FORMULAS DE KENDALL - POLLACZEK

 

INTRODUCCIÓN

 

       Con el propósito de definir con facilidad los supuestos usados en el estudio de sistemas de espera D. G. Kendall introdujo un sistema de notaciones, que mediante letras describe los supuestos para:

 

                        A / B / C

 

A. Distribución de llegada

B. Distribución de servicio

C. Cantidad de servidores

 

David  G. Kendall, basado en la teoría de cola demostró, que se puede reducir el tiempo de espera en cola, modificando la modalidad de los tiempos de servicio.

Para esto considera las distribuciones Poissonianas o Exponeciales (M), Generales (G) y Deterministicas o Constantes (D), con lo cual, y haciendo referencia a las formulaciones matemáticas de Pollaczk – Khinchine, deduce que cualquier cosa que podamos hacer para reducir variabilidad en los tiempos de proceso actuará directamente para reducir los tiempos de espera. Es decir que si se logra pasar de distribuciones variables (M/M/1) a distribuciones constantes (D/D/1), los tiempos de espera en una cola podrían reducirse hasta cuatro veces respecto de los tiempos que  manejan procesos con distribuciones variables

Esto puede llevarse a cabo a través de  cálculos tanto del número medio de unidades en el sistema, del numero de unidades en la línea y del tiempo de espera, todos ellos formulados de acuerdo con su teoría.

 

 

Cálculo del número medio de unidades en el sistema

 

Si las llegadas son poissonianas, en tanto que la distribución del tiempo de servicio Q es arbitraria, se utilizará la fórmula siguiente, debida a Kendall:

 

 

Ec. 1                                     

Esta fórmula muestra que el número medio LS de unidades en el sistema, aumenta con la varianza de Q, para valores dados de l y de m.

Si se tienen l y m dadas, el número medio mínimo de unidades en ese sistema, cuando sQ = 0, es decir, cuando el tiempo de servicio es constante, será:

 

            Ec. 2                                     

 

Finalmente, si s2Q = 1/m2 (distribución exponencial), se encuentra nuevamente

(Ec. 1):

           

            Ec. 3                                     

 

El modelo M/D/S supone una variación cero en los tiempos de servicio     (s = 0), mientras que la distribución exponencial de tiempos de servicio supone una variación muy grande (s = 1/m). Entre estos dos casos extremos hay un intervalo (0 < s < 1/m), en el que caen la mayor parte de las distribuciones de tiempo de servicio reales. Otro tipo de distribución teórica de tiempos de servicio que concuerda con este espacio intermedio, es la distribución Erlang (llamada así en honor del fundador de la teoría de colas), cuya media y distribución estándar son:

 

         media   = 1/m

 

         desviación estándar   =

 

en donde f es el parámetro que especifica el grado de variabilidad de los tiempos de servicio con relación a la media. Por lo general se hace referencia a f como el “parámetro de forma”.

Tanto la distribución “exponencial” como la “constante” son casos especiales de la distribución Erlang con f = 1 y  f = ¥, respectivamente.

Ahora considérese el modelo M/E/1, que es justo el caso especial del modelo M/G/1, en el cual los tiempos de servicio tienen una distribución Erlang con parámetro de forma = f.

Aplicando la fórmula de la Ec. 1 con  s2 = 1 / fm2  se llega a:

 

Ec. 4                         

 

           

Observamos en la fórmula de Kendall (Ec.1), que si la tasa media de las llegadas l se aproxima a la tasa media del servicio m, es decir, , la longitud de la línea de espera crece más allá de todo límite. Vemos pues, que para una distribución dada de duraciones de servicio, la longitud de la línea puede reducirse mediante una disminución de la intensidad de tráfico r = l/m. Se debe admitir que esta cantidad constituye la esencia misma del problema. Cuando r aumenta, 1 - r disminuye, lo que quiere decir, que la solución de un problema de líneas de espera, exige un dilema entre el costo de la reducción del número medio de unidades en el sistema, y el costo asociado de las instalaciones y del personal que constituyen el servicio.

 

 

CAlculo del nUmero de unidades en la lInea

 

Si las llegadas son poissonianas, pero la distribución del tiempo de servicio Q arbitrario, se utilizará la fórmula siguiente:

 

 

            Ec. 5                                     

 

 

Si el tiempo de servicio es constante, es decir, sQ = 0, entonces el número medio de unidades en cola será:

 

            Ec. 6                                     

 

 

Si s2Q = 1/m2 (distribución exponencial), se encuentra:

 

            Ec. 7                                     

 

Se notará la propiedad:

 

            Ec. 8                                      ; válida en el presente caso; en efecto:

 

            Ec. 9                                     

 

 

Si el tiempo de servicio tiene una distribución Erlang, es decir, s2 = 1 / fm2, entonces el número medio de unidades en cola será:

 

Ec. 10                                   

 

 

Tiempo de espera

 

Una magnitud importante que hay que calcular es el tiempo medio de espera en la línea. Cualquiera que sea la naturaleza de la distribución de las llegadas y del servicio, en régimen permanente no puede salir como media más unidades que las que entran y recíprocamente. El tiempo medio de espera está regulado por la tasa de las llegadas.

 

Si llamamos Wq al tiempo de espera en la línea, se tiene:

 

            Ec. 11                                   

 

Llamamos WS al tiempo medio de espera en el sistema:

 

Ec. 12                                   

 

En el caso de llegadas poissonianas y de un intervalo de tiempo de servicio que tenga una distribución arbitraria de varianza s2Q:

 

 

            Ec. 13                                   

 

 

            Ec. 14                                   

 

 

sQ = 0 (tiempo de servicio constante), entonces:

 

            Ec. 15                                   

 

            Ec. 16                                   

 

 

 

Si s2Q = 1/m2 (distribución exponencial), se encuentra:

 

            Ec. 17                                   

 

Observemos que:

            Ec. 18                                   

            Ec. 19                                   

           

De Ec. 18 y Ec. 19, encontramos que:

 

            Ec. 20                                   

 

que representa el tiempo medio de servicio.

 

            Ec. 21                       

 

donde  es el tiempo medio de servicio.

 

Si hacemos:

                                                           s2Q = 1/m2

y

                                                          

 

encontramos naturalmente la Ec. 18.

 

 

s2 = 1 / f m2 (distribución Erlang), entonces:

 

            Ec. 22                                   

 

            Ec. 23                                   

En un sistema M/G/S (que es el que nos concierne), la siguiente expresión

 

Ec. 24                                   

 

proporciona una útil medida de la eficacia del sistema, puesto que expresa la razón del tiempo medio que ha de esperar un usuario hasta que comienza a ser atendido, a la media del tiempo de servicio. Se presentan 2 casos especiales importantes:

 

1)        Para un tiempo de servicio medio dado, Wq es mínimo cuando s = 0, es decir, lo que se llama un tiempo determinístico de servicio. En este caso:

 

            Ec. 25                                   

 

2)        Si el tiempo de servicio corresponde a una distribución poissoniana, es decir, en el caso de una cola M/M/1, sQ2 = 1/m2, tenemos:

 

            Ec. 26                                   

 

Por tanto, para 2 colas M/M/1 y M/D/1, que tengan el mismo tiempo medio de servicio, tendremos:

 

            Ec. 27                                   

 

Un resultado análogo, obtenido comparando variables poissonianas con llegadas determinísticas, es el debido a Lindley. Que se expresa por:

 

            Ec. 28                                   

 

este valor se corresponde al de coef r = 0,5, obtenido del nomograma de sostenes paralelos cuando el sistema es M/D/S o D/M/S, y puede ser interpretado de la siguiente manera: en un sistema de colas en el que las llegadas siguen una distribución determinística, los usuarios tienen que esperar aproximadamente sólo la mitad del tiempo que cuando las llegadas al sistema siguen una distribución poissoniana. Lo que indica también, que hay una probabilidad favorable a la primera, en la relación 2:1, de que no se formen colas. Vemos entonces, que la llegada de usuarios a intervalos determinísticos mejora de manera notable los servicios. Para una serie de valores de m       (con l = 1), Lindley realizó diversos cálculos sobre:

 

a.      La probabilidad de no tener que esperar cola, P0

b.      El tiempo medio de espera en cola, Wq

c.      La varianza del tiempo de espera, sQ2

 

en el caso de las colas D/M/1, M/M/1 Y D/E/1, M/E/1. Adviértase que Wq y sQ2  crecen rápidamente cuando m  ® 1. Todos estos resultados están representados gráficamente en las dos figuras siguientes.

 

 

 

 


 


                                   Comparación entre D/M/1 Y M/M/1

 

 

 

 

 

 

 

 


                                   Comparación entre D/E/1 y M/E/1

 


           

Observamos que, cualesquiera que sean las distribuciones de las llegadas, si el tiempo de servicio sigue una distribución exponencial, también la sigue el tiempo de espera.

De manera similar podemos analizar un sistema D/D/S, en el cual, el tiempo de espera en cola es aproximadamente cuatro veces menor que el tiempo de espera  para un sistema M/M/S, (r = 0,25 según del Nomograma de Sostenes Paralelos).

Esto nos lleva a afirmar que las condiciones ideales de un fenómeno de espera se logran cuando el sistema es totalmente determinístico, tanto en los tiempos de arribo como los de servicio.

 

 

NOMOGRAMA DE SOSTENES PARALELOS. COEFICIENTE (r)

 

En los apartados anteriores hemos visto como los tiempos de espera y servicio mejoran cuando la distribución es determinística, haciendo  comparaciones desde distribuciones de probabilidad poissonianas (variables o aleatorias)  a distribuciones determinísticas (constantes) mediante formulación de Lindley y en correspondencia con el coeficiente"r",

En este apartado se explicará la obtención de dicho coeficiente mediante el desarrollo y aplicación del Nomograma de Sostenes Paralelos . Entiéndase que en este proceso Kendall trata de demostrar las ventajas que en una línea de espera pueden darse mediante la reducción del tiempo en cola por medio del uso de distribuciones con arribos y servicios determinísticos (D/D/1), siendo que hasta ahora los modelos estudiados siguen una distribución poisson (M/M/1), lo cual condiciona sobre manera el desempeño de un sistema de cola o línea de espera.

Se ha visto que distribuciones poissonianas de llegada y de tiempo de servicio exponenciales negativas, originan ecuaciones relativamente simples de equilibrio para las probabilidades de estado estable. Sin embargo, existen muchas situaciones de la vida real donde tanto la distribución de tiempo entre llegadas como la de tiempo de servicios son apreciablemente diferentes del exponencial.

Aún cuando se han realizado notables avances para describir el comportamiento probabilístico de sistemas de líneas de espera con distribuciones arbitrarias, se han obtenido expresiones relativamente simples para las características de operación sólo para sistemas M/G/1.

            Como se dijo anteriormente, en la vida real tanto los tiempos entre llegadas como los tiempos de servicio responden a distribuciones tales como:

 

-         Poisson

-         Normal

-         Determinístico

 

Y, según sea el caso, el valor de la varianza de la distribución que regula el ingreso de clientes al sistema n(l) y el valor de la varianza de la distribución que regula la velocidad de despacho n(m), asumen los siguientes valores:

(Poisson)

 

 

(Normal)

 

 

(Determinístico)

 

 

 

 

 

(Poisson)

 

 

 

(Normal)

 

 

(Determinístico)

 
           

Esto lo podemos ver representado en el siguiente Nomograma de sostenes paralelos:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


En el sostén izquierdo (A) se ubica la característica de los tiempos que regulan los arribos entre dos clientes sucesivos. Donde:

 

                                  

 

y su valor varía entre:

 

 

El sostén derecho (B) presenta la misma estructura conceptual que el anterior, con la diferencia que:

 

 

y su valor está comprendido entre:

 

 

Estos cocientes pueden unirse en la siguiente fórmula,

 

 

 

 

que nos permitirá obtener un valor numérico (coef r) comprendido entre:

 

0,25 £ r  £ 1

 

Este valor nos permitirá resolver casos donde las condiciones de ingreso/egreso de clientes al sistema, sean diferentes a la Poisson/Exponencial. Por ejemplo, el tiempo de espera en cola real será igual al producto del tiempo de espera en cola poisson por el valor de coef r.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

En el caso de:

 

-            Ingreso Poisson y servicio Exponencial:

 

A = 1 y B = 1. Por lo tanto se unen entre sí los puntos de valor unitario, dando como resultado un valor de  r  = 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


-            Ingreso (servicio) Poisson y servicio (ingreso) Normal:

 

A = 1 y B = 0, o A = 0 y B = 1. Se unen entre sí los puntos de las diagonales del cuadrado. Esas diagonales se interceptan en  r  = 0,50.

            El tiempo de espera en cola será la mitad del que proporciona el modelo M/M/S.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


-            Ingreso constante y servicio constante. Sistema totalmente determinístico

 

A = 0 y B = 0. Se unen entre sí los puntos de valor cero resultando  r  = 0,25.

El tiempo de espera en cola será un cuarto del que proporciona el modelo M/M/S.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Líder: WALTHER VIRLA, Flavia María

e-mail: flawalther@arqa.com

Integrantes:

CAGGIO, Marcos

SALAZAR CARONA, Alejandro

 

Facultad Regional Tucumán – Universidad Tecnológica Nacional

Curso: 4º 1º - Turno: tarde

 

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