DISTRIBUCIONES POISSON Y EXPONENCIAL

 

 

INTRODUCCION

 

FUNCION DE GAUSS COMO LIMITE DEL ESQUEMA DE LAS PRUEBAS REPETIDAS

 

El esquema de las pruebas repetidas puede reemplazarse por la ley de Gauss, (Distribución Normal) cuando n sea grande. Cuando nos encontramos ante sucesos donde puede considerarse constante la probabilidad favorable a cada suceso, podemos reemplazar la matemática de la Distribución Binomial por la Distribución Normal, siempre que  n sea grande. Usar Gauss en vez de la Binomial cuando el producto de  tamaño de la muestra n por la probabilidad del suceso p sea mayor que 5.

Podemos afirmar que la función de Gauss, utilizada como distribución estadística es la más conocida y utilizada. La ley de  Gauss representa la distribución de los errores o desvíos accidentales.

 

 

DISTRBUCION DE POISSON

 

La función de Poisson reemplaza a la de Gauss cuando se trabaja analizando los llamados sucesos raros, que aparecen con frecuencia muy pequeña en una población grande.

 

 

POISSON COMO LEY DE PROBABILIDAD

 

Analizamos primeramente la constante matemática e, que conocemos por su aplicación de los logaritmos neperianos. Recordemos que podemos escribir:

 

e = 0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +..........

1!   2!   3!   4!   5!

 

lo que dá un valor de e = 2.718 aproximadamente. Si elevamos este número e a una potencia m, en forme de serie podemos escribir :

 

 

 


Esto  lo podemos expresar, aplicando el valor de los primeros factoriales :

 

 

 

 

 

 


Para  que la distribución pueda ser considerada como una distribución de probabilidad, la suma de términos debe ser igual a 1. Por supuesto que cada término debe tener un significado real y útil. El desarrollo de           lo podemos utilizar como una distribución de probabilidad. Para ello escribimos la siguiente expresión:

 

 

 

 

 

 


En efecto sabemos que:

 

 

 

 

 


luego lo anterior representa una distribución de probabilidad  (si m > 0).

 

 

CONDICION DE ESTADO PERMANENTE

 

          En investigación Operativa, es sabido que esta distribución describe en forma  bastante aproximada las probabilidades de sucesos aislados en un campo continuo. Para estos casos m es el valor esperado o media aritmética del suceso. Lógicamente, ante un problema determinado, m pasa a ser una constante, condición de estado permanente en teoría de colas. A partir de este momento, para coincidir con la nomenclatura que utilizaremos en los últimos capítulos llamaremos a m con la expresión l.

 

 

CONDICION DE PISSON

 

Distribuidos al azar, la posición de cada uno 4es independiente de la posición de los otros.

La probabilidad la podemos indicar :

 

 

 

 

 

donde l es el valor esperado y n es el número de veces que el suceso ocurre.

        Si p es muy pequeño no es aceptable utilizar la ley de Gauss como función límite, para estos casos podemos utilizar como ley límite la función de Poisson.

        Como criterio podemos aceptar que la aproximación con respecto a la binomial es buena si p es menor que 0.10 y np es mayor que 5.

 

 

APLICACIONES DE LA LEY DE POISSON

 

        Poisson es una distribución que se justifica por sus resultados.

Poisson y Gauss son instrumentos básicos en diferentes trabajos estadísticos de aplicación de empresas, como el caso de Control de Calidad y Recepción de Material y Colas.

A medida  que el valor medio k aumenta, la distribución de Poisson tiende a la Binomial y para valores aún mayores tiende a la Distribución Normal.

 

 

 

 

Poner el grafico

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

la  mayor probabilidad de la variable n corresponde a n = l y n = l - 1

Si  halláramos los momentos de la función de Poisson, nos encontraríamos con un resultado notable:

 

U2 = n = l

Cuadro de texto: La varianza, la media aritmética y l tienen el mismo valor
 

 

 

 


Si ambos valores son iguales o muy parecidos, generalemente podremos aplicar las propiedades de Poisson a esa distribución.

Los modelos de colas suponen que las llegadas son completamente aleatorias. Para explorar esto un poco más imagínese un pequeño intervalo de tiempo, DT. Si las llegadas son completamente aleatorias, pero estables entonces la probabilidad de una llegada en cualquier intervalo de tiempo (Dt1) es la misma que para cualquier otro intervalo (Dt2). Esta suposición es válida en una cantidad sorprendente de situaciones reales.

Es necesario conocer más sobre el patrón de llegada que solo su aleatoriedad, para poder obtener las características de operación de un sistema. Específicamente, ¿Cuál es la probabilidad de 0 llegadas, de 5 o de 10 en una hora?. En otras palabras, se necesita conocer la distribución de probabilidad de las llegadas por unidad de tiempo.

Aún cuando la derivación no se da aquí, puede demostrarse que la distribución de probabilidad de las llegadas es Poisson cuando:

 

 

En donde A = número promedio de llagadas por unidad de tiempo y n = número de intervalos (Dt) por unidad de tiempo. Así, la suposición de llegadas completamente aleatorias conduce a la suposición equivalente de distribución Poisson para la tasa de llegadas.

La distribución Poisson es discreta como se muestra en la figura 1. Para tasa de promedio de llegadas es asimétrica. Para tasas altas de llegadas se vuelve más simétrica y de hecho se aproxima a una distribución  Binomial.

 

Figura 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

 

Una suposición más que se usa  en los modelos de colas es que las salidas son  completamente aleatorias. Las salidas están relacionadas con los tiempos de servicio, porque ocurren cuando terminan el servicio. Entonces, representan los tiempos de terminación del servicio. Estudiando estos, pueden deducirse los tiempos de servicio, suponiendo que el servidor está siempre ocupado. De una manera exactamente igual que para las llegadas, pude decirse:

 

 

En donde  :

 

S = n° de servicios por unidad de tiempo y

n = n° de intervalos (Dt) por unidad de tiempo.

 

Esto significa que el número de clientes servidos por unidad de tiempo tiene distribución Poisson. Sin embargo, casi siempre es más conveniente hablar del servicio en función de los tiempos de servicios. Cuanto lleva servir a un cliente. Para esto se necesita la distribución del tiempo del servicio. Nótese que el tiempo de servicio promedio está dado por: 

 

 

De nuevo sin derivación, puede demostrarse que la suposición conduce a una distribución exponencial negativa para los tiempos de servicio. Esta es una distribución continua y se ilustra en la figura 2.

 


Figura 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Las distribuciones Poisson y Exponencial están relacionados en forma interesante. Cuando se habla sobre tasas de llegadas o tasas de servicio, puede aplicarse la distribución  Poisson. Por otro lado, cuando se está considerando el tiempo de llegadas o el tiempo servicios se aplica la Distribución Exponencial. Si bien son equivalentes es importante distinguirlas claramente y no confundirlas.

 

 

DISTRIBUCIÓN DE POISSON. DEFINICIÓN

 

Es aquella que describe la probabilidad de que se presenten un número dado de llegadas en un intervalo de dado de tiempo, cuando el tiempo entre llegadas sigue una distribución exponencial con parámetro l (n° promedio de llegadas por unidad de tiempo) y está dada por:

 

 

PROCESO POISSON

 

Es el proceso aleatorio en que el tiempo entre llegadas sucesivas sigue una distribución exponencial.

 

AXIOMAS DE PROBABILIDAD

 

 

 

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 

 

En cada caso que estudiamos mediante teoría de colas nos interesa la probabilidad de obtener x éxitos en n ensayos o, en  otras palabras x éxitos  y n-x fracasos en n intentos.

En los problemas de distribución Binomial se parte de los siguientes supuestos:

 

1.   Hay dos resultados posibles para cada ensayo, llamados éxito y fracaso

2.   La probabilidad de un éxito es la misma para cada ensayo

3.   Hay n ensayos, donde n es una constante

4.   Los n ensayos son independientes

 

Donde  la fórmula a la cual responde distribución es la siguiente

 

 

 

LA APROXIMACIÓN DE POISSON A LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

 

Cuando n es grande y p es pequeña, las probabilidades binomiales son aproximadas a menudo por medio de la fórmula

 

Con  (lambda) igual al producto . Antes de justificar  esta aproximación señalemos que  significa que existe una infinidad contable de posibilidades, lo cual nos obliga modificar el tercer axioma de probabilidad.

 

 

 

Los otros postulados permanecen sin cambios. Para verificar que P(S)=1 para esta fórmula, hacemos uso del axioma 3’ y formulamos lo siguiente:

 

 

Dado que la serie infinita en la expresión de la derecha es la serie de MacLaurin para el, de ello se desprende que

 

 

Demostremos ahora que cuando mientras que  permanece constante, la fórmula de limitación de la distribución Binomial al que se da al inicio del párrafo anterior. Sustituyamos primero  por p en la fórmula para la distribución Binomial y simplifiquemos la expresión resultante así, obtenemos:

 

 

 

 

 

Si ahora convenimos en que n, determinamos que

 

 

que

 

 

y, en consecuencia, que la distribución Binomial se aproxima

 

 

 

 

FUNCIONES DE DISTRIBUCIONES POISSON Y EXPONENCIAL

 

Considérese la situación de espera en la cual el numero de llegadas y salidas (a las que se da servicio), durante un intervalo de tiempo es controlado por las siguientes condiciones.

       

Condición 1: la probabilidad de que un evento (llegada o salida) ocurra entre los tiempos t y t + h depende únicamente de la longitud de h, lo que significa que la probabilidad no depende ni del número de eventos que ocurren hasta el tiempo t ni del valor especifico de t. (Técnicamente, decimos que la función de probabilidad tiene incrementos independientes estacionarios.)

       

Condición 2: la probabilidad de que ocurra un evento durante un intervalo de tiempo muy pequeño h es positiva pero menor que 1.

       

Condición 3: cuando mucho puede ocurrir un evento durante un intervalo de tiempo muy pequeño h.

       

La implantación de estas condiciones puede estudiarse deduciendo en términos matemáticos la probabilidad de n eventos que ocurren durante un intervalo de tiempo t. Sea

 

               Pn (t) = probabilidad de que ocurra n eventos durante el tiempo t

 

La condición 1 especifica que  tiene incrementos independientes estacionarios. Para n = 0, esta condición se traduce como

       

       

Par la condición 2, tenemos 0 < < 1 para h muy pequeña. Se puede demostrar que la solución a la ecuación es

       

 

donde n es una constante positiva.

 

A continuación demostramos que a representa la tasa de llegadas (salidas) por tiempo unitario cuando los eventos representan llegadas (salidas). Sin embargo, en  este punto nos concentramos en probar el significado del resultado desde el punto de vista de las tres condiciones que citamos.

Para h > 0 y suficientemente pequeña, se tiene

       

       

Como la condición 3 hace posible la incidencia de cuando mucho un evento, se deduce que

       

       

Este resultado significa que la probabilidad de que ocurra un evento durante un intervalo pequeño h es directamente proporcional a h.

El proceso que describe Pn (t) es completamente aleatorio en el sentido de que el intervalo de tiempo restante hasta que ocurre el evento siguiente es completamente independiente del tiempo que transcurrió desde la incidencia del evento inmediatamente anterior. Sea

       

F(t) = función densidad de probabilidad (F.D.P.) del intervalo de tiempo t

 

entre la incidencia de eventos sucesivos, t > 0

       

 F(t) = función densidad acumulada (F.D.A.) de t

               

 

En función de un planteamiento de probabilidad, si T es el intervalo de tiempo desde la incidencia del último evento, entonces se tiene

       

       

Traduciendo esto en términos matemáticos, se observa que

       

       

Ya que  es la F.D.P. de t y , se tiene

 

 

o mediante el uso de la definición de,  se tiene

 

 

Al diferenciar ambos con respecto a T, se obtiene

 

 

que es una distribución exponencial.

El resultado genera dos conclusiones:

 

1.               Para el proceso que describen las probabilidades , el tiempo entre la incidencia de eventos sucesivos debe seguir una distribución exponencial.

 

 

2.               El valor esperado de la distribución  exponencial

 

 unidad de tiempo

 

representa el intervalo de tiempo promedio entre la incidencia sucesiva de eventos.

Por lo tanto

 

 

debe representar la tasa (por tiempo unitario) a la cual se generan eventos. Esta es la razón que indicamos antes por la que a representa la tasa de llegadas (salidas) cuando los eventos generados representan llegadas (salidas).

 

3.               La distribución exponencial tiene la propiedad única de que el tiempo hasta que ocurre el evento siguiente es independiente del tiempo que transcurrió desde la incidencia del ultimo evento. Este resultado equivale a decir que

 

 

donde t es la variable aleatoria que describe el tiempo entre eventos y S es el tiempo de incidencia del ultimo evento. Para demostrar que esta probabilidad es cierta o verdadera para la distribución exponencial, considérese

 

 

Esta propiedad suele denominarse olvido o falta de memoria de la distribución exponencial. La propiedad del olvido demuestra que el proceso que describe  es completamente aleatorio, ya que demuestra que el tiempo que ha pasado desde la ocurrencia del ultimo evento no tiene efecto en el tiempo restante hasta que ocurra el evento siguiente.

Definimos a  como la probabilidad de que ocurra n eventos durante el intervalo de tiempo t y demostramos que en las tres condiciones estipuladas  el tiempo entre eventos T > 0 sigue la distribución exponencial , donde a es la tasa a la cual se generan los eventos. Después demostramos como se puede deducir la distribución  cuando los eventos representan llegadas puras o salidas puras. La deducción demostrara que la distribución de n durante t es de Poisson. Este punto revela el resultado determinado de que mientras el tiempo entre llegadas (entre salidas) es exponencial, el numero de llegadas (salidas) es de Poisson y viceversa. 

 

 

PAPEL DE LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

       

Las características operativas de los sistemas de colas están determinadas en gran parte por dos propiedades estadísticas, a saber, la distribución de probabilidad de los tiempos entre llegadas y la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio.

Para los sistemas de colas reales, estas distribuciones pueden tomar casi cualquier forma, (La única restricción es que no pueden ocurrir valores negativos.) Sin embargo, para formular un modelo de teoría de colas como una representación del sistema real, es necesario especificar la forma supuesta de cada una de estas distribuciones. Para que sea útil, la forma supuesta debe ser  lo suficientemente realista, como para que el modelo proporcione predicciones razonables y al mismo tiempo debe ser lo suficientemente sencilla para que sea matemáticamente manejable. Con estas consideraciones en mente, la distribución de probabilidad más importante en la teoría de colas es la distribución exponencial. Supóngase que una variable aleatoria T representa ya sea los tiempos entre llegadas o los tiempos de servicio. (Se hará referencia a los eventos que marcan el final de estos tiempos –de llegadas o de terminación de un servicio-   como eventos.)

Se dice que T tiene una distribución exponencial con parámetro a si su función de densidad de probabilidad es:

 

 

FT (t) =

       

como se muestra en la figura. En este caso, las probabilidades acumuladas son:

 

y  el valor esperado y la variancia de T son:

 

         

¿Cuáles son las implicaciones para el modelo de colas al suponer que T tiene una distribución exponencial?

 

Para explorar esta pregunta se examinarán seis propiedades de esta distribución.

 

Propiedad 1: ft(T) es una función estrictamente decreciente de t.

 Una consecuencia de la propiedad 1 es que

       

       

fT(t)

 

 

    

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

      0                                                                                 t+

 

Función de densidad de probabilidad para la distribución exponencial.

 

para cualesquiera valores estrictamente positivos de Dt y t. (Esta es una consecuencia del hecho de que estas  probabilidades son el área bajo la curva de fT(t) en el intervalo indicado de longitud Dt, y la altura promedio de la curva es menor para la segunda probabilidad que para la primera.) Por tanto, no sólo es posible sino bastante probable que T tome un valor pequeño cercano a cero. De hecho,

 

mientras que

 

De manera que es más probable que el valor que tome T sea "pequeño" [esto es, menor que la mitad de E(T)] que "cercano"  a su valor esperado [es decir, no más alejado que la mitad de E(T)], aun cuando el segundo intervalo tiene el doble de amplitud que el primero. ¿Realmente es ésta una propiedad razonable para T en un modelo de colas? Si T representa los tiempos de servicio como se dijo, la respuesta depende de la naturaleza general del servicio en cuestión. Si el servicio requerido es en esencia idéntico para cada cliente y el servidor realiza siempre la misma secuencia de operaciones, los tiempos de servicio reales tienden a ser cercanos al tiempo esperado de servicio.

Pueden ocurrir pequeñas desviaciones de la media, pero por lo general se deben a variaciones menores en la eficiencia del servidor. Un tiempo de servicio tan pequeño que quede muy por debajo de la media es en realidad imposible, ya que se necesita una cierta cantidad mínima de tiempo para realizar las operaciones de servicio requeridas, aun cuando el servidor trabaje a la mayor velocidad, Es claro que la distribución exponencial no proporciona una aproximación cercana a la distribución de tiempos de servicio e este tipo. Por otro lado, considérese el tipo de situación en la que las tareas específicas que tiene que realizar el servidor difieren de un cliente a otro. La naturaleza general del servicio puede ser la misma, pero la cantidad y tipo específico de servicio difieren. Por ejemplo, éste sería el caso del problema de la sala de emergencia de un Hospital. El doctor se enfrenta a una gran variedad de problemas médicos. En la mayor parte de los casos puede proporcionar el tratamiento requerido con bastante rapidez, pero en ocasiones, el paciente requiere un cuidado más extenso  (de igual manera, los supervisores de bancos y supermercados son servidores de este tipo general, en donde el servicio que prestan suele ser breve, pero en ocasiones se alarga.) Parece plausible una distribución exponencial para los tiempos de servicio con este tipo de situación. Si T representa los tiempos entre llegadas, la propiedad 1 descarta las situaciones en la que los clientes que llegan al sistema tienden a posponer su entrada si ven que otro cliente entra antes que ellos. Por otro lado, es totalmente consistente con el fenómeno común de las llegadas "aleatorias" que se describe con las propiedades subsecuentes.

 

Propiedad 2: Perdida de memoria. Esta propiedad se puede establecer matemáticamente como

 

 

Para cualesquiera cantidades positivas de t y Dt. En otras palabras, la distribución de probabilidad del tiempo que falta hasta que ocurra el evento (llegada o terminación de servicio) siempre es la misma, sin importar cuánto tiempo (b,t) haya pasado. En efecto, el proceso "olvida"  su historia. Este sorprendente fenómeno ocurre con la distribución exponencial debido a que

 

 

Para los tiempos entre llegadas esta propiedad describe la situación común en donde el tiempo que transcurre hasta la siguiente llegada está totalmente influenciado por cuándo ocurrió Ia última llegada. Para los tiempos de servicio,

 

esta propiedad es más difícil de interpretar. No debe esperarse que se cumpla cuando el servidor tiene que realizar la misma secuencia fija de operaciones para cada cliente, porque entonces un servicio largo y tardado debe implicar que tal vez queda muy poco por hacer. Por otro lado, en la clase de situación en la que las operaciones de servicio requeridas difieren entre los clientes, la afirmación matemática de la propiedad es bastante realista. Para este caso, si ha pasado un tiempo de servicio considerable, la única implicación puede ser que este cliente en particular requiera un servicio más extenso que los demás.

 

Propiedad 3: El mínimo de varias variables aleatorias exponenciales independientes tiene una distribución exponencial.

Para establecer esta propiedad matemáticamente, sean T1, T2, ..., Tn  variables aleatorias exponenciales independientes con parámetros a1,a2, ...an, respectivamente. También sea U la variable aleatoria cuyo valor es igual al mínimo de los valores que toman T1, T2,..., Tn  es decir,

 

U = mínimo (T1, T2, ..., Tn ).

 

Si T; representa el tiempo que pasa hasta que ocurre un tipo especial de evento, entonces U representa el tiempo que pasa hasta que ocurre el primero de los n diferentes tipos de eventos. Ahora nótese que para cualquier,

 

 

de manera que sin duda U tiene distribución exponencial con parámetro

 

 

Esta propiedad tiene algunas implicaciones para los tiempos entre llegadas en los modelos de colas. En particular, supóngase que existen varios (n) tipos diferentes de clientes, pero que los tiempos entre llegadas de cada tipo (tipo i) tienen distribución exponencial con parámetro ai (i = 1, 2, ..., n). Por la propiedad 2, el tiempo que falta a partir de un instante específico hasta la llegada del siguiente cliente del tipo i tendrá esta misma distribución. Por ello, sea T; este tiempo restante, medido  a partir del instante en que llega un cliente de  cualquier tipo. La propiedad 3 dice entonces que U, el tiempo entre llegadas para el sistema de colas completo, tiene distribución exponencial con parámetro a definido por la última ecuación. Como resultado, se puede elegir ignorar la distinción entre los clientes y seguir teniendo tiempos entre llegadas exponenciales para el modelo de

colas. Estas implicaciones son todavía más importantes para los  tiempos de servicio en los modelos de colas que tienen más de un servidor, de lo que son para los tiempos entre llegadas. Por ejemplo, considérese la situación en la que todos los servidores tienen la misma distribución exponencial de tiempo de servicio, con parámetro m. Para este caso, sea n el número de servidores que en este momento prestan servicio y sea T, el tiempo que falta para que el servidor  i (i = 1, 2... n) complete el servicio, que también tiene distribución exponencial con parámetro ai = m. Se puede concluir que U, el tiempo hasta la siguiente terminación de servicio para cualquier servidor, tiene una distribución exponencial con parámetro a =nm. En efecto, el sistema de colas en ese momento, actúa como un sistema  un solo, servidor, en el que los tiempos de servicio tienen una distribución exponencial con parámetro nm.

 

Propiedad 4: Relación con la distribución Poisson

 

Supóngase que el tiempo entre dos ocurrencias consecutivas de un tipo específico de evento (esto es, llegadas o terminación de servicio por un servidor siempre ocupado) tiene una distribución exponencial con parámetro a. La propiedad 4 tiene que ver con la implicación resultante sobre la distribución de probabilidad del número de veces que ocurre este evento en un intervalo de tiempo dado. En particular, sea X(t) el número de ocurrencias en el tiempo i (t > 0), en donde el tiempo 0 es el instante en el que comienza la cuenta. La implicación es que:

       

 para n =0,1,2,...;

         

es decir, X(t) tiene una distribución Poisson con parámetro at. Por ejemplo, para n=0

 

 

que es justo la probabilidad obtenida a partir de la distribución exponencial para que ocurra el primer evento después de un tiempo t. La media de la distribución Poisson es

 

 

De manera que el número esperado de eventos por unidad de tiempo es a. Así, se dice que a es la tasa media a la que ocurren los eventos. Cuando se cuentan los eventos de manera continua, se dice que el proceso de conteo {X(t); t > 0} es un proceso Poisson con parámetro a (la tasa media). Esta propiedad brinda información útil sobre la terminación de servicio cuando los tiempos de servicio tienen una distribución exponencial con parámetro m, Esta información se obtiene al definir X(t) como el número de servicios completos logrados por un servidor siempre ocupado en un tiempo transcurrido t, en donde a = m. Para múltiples

 

servidores, X(t) también se puede definir como el número de terminaciones de servicio logradas por n servidores siempre ocupados en un tiempo transcurrido t, en donde a = nm. Esta propiedad es útil en particular para describir el comportamiento probabilístico de las llegadas cuando los tiempos entre llegadas siguen una distribución exponencial con parámetro l.

En este caso, X(t) sería el número de llegadas en un tiempo transcurrido r, en donde a = k es la tasa media de llegadas. Por tanto, las llegadas ocurren de acuerdo a un proceso de entrada Poisson con parámetro l. También se hace referencia a estos modelos de colas como que tienen llegadas Poisson.

Algunas veces se dice que las llegadas ocurren aleatoriamente y esto significa que suceden de acuerdo con un proceso de entradas Poisson, Una interpretación intuitiva de este fenómeno es que cada periodo de longitud fija tiene la misma oportunidad de tener una llegada sin importar cuándo ocurrió la llegada anterior, como lo sugiere la siguiente propiedad.

 

Propiedad  5: Para todos los valores positivos

 

Continuando con la interpretación de T como el tiempo que pasa desde el último evento de cierto tipo (llegada o terminación de servicio) hasta el siguiente evento, y supóngase que ha transcurrido un tiempo t sin que ocurra un evento. Se sabe por la propiedad 2 que la probabilidad de que ocurra un evento dentro del siguiente intervalo de tiempo, de longitud fija Dt, es una constante (que se identificará en el siguiente párrafo), independiente de cuán grande o pequeño sea t. La propiedad 5 va más allá al agregar que, cuando el valor de Dt es pequeño, esta probabilidad constante se puede aproximar de manera muy cercana por aDt. Lo que es más, cuando se consideran distintos valores pequeños de Dt, esta probabilidad es, en esencia, proporcional a Dt, con factor de proporcionalidad igual a a. De hecho, a es la tasa media a  la cual ocurren los eventos (véase la propiedad 4), por lo que el número esperado de eventos en el intervalo de longitud Dt es exactamente aDt. La única razón por la que la probabilidad de que ocurra un evento difiere de este valor es la posibilidad de que ocurra mas de un evento, lo cual tiene una probabilidad despreciable cuando Dt es pequeño.

Para ver matemáticamente por que se cumple la propiedad 5, nótese que el valor constante de la probabilidad (para un valor fijo de Dt > 0) es sencillamente

 

 

para cualquier t ³ 0. Por esta razón, como la serie de expansión de ex  para cualquier exponente X es

 

 

se concluye

 

 

porque la suma de términos se vuelve despreciable para valores de aDt suficientemente pequeños.

Como en los modelos de colas T se puede representar ya sea por tiempos entre llegadas o de servicio, esta propiedad proporciona una aproximación conveniente de la probabilidad de que ocurra el evento de interés en el siguiente intervalo de tiempo pequeño (Dt). También se puede hacer un análisis exacto basado en esta aproximación, tomando los límites apropiados cuando

 

Propiedad 6: No afecta agregar o desagregar.

 

Esta propiedad es importante para verificar que el proceso de entrada es Poisson. Entonces, se describirá en estos términos, aunque también se aplica directamente a la distribución exponencial (tiempos entre llegadas exponenciales) debido a la propiedad 4.

Supóngase que existen varios (n) tipos diferentes de clientes, en donde los clientes de cada tipo (tipo i) llegan de acuerdo a un proceso de llegadas Poisson con parámetro li  (i = l, 2, ..., n). Suponiendo que se trata de procesos Poisson independientes, la propiedad dice que el proceso de entrada agregado (llegada diodos los clientes sin importar de qué tipo son) también debe ser Poisson, con parámetro (tasa de llegada) l= l1 + l2 +... +ln .En otras palabras, si se tiene un proceso Poisson no afecta agregar.

Esta parte de la propiedad se concluye directamente de las propiedades 3 y 4, Esta última implica que los tiempos entre llegadas para los clientes de tipo i tienen una distribución exponencial con parámetro li;. Para esta situación idéntica, ya se analizó en la propiedad 3 que esto implica que los tiempos entre llegadas para (todos los clientes también deben tener una distribución exponencial, con parámetro l= l1 + l2 +... +ln.) Si se usa la propiedad 4 de nuevo implica que el proceso de entrada agregado es Poisson.

 La segunda parte de la propiedad 6 (“no afecta desagregar”) se refiere al caso contrario, en el que se sabe que el proceso de entrada agregado es Poisson con parámetro 2; el cuestionamiento ahora es sobre la naturaleza del proceso de entrada agregado para los tipos de clientes individuales. Si se supone que cada cliente que llega tiene una probabilidad fija p; de pertenecer al tipo i (i = 1, 2, ..., n), con

 

Ia propiedad dice que el proceso de entrada para los clientes tipo i también debe

 

ser Poisson con parámetro R;. En otras palabras, si se tiene un proceso Poisson, no afecta desagregar.

Como ejemplo de la utilidad de esta segunda parte de la propiedad, considérese la siguiente situación. Los clientes sin hacer distinciones, llegan de acuerdo a un proceso Poisson con parámetro l. Cada cliente que llega tiene una probabilidad fija p de desistir (irse sin entrar al sistema de colas), de manera que la probabilidad de entrar al sistema es (1 – p). Así, se tienen dos tipos de clientes, aquellos que desisten y aquellos que entran al sistema, La propiedad dice que cada tipo llega de acuerdo a un proceso Poisson, con parámetros pl y (1 – p) l, respectivamente.

Por lo tanto, al usar el último proceso Poisson, los modelos de colas que suponen llegadas Poisson todavía se pueden usar para analizar el funcionamiento del sistema de colas para aquellos clientes que entran al sistema.

 

 


 

MEDIA Y VARIANCIA DE LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON


 

 

 


El primero de estos resultados era de esperar, porque en nuestra justificación de la aproximación de Poisson a la distribución binomial concedimos que

l.=n p. Para la variancia podemos formular que , lo que aproxima a .

 

 

 

 

 

 

AUTOR

 

ARLUNA, Patricio Gabriel

e-mail: mailto:pgarluna@arnet.com.ar

UNSTA

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