puede dar un vistazo a la adecuada entrada mientras lee la descripción.

 

1.  ESCENARIO 1 (M/M/C)*

 

Su empresa de ingeniería exacta utiliza dos grandes prensas taladradoras para mecanismos precisos. Está considerando la adición de una tercera debido a retrasos largos que se han desarrollado en esta sección. Usted cobra un alto precio por este tipo de trabajo y sus clientes empiezan a mostrarse impacientes. El trabajo varía mucho en tiempo de procesamiento, (¿podría esto ser parte del problema?), y una distribución exponencial con el valor medio de  dos horas encaja bien.

 

Usted recibe los pedidos para este tipo de trabajo a una proporción  media de 38 por semana. Sus empleados trabajan 8 horas al día, 5 horas por semana. Una nueva prensa taladradora le costará $ 1.500.000 y tendrá un recupero   estimado de $ 200.000  después de 20 años. Siendo la tasa de interés de un 15% anual, lo cual da un valor equivalente de aproximadamente $ -238.000, o un costo de $ 4.600 por semana. Ahora, la pregunta difícil de responder es ¿Cuál es el costo de retrasar los pedidos?

 

Usted supone que los costos directos de manipular las  quejas y entregas, sean mucho menos significativos que la posibilidad de perder un negocio por la competencia. Algunos clientes han considerado esta posibilidad y unos pocos la han llevado a cabo. Puesto que la demanda de su servicio especializado no es general, cada pérdida es muy costosa. Finalmente, después de estimar mejor el costo de un cliente perdido y el chance de que esto pase en función del tiempo de espera,  a usted le surge un retraso global de $ 1.000 por cliente a la semana.

 

2.  ESCENARIO 2  (M/G/C)*

 

Usted se pregunta ¿Cuánto de la dificultad que usted está experimentando en hacer las entregas a tiempo, se debe al tiempo de servicio muy imprevisible? Usted decide ver lo que pasaría si reduce la desviación estándar de estos tiempos. Si de esto obtiene resultados eficientes, podría valer la pena trabajar en esta dirección. Un mejor mantenimiento o mayor capacitación a los operadores podría ayudar a reducir la variación en los tiempos de procesamiento. Para comenzar,  trataremos de reducir a la mitad la desviación normal actual, que es  igual al valor inferior (dos horas) para la distribución exponencial.

 

3.  ESCENARIO 3 (M/M/C/K)*

 

Si usted tuviera que limitar el número de trabajos que acepta, podría ganar una mejor reputación en puntualidad y responsabilidad sin tener que rechazar demasiados pedidos. Usted decide probar varios valores superiores al estado limite en el sistema y ver que efecto causa esto. Comenzará con un número máximo de 12 trabajos en el sistema. Partiendo de que la ganancia promedio por trabajo producido es de $5.000 que es el  costo de rechazar una orden.

 

4.  ESCENARIO 4 (M/M/C/K/K)*

 

Usted advierte que toda su empresa realmente vive sólo de 200 clientes, y  ninguno de ellos hace otro pedido hasta que usted entrega el trabajo pendiente  que tiene para ellos.

 

Acortando el tiempo del repunte podrían agilizar las órdenes más frecuentes. Su primer análisis, considerando que la población efectivamente infinita no te permite aceptar esto. ¿Podría un análisis más cuidadoso cambiar sus conclusiones? En  promedio, cada cliente hace un pedido cada cinco semanas, o 0,2 ordenes por semanas.

 

 

INGRESO DE DATOS UTILIZANDO EL STORM

 

La figura 1 muestra como aparece el editor de pantalla después de ingresar cuatro problemas. Discutiremos brevemente cada fila.

 

1.  NÚMERO DE SERVIDORES(#SERVERS)

En todos los casos, simplemente ingrese en el valor de S el número de estaciones de trabajo. En su escenario, S = 2.

 

2.  POBLACIÓN FUENTE  (SOURCE POP)

Escriba la letra I o F, dependiendo si el tamaño de la población de entrada es  Infinito (por defecto INF) o Finito, respectivamente.

 

3.  TASA DE ARRIBO (ARR RATE)

Para una población infinita debe ingresar  el número promedio de clientes por unidad de tiempo en la que usted espera que arriben. En cambio, para una fuente de entrada finita, ingrese el número promedio de demandas en el sistema que se espera que haga cada cliente por unidad de tiempo. Asegúrese de usar una medida de tiempo consistente.

 

 

 

+----------------- STORM EDITOR : Queueing Analysis Module ----------+

¦ Title : Problema de la Presa de Taladro                                      ¦

¦ Number of independent queueing problems :         4                          ¦

---------------------------------------------------------------------+

¦ R11 : C4   ESCENAR. 1 ESCENAR. 2 ESCENAR. 3 ESCENAR. 4                       ¦

¦ # SERVERS           2          2          2          2                       ¦

¦ SOURCE POP        INF        INF        INF        FIN                       ¦

¦ ARR RATE          38.        38.        38.        0.2                       ¦

¦ SERV DIST         EXP        GEN        EXP        EXP                       ¦

¦ SERV TIME        0.05       0.05       0.05       0.05                       ¦

¦ SERV STD            .      0.025          .          .                       ¦

¦ WAIT CAP            .          .         10          .                       ¦

¦ # CUSTMERS          .          .          .        200                       ¦

¦ WAIT COST       1000.      1000.      1000.      1000.                       ¦

¦ COST/SERV       4600.      4600.      4600.      4600.                       ¦

¦ LOSTCUST C          .          .      5000.          .                       ¦

---+¦  Á Enter the number of servers               à

 

 

  F1 Bloc F2 GoTo F3 InsR  F4  DelR F5  InsC F6  DelC F7 Done  F8 Help    KB:N

 

 

Figura1: Pantalla del editor después del ingreso de datos

 

 

4.  DISTRIBUCIÓN DEL TIEMPO DE SERVICIO (SERV DIST)

Escriba aquí lo que eligió entre las 3 opciones que tenía disponibles:

  E para tiempos de servicios de distribución Exponencial o Markoviana.

  D para tiempos de servicios Determinísticos o Constantes.

  G para tiempos de servicios General o Arbitrarios. En este caso al ser la media 0.5 se ingresa la mitad del valor de la tasa de arribo.

 

La entrada por defecto es EXP.

 

5.  TIEMPO MEDIO DE SERVICIO (SERV TIME)

Ingrese el tiempo medio de servicio. En los problemas de ejemplo, ya que 40 horas semana, es nuestra unidad de tiempo, el tiempo medio de servicio de 2 horas se convierte a 0,05 semanas.

 

En el caso particular en que el servidor atienda mas de un cliente a la vez, se produce lo que denomina efecto BULK SERVER. El mismo se denota con la letra K, que representa la cantidad de clientes que son atendidos a la vez por un servidor. El Storm no contempla esta posibilidad, esto se soluciona de la siguiente manera:

 

Siendo 1/m el tiempo de servicio que usted ingresa generalmente, el nuevo valor que se debe ingresar es 1/m * K

 

6.  DESVIACIÓN ESTÁNDAR DEL TIEMPO DE SERVICIO (SERV STD)

Este ingreso solo debe ser hecho si se eligió la distribución General de tiempo de servicio. Para tiempos de servicio exponencial o constante, el valor apropiado será automáticamente usado (igual al tiempo medio de servicio o a 0 (cero), respectivamente). De todas maneras, no se permitirá la entrada si se eligió EXP o DET de la fila SERV DIST. Usted podría tipear "G" arriba, dándole entrada a un nuevo valor a este campo, y luego regresar y cambiar GEN a EXP o DET, pero estos cambios serán ignorados. Note que en el  "Escenario 2" la desviación estándar ingresada es la mitad del valor medio.

 

7.  CAPACIDAD DE LA SALA DE ESPERA (WAIT CAP)

Ingrese aquí la cantidad de salas de espera provistas, o la máxima longitud de cola, si ésta es limitada. De otra manera, la entrada por defecto "." denota una capacidad infinita de la sala de espera. Nótese que si ha ingresado un número, éste no debe incluir el cliente que está siendo atendido. En términos de la notación presentada con anterioridad, usted debe ingresar k-S.

 

8. NÚMERO DE CLIENTE (#CUSTOMERS)

Esta es la fila en la que se indica el tamaño de la población de entrada finita. Use el punto (configurado por defecto) para un número infinito de clientes.

 

9.COSTOS DE ESPERA (WAIT COST)

Aquí usted debe ingresar el costo por unidad de tiempo que le significará hacer esperar a un cliente, donde el tiempo de espera se mide desde el preciso momento en que entra el pedido hasta que el trabajo está finalizado. Si este costo se omite, dejando el “.” por defecto, y se ingresa un costo por servidor, inmediatamente se ejecutará un análisis de costo, asumiendo que el costo de espera es cero.

 

10. COSTO DE SERVIDOR (COST/SERV)

La cantidad a ingresar en este caso es el costo por unidad de tiempo que usted le asigna al hecho de agregar un servidor más. Si usted no ingresa ningún dato aquí no se desarrollará ningún análisis de costo sobre ese escenario.

 

11. COSTO DE UN SERVICIO DENEGADO (LOSTCUST C)

Si la capacidad e la sala de espera es finita, usted deberá ingresar en esta fila, el costo que significa un cliente que no encuentra lugar para esperar y se retira: el costo de un cliente perdido. En escenarios donde la longitud de la cola es ilimitada no habrá nunca pérdida de clientes, por consiguiente este costo es irrelevante y cualquier dato que ingrese será ignorado.

 

 

EJECUCIÓN DEL MÓDULO

 

Cuando se procede a ejecutar el módulo, aparecerá la lista de todas las instalaciones de servicios (por ejemplo escenarios) que se han ingresado. Usted puede querer dar un vistazo a uno o varios de los escenarios seleccionados, en cuyo caso debe indicar su elección marcándolas con asteriscos. Si usted quiere obtener el reporte de salida para todas las alternativas desplegadas en secuencia, usted puede seleccionarlas todas simultáneamente con la tecla F1 o F3 o si se desea seleccionar solamente 1 , con las flechas se posiciona en la cola  que desea ver y presiona la barra espaciadora la tecla F2 omite la operación realizada por la tecla F1 o F3. Para ver el reporte se presiona la tecla F7.

 

Habiendo seleccionado los escenarios a ser analizados, se le preguntará si desea ver un histograma de las probabilidades de estado (show probability distribution of number system). Ya que esto puede llevar tiempo en procesarse y brindar información más detallada de la que usted realmente necesita, se le da la opción de saltearlo.

 

Después de esto, las soluciones para cada problema de cola seleccionado serán presentadas como sigue. Ilustremos con el Escenario1, la cola M/M/2.

 

1.  RESUMEN DE ESTADÍSTICAS

El primer reporte de salida para cualquier problema de cola se parecerá a la Figura 2.

 

Después de hacer el resumen de los parámetros de entrada sobre los cuales se basa el análisis, se darán varias estadísticas que describen como está funcionando la cola. De este modo, para el escenario 1, se puede confirmar inmediatamente que las prensas taladradoras están sobrecargadas: están siendo usadas el 95% del tiempo.

 

La longitud de cola no parece tan excesiva: un trabajo que recién arriba puede calcular toparse con alrededor de 17,5 trabajos esperando delante de él, o 19,5 incluyendo los trabajos siendo atendidos. Por supuesto, la mayoría de los trabajos (92,56%) experimentará algún retraso antes de ser atendido, pero esto sólo lleva alrededor de media semana (0,5128 semanas) en promedio desde el arribo a la salida.

 

 

ESCENAR. 1 : M / M / C *

Q U E U E   S T A T I S T I C S

 

Number of identical servers . . . . . . . . .           2

Mean arrival rate . . . . . . . . . . . . . .     38.0000

Mean service rate per server  . . . . . . . .     20.0000

 

Mean server utilization (%) . . . . . . . . .     95.0000

Expected number of customers in queue . . . .     17.5872

Expected number of customers in system  . . .     19.4872

Probability that a customer must wait . . . .      0.9256

Expected time in the queue  . . . . . . . . .      0.4628

Expected time in the system . . . . . . . . .      0.5128

 

 
Figura 2: Resumen de las estadísticas para un problema de colas

 

2.  ANÁLISIS DE COSTO

El siguiente reporte mostrado en la figura 3, presenta un análisis de costo del sistema de servicio. El costo total por unidad de tiempo es calculado y  sumado con el número dado de los servidores que minimizan los costos. Usted puede sorprenderse que aunque el promedio de demora que experimentan sus clientes no parezca significativo, aparecerá indicado una prensa taladradora adicional.

 

 

 
ESCENAR. 1 : M / M / C *

                           COST ANALYSIS PER UNIT TIME

 

                           Current System        Optimal System *

Number of servers     |     2               |   3         

Cost per server       |  4600.0000          |4600.0000         

Cost of service       |            9200.0000|         13800.0000

Mean number in system |    19.4872          |   2.5884           Waiting cost/customer |  1000.0000          |1000.0000                Cost of waiting       |           19487.1900|          2588.4000        

                                  ----------           ----------

TOTAL COST                         28687.1900         16388.4000

 

                      * Optimization is over number of servers

 

 

Figura 3: Análisis de costo para un problema de colas.

 

 

 

3.  DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DEL NÚMERO EN EL SISTEMA.

Si cuando aparece la pregunta: “Show probability distribution of number in system?” (¿Muestre distribución de probabilidad del número en sistema?) Usted ingresa “si” se le presentará la salida final, la cual aparece en la pantalla anterior. La figura 4 muestra como se ve la primera parte de está salida para el Escenario 1 (la representación entera se extiende a lo largo de tres pantallas).

 

El gráfico es diseñado de la siguiente manera. Cada fila representa un cierto número de clientes quienes pueden estar en el sistema en un tiempo arbitrario. Esto a menudo se llama el estado del sistema. Hay una fila por cada estado que tiene una oportunidad significativa de ocurrir, a lo que identificamos como una probabilidad de 0.005 o más. Por cada número semejante la probabilidad de ocurrencia (o, si prefiere, la fracción de tiempo en que el sistema está en este estado) está dada, seguido por una representación gráfica de la misma probabilidad. Un gráfico de barra o histograma es formado usando asterisco por cada 0.02 unidades  de probabilidad. La última fracción más allá de  un múltiplo de 0.02 está dada por un asterisco si éste está entre 0.01 y 0.02 y por un signo de suma si está entre 0 y 0.01. La tabla 1 ilustra esto.

 

 

 

Probability                                Representation

    

            0 - 0.01                                       +

0.01                        - 0.02                                     *

0.02                        - 0.03                                        *+

0.03                        - 0.04                                        **

0.04                        - 0.05                                       **+

 

                                                       

 

 

       Tabla 1: EL código usado en los histogramas de probabilidad.

 

Cuando la probabilidad para cada estado separado cae por debajo de 0.05, el gráfico termina con un mensaje en la última fila OVER dando el total de las probabilidades después de este punto. A veces este gráfico no comienza en el estado cero, en cuyo  caso primero aparecerá la leyenda UNDER en la fila.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ESCENAR. 1 : M / M / C *

                  PROBABILITY DISTRIBUTION OF NUMBER IN SYSTEM

Number Prob  0   0.1  0.2  0.3  0.4  0.5  0.6  0.7  0.8  0.9   1

             +----+----+----+----+----+----+----+----+----+---+

    0  0.0256|*+                                               |

    1  0.0487|**+-                                             |

    2  0.0463|**+---                                           |

    3  0.0440|**+-----                                         |

    4  0.0418|**+-------                                       |

    5  0.0397|**----------                                     |

    6  0.0377|**------------                                   |

    7  0.0358|**--------------                                 |

    8  0.0340|**----------------                               |

    9  0.0323|**-----------------                              |

   10  0.0307|**-------------------                            |

   11  0.0292|*+--------------------                           |

   12  0.0277|*+----------------------                         |

   13  0.0263|*+-----------------------                        |

   14  0.0250|*+------------------------                       |

   15  0.0238|*+-------------------------                      |

   16  0.0226|*+---------------------------                    |

   17  0.0214|*+----------------------------                   |

   18  0.0204|*+-----------------------------                  |

 

Figura 4: Distribución de la probabilidad de estado del sistema

con  dos servidores.

 

Se extiende una fila de guiones a la derecha de cada fila de asteriscos. Esto muestra la distribución acumulativa: la probabilidad que la línea de espera sea encontrada en cualquier estado menor o igual a este. Cada guión denota 0.02 de probabilidades.

 

La Máxima Probabilidad de Estado del Sistema representa la cantidad máxima de clientes que puede tener el Sistema (esto es, tanto siendo atendidos con esperando)

 

Por el escenario 1 mucho se explica ahora. El histograma completo (no mostrado) se extiende a 45 clientes y la fila OVER muestra que hay casi un 10 % de probabilidad de tener estados aún más largos que este. En este caso, la Máxima Probabilidad de Estado es de 45 clientes, es decir que hay 44 clientes esperando en cola y uno está siendo atendido. Así, mientras el número promedio en el sistema es bastante bajo, la variación en el tiempo es extrema, y las demoras de varias semanas no están fuera de lo común (40 trabajos antes que el suyo significa un promedio de dos semanas de demora y a veces incluso de más).

Usted podrá confirmar este diagnóstico observando la distribución de probabilidades si se le agrega una tercera prensa taladradora. Como muestra la figura 5, las largas líneas de espera han sido eliminadas. La Máxima Probabilidad de Estado a disminuido de 45 a 10 clientes. A propósito, para modificar y volver a correr el problema usando STORM solo se requiere que presione Esc y Enter para volver al editor de pantalla, hacer los cambios correspondientes y luego presionar F7 y Enter para volver a la lista de candidatos.

 

 

 

                             ESCENAR. 1 : M / M / C *

                  PROBABILITY DISTRIBUTION OF NUMBER IN SYSTEM

     Number  Prob  0   0.1  0.2  0.3  0.4  0.5  0.6  0.7  0.8  0.9   1

                   +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+

          0  0.1278|******+                                          |

          1  0.2429|************+------                              |

          2  0.2307|************------------------                   |

          3  0.1461|*******+-----------------------------            |

          4  0.0926|*****-------------------------------------       |

          5  0.0586|***------------------------------------------    |

          6  0.0371|**---------------------------------------------  |

          7  0.0235|*+---------------------------------------------- |

          8  0.0149|*------------------------------------------------|

          9  0.0094|+------------------------------------------------|

         10  0.0060|+------------------------------------------------|

     OVER    0.0104|*------------------------------------------------|

                   +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+

 

 

Figura 5: Distribución de probabilidad con  tres servidores.

 

 

CARACTERÍSTICAS ESPECIALES DE CIERTOS MODELOS

 

Para la mayoría de los casos los reportes de salida para cada tipo de modelo de colas son los mismos. Por consiguiente, no nos detendremos en una discusión detallada de cada uno de los escenarios. En su lugar, en esta sección indicaremos las diferencias generales entre los modelos y en la sección siguiente comentaremos brevemente cómo los reporte pueden ser interpretados para aportar claridad sobre nuestros problemas ejemplo.

 

1.  LAS COLAS M/D/C * Y M/G/C *

Para éstos modelos los resúmenes de estadísticas reportados son los mismos que los que aparecen en la Fig. 2 y el análisis de costo es como el de la Figura 3. Sin embargo a usted no se le da la posibilidad de recibir un tercer tipo de salida ya que las fórmulas no están disponibles para una completa distribución de probabilidad. Si de los tiempos de servicio solo conocemos su promedio y desviación estándar, no contamos con información suficiente para establecer más que medidas promedio de ejecución.

 

2.  LA COLA M/M/C/K *

Existen diversas características especiales de este modelo debido a la posibilidad de negar el servicio a un cliente y perder de este modo un pedido. Primero, en el resumen de estadística, los tiempos estimado no aparecen porque el tiempo en el sistema para un cliente perdido no está bien definido. En su lugar, lo que se reporta es la probabilidad de servicio negado. Esto es la fracción de los clientes que arriban y que se pierden.

 

El análisis de costos mostrado en la figura 6 para el Escenario 3 muestra el costo adicional que está incluido en este modelo. Como ya lo hemos discutido en la sección 5.

 

 

DISCUSIÓN DE LOS PROBLEMAS EJEMPLO

 

Para aquellos que pudieran estar interesados en como surge todo, y que quieran demostrar como usar el módulo Storm eficientemente concluimos con algunas notas sobre los escenarios ejemplo.

 

1.  ESCENARIO 1

Hemos visto como el análisis inicial indicaba que se debía adquirir una máquina adicional y porqué. Podrían haberle quedado algunas dudas con respecto a la sensatez de esta conclusión con los números utilizados. Primero el costo de espera se asumió en $1.000 por cliente por semana, pero, ¿Qué se hace si esto no fuera tan exacto? Solo debe volver al editor de pantalla, ingresar un valor diferente y resolver nuevamente el problema. Esto se hace rápidamente. Usted encontrará, aún en el caso que redujera el costo a $500 que la recomendación sería la misma: compre otra prensa taladradora.

 

Supongamos que la tasa de arribo decae. El hecho de cambiar los valores de 38 a 36 pedidos por semana, resultará en cambios dramáticos. Mientras la utilización se mantiene bastante alta, la longitud promedio de cola baja de 17.6 a 7.7 trabajos, y el tiempo promedio en el sistema se reduce a la mitad. Aún así se considera necesario la compra de una tercera máquina. Solo si los arribos semanales cayeran a 34, solo dos maquinarias justificarían el costo.

 

Así, existe considerablemente mayor sensibilidad hacia las tasas de arribo que hasta los costos de espera, pero la recomendación de agregar una máquina se mantiene bajo un amplio rango de condiciones.

 

 

 

 

 

 

 

 

ESCENAR. 3 : M / M / C / K *

COST ANALYSIS PER UNIT TIME

 

                           Current System       Optimal System *

Number of servers     |          2          |          3        |    

Cost per server       |  4600.0000          |4600.0000          |    

Cost of service       |           9200.0000 |         13800.0000|     

Mean number in system |     5.5735          |   2.5539          |   

Waiting cost/customer |  1000.0000          |1000.0000          |     

Cost of waiting       |            5573.5100|          2553.8800|     

Prob of service denial|     0.0585          |1.5213E-03         |     

Arrival rate          |    38.0000          |  38.0000          |    

Cost per lost customer|  5000.0000          |5000.0000          |     

Cost of lost customers|           11119.5300|           289.0500

                                 ----------            ----------

TOTAL COST                        25893.0400          16642.9300

 

*Optimization is over number of servers

 

 

 

Figura 6: Análisis de costo para una sala de espera limitada.

 

2.  ESCENARIO 2

En este caso, usted trata con los efectos de cambiar la variabilidad de los tiempos de trabajo. Reduciendo la desviación estándar de 0.05 a 0.025, la longitud promedio de cola cae de 17.6 a 11.0. Aún si reducimos la varianza a 0 (cero), una meta inalcanzable, la longitud de cola sólo cae a 8.8. A lo largo de todo el proceso la conclusión sigue siendo la misma: tres prensas taladradoras son mejores que dos. De este modo la variación del tiempo de procesamiento no es un factor significativo.

 

3.  ESCENARIO 3

Usted desea investigar la estrategia de limitar el número de pedidos que acepta en cualquier momento. Si la política actual de jamás rechazar un trabajo (Escenario 1) es reemplazada por una longitud máxima de cola de 10 pedidos el número promedio en el sistema va de 19.5 a 5.6 aunque el porcentaje de clientes que se retira es solo alrededor del 6%. Estos números pueden encontrarse en la Figura 6. La Figura 7 muestra la distribución de probabilidad donde puede ver cómo el truncamiento de la cola produce que le gráfico se corte abruptamente en el estado máximo (12).

 

 

 

 

 

 

 

 

ESCENAR. 3 : M / M / C / K *

PROBABILITY DISTRIBUTION OF NUMBER IN SYSTEM

 

  Number Prob  0   0.1  0.2  0.3  0.4  0.5  0.6  0.7  0.8  0.9  1

              +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+

     0  0.0542|***                                              |

     1  0.1029|*****+--                                         |

     2  0.0977|*****--------                                    |

     3  0.0929|*****------------                                |

     4  0.0882|****+-----------------                           |

     5  0.0838|****+---------------------                       |

     6  0.0796|****--------------------------                   |

     7  0.0756|****------------------------------               |

     8  0.0719|****---------------------------------            |

     9  0.0683|***+-------------------------------------        |

    10  0.0648|***+----------------------------------------     |

    11  0.0616|***+-------------------------------------------  |

    12  0.0585|***----------------------------------------------|

              +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+

 

 

Figura 7: Distribución de probabilidad de estado del sistema

con longitud de cola limitada.

 

Permitiendo más de 20 trabajos en espera, solo perderá el 2% de los pedidos, y el estado promedio del sistema todavía es de solo 9.1 trabajos. Así, pareciera posible reducir significativamente el tráfico sin perder demasiados pedidos.

 

A lo largo de todo esto, las consideraciones económicas continúan favoreciendo la idea de una tercer máquina. A usted le queda una última preocupación, cuán real es el análisis de un estimado de $ 5000 asignado al costo de la pérdida de un pedido. Otra rápida serie de corridas demuestran que con una sala de espera para 10 trabajos esta figura de costo puede oscilar, desde $ 1000 a $ 7000 sin cambiar el número de tres servidores. Si este número se incrementa a $ 8000 se deberá agregar incluso otro servidor.

 

 

 

Autores:

 

WEHBE, Isabel Leticia

E-mail: johweb@mail.com

            johweb@ciudad.com.ar 

 

U.T.N. – F.R.T.

CONTINUAR